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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Mengengleichheit beweisen
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Mengengleichheit beweisen: Tipp zur Vorangehensweise
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:22 Sa 27.10.2012
Autor: AlbertHerum

Aufgabe
[][Externes Bild http://www.abload.de/img/mengengleichungbeweisntdgz.png]

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

HAllo,

ich habe die Aufgabe zu beweisen, dass das obrige gilt.
Ich weiß, dass ich erst zeigen muss, dass die linke Seite gleich der rechten ist. und dann anders herum

Ich habe so angefangen:
[mm] 1)"\supseteq": [/mm]
(x,y) [mm] \in [/mm] A x [mm] \bigcap_{i\in I}^{} [/mm] M
HAb dann aber leider keine Ahnung  wies weiter geht...
Hoffe mir kann jemand ein rat geben

mfg

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Mengengleichheit beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:10 Sa 27.10.2012
Autor: luis52

Moin AlbertHerum,

[willkommenmr]


> HAllo,
>  
> ich habe die Aufgabe zu beweisen, dass das obrige gilt.
>  Ich weiß, dass ich erst zeigen muss, dass die linke Seite
> gleich der rechten ist. und dann anders herum
>  
> Ich habe so angefangen:
>  [mm]1)"\supseteq":[/mm]
>  (x,y) [mm]\in[/mm] A x [mm]\bigcap_{i\in I}^{}[/mm] M
>  HAb dann aber leider keine Ahnung  wies weiter geht...
>  Hoffe mir kann jemand ein rat geben
>  

... Demnach ist [mm] $x\in [/mm] A$ und [mm] $y\in\bigcap_{i\in I}M_i$. [/mm] Also ist  [mm] $x\in [/mm] A$ und [mm] $y\in M_i$ [/mm] fuer alle [mm] $i\in [/mm] I$. Also ...
  

vg Luis

Bezug
                
Bezug
Mengengleichheit beweisen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:18 So 28.10.2012
Autor: AlbertHerum

Hab jetzt:
[mm] x\in [/mm] A und y [mm] \in \bigcap_{i=I}^{}M_{i} [/mm]
[mm] \gdw \forall_{i \in I} :x\in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] y [mm] \in M_{i} [/mm]

[mm] \gdw \bigcap_{i=I}^{} (A*M_{i}) [/mm]

Anders herum wäre ja dann das ganze rückwärts.

SInd  die Umwandlungen korrekt?

Bezug
                        
Bezug
Mengengleichheit beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:08 So 28.10.2012
Autor: tobit09

Hallo AlberHerum und auch von mir ein herzliches [willkommenmr]!


Ist [mm] $I\not=\emptyset$ [/mm] vorausgesetzt? Sonst wäre [mm] $\bigcap_{i\in I}M_i$ [/mm] i.A. gar keine Menge und die behauptete Gleichheit wäre falsch.

Ich gehe also nun mal von [mm] $I\not=\emptyset$ [/mm] aus. Es existiert also ein [mm] $i_0\in [/mm] I$.


> Hab jetzt:
>  [mm]x\in[/mm] A und y [mm]\in \bigcap_{i=I}^{}M_{i}[/mm]

Hier würde ich einen Zwischenschritt einfügen:

     [mm] $\gdw x\in [/mm] A$ und [mm] $\forall_{i\in I}: y\in M_i$. [/mm]

>  [mm]\gdw \forall_{i \in I} :x\in A \wedge[/mm] y [mm]\in M_{i}[/mm]

Ich halte diesen Schritt, also

     [mm] $x\in [/mm] A$ und [mm] $\forall_{i\in I}: y\in M_i\quad\gdw\quad\forall_{i \in I} :x\in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] y [mm] \in M_{i}$ [/mm]

für nicht so trivial, dass er keiner weiteren Begründung bedürfte.
OK, die Hinrichtung nehme ich dir so ab. Aber zur Rückrichtung:

Gelte also [mm] $\forall_{i \in I} :x\in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] y [mm] \in M_{i}$ [/mm] (*).
Dann gilt insbesondere [mm] $\forall_{i\in I} y\in M_i$. [/mm]
Noch zu zeigen ist [mm] $x\in [/mm] A$.
Hier kommt unser [mm] $i_0\in [/mm] I$ ins Spiel: (*) impliziert insbesondere [mm] $x\in A\wedge y\in M_{i_0}$. [/mm] Also tatsächlich [mm] $x\in [/mm] A$.

> [mm]\gdw \red{x\in}\bigcap_{i\red\in I}^{} (A\red\times M_{i})[/mm]

[ok]


Viele Grüße
Tobias
Bezug
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