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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:12 So 28.10.2007 | | Autor: | gossyk |
| Aufgabe | Es seien zwei Menge E, F gegeben mit den Teilmengen A, B [mm] \subset [/mm] E und C, D [mm] \subset [/mm] F.
Ferner Sei f : E [mm] \to [/mm] F; x [mm] \mapsto [/mm] f(x) eine Abbildung zwischen diesen Mengen. Zeigen Sie die Gleichungen:
(I) f [mm] (A\cap f^{-1} [/mm] (C)) = f (A) [mm] \cap [/mm] C
(II) f (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \subset [/mm] f (A) [mm] \cap [/mm] f (B)
(III) [mm] f^{-1} [/mm] (F [mm] \backslash [/mm] C) = E [mm] \backslash f^{-1} [/mm] (C)
(IV) f [mm] (f^{-1} [/mm] (D)) [mm] \subset [/mm] D. |
hallo, ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
Ich sehe die Gleichungen ein, jedoch weiss ich nicht wie ich da rangehen soll um diese zu beweisen.
zb bei (I) - dass ein Abbild der Schnittmenge zweier Mengen sich im Definintionsbereich der Schnittmenge der Abbilder dieser zwei Mengen befindet ist für mich klar, aber ich weiss leider nicht welcher Mittel ich mich bedienen kann um diese Gleichung zu beweisen (zumal ich auch die Übungsgruppe dazu nicht besuchen konnte, wo die Beweismethod bestimmt gezeigt wurde).
Ich wäre sehr dankbar, wenn mich jemand auf den Weg des Beweises führen kann.
Vielen dank im voraus, mfg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:18 So 28.10.2007 | | Autor: | max3000 |
Hallo.
Und zwar beweist du die Gleichheit von Mengen folgendermaßen:
1. Linke Seite [mm] \subset [/mm] Rechte Seite
2. Rechte Seite [mm] \subset [/mm] Linke Seite
Also in beide Richtungen (bei Aufgabe 4 reicht ja eine Richtung aus).
Das machst du so:
Sei [mm] x\in [/mm] Linke Seite...
Also du nimmst ein x aus der einen Menge und umschreibst die Verknüpfung mit Aussagen z.B: [mm] x\in A\cap B\gdw x\in A\wedge x\in [/mm] B.
So kommst du dann auch auf deine rechte Seite. Dann ist [mm] L.S.\subset [/mm] R.s. Wenn das ganze anders herum auch noch zutrifft, tritt die Gleichheit ein.
Vielleicht reicht das ja aus um die Lösung selbst herauszufinden. Wenn nicht, einfach nochmal fragen.
Gruß
Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 So 28.10.2007 | | Autor: | gossyk |
| Aufgabe | sei x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap f^{-1} [/mm] (C)
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in f^{-1} [/mm] (C)
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x) [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \wedge [/mm] f(x) [mm] \in [/mm] C
sei y [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \wedge [/mm] C
[mm] \Rightarrow [/mm] y [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \wedge [/mm] y [mm] \in [/mm] C
[mm] \Rightarrow f^{-1}(y) \in [/mm] A [mm] \wedge f^{-1}(y) \in f^{-1}(C) [/mm] |
wäre das so richtig für (I)?
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> sei x [mm]\in[/mm] A [mm]\cap f^{-1}[/mm] (C)
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in f^{-1}[/mm] (C)
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(x) [mm]\in[/mm] f(A) [mm]\wedge[/mm] f(x) [mm]\in[/mm] C
>
> sei y [mm]\in[/mm] f(A) [mm]\wedge[/mm] C
> [mm]\Rightarrow[/mm] y [mm]\in[/mm] f(A) [mm]\wedge[/mm] y [mm]\in[/mm] C
> [mm]\Rightarrow f^{-1}(y) \in[/mm] A [mm]\wedge f^{-1}(y) \in f^{-1}(C)[/mm]
>
> wäre das so richtig für (I)?
Hallo,
so ganz richtig ist es nicht, wenn es auch viel Richtiges enthält.
Du willst ja zeigen [mm] f(A\cap f^{-1}(C))= [/mm] f(A) [mm] \cap [/mm] C.
Hierfür ist, wie Dir max3000 schon gesagt hat, zu zeigen, daß
A. [mm] f(A\cap f^{-1}(C))\subseteq [/mm] f(A) [mm] \cap [/mm] C
und
B. f(A) [mm] \cap [/mm] C [mm] \subseteq f(A\cap f^{-1}(C))
[/mm]
gelten.
Deinem Ansatz entnehme ich, daß Du das auch verstanden hast.
Für A. startest Du mit
> sei x [mm]\in[/mm] A [mm]\cap f^{-1}[/mm] (C).
Das ist nicht richtig: wir interessieren uns doch für die Menge [mm] f(A\cap f^{-1}(C)).
[/mm]
Du mußt Dir also [mm] y\in f(A\cap f^{-1}(C)) [/mm] nehmen und zeigen, daß dieses y auch in f(A) [mm] \cap [/mm] C liegt.
Also:
Sei [mm] y\in f(A\cap f^{-1}(C)).
[/mm]
Nach Def. des Bildes gibt es also ein [mm] x\in A\cap f^{-1}(C)) [/mm] mit f(x)= y.
==>... Jetzt mach mal weiter, durchaus gute Ansätze hattest Du ja, aber Anfang und Ende fehlen.
zu B.
Hier fängst Du richtig an:
> sei y [mm]\in[/mm] f(A) [mm]\cap[/mm] C
> [mm]\Rightarrow[/mm] y [mm]\in[/mm] f(A) [mm]\wedge[/mm] y [mm]\in[/mm] C
> [mm]\Rightarrow f^{-1}(y) \in[/mm] A [mm]\wedge f^{-1}(y) \in f^{-1}(C)[/mm]
==> ???
Du brichst einfach ab, ohne bis zum gewünschten Ende, nämlich [mm] y\in f(A\cap f^{-1}(C)) [/mm] gelangt zu sein. Schade!
Noch eines. Präsentiere solche Beweise niemals schweigend. Kleine Begründungen sind gefordert(!) und auch hilfreich, z.B. "nach Def. des Urbildes", "nach Def. der Vereinigung", "denn [mm] M\subseteq [/mm] N"
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:42 Mo 29.10.2007 | | Autor: | gossyk |
vielen dank für die antwort, jetzt ist mir einiges klarer, bis auf eines
> bis zum gewünschten Ende, nämlich $ [mm] y\in f(A\cap f^{-1}(C)) [/mm] $
wie komme ich dorthin?
wenn
[mm] f^{-1}(y) \in [/mm] $ A $ [mm] \wedge f^{-1}(y) \in f^{-1}(C)
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] y [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \cap [/mm] C
oder? das hätte mich wieder an den ausgangspunkt zurückgeführt..
übersehe ich etwas?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:55 Mo 29.10.2007 | | Autor: | gossyk |
hat sich erleidgt, ich idiot.
vielen dank für die antworten
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:46 Mo 29.10.2007 | | Autor: | gossyk |
Ich hätte jedoch noch eine kleine Frage zu (III) und hoffe dass sich jemand erbarmt^^
um die Gleichung (III) zu zeigen, zeige ich:
A: [mm] f^{-1} [/mm] (F [mm] \backslash [/mm] C) [mm] \subseteq [/mm] E [mm] \backslash f^{-1} [/mm] (C)
B: E [mm] \backslash f^{-1} [/mm] (C) [mm] \subseteq f^{-1} [/mm] (F [mm] \backslash [/mm] C)
bei A gibt es keine probs, aber bei B:
sei y [mm] \in [/mm] E [mm] \backslash f^{-1} [/mm] (C)
[mm] \Rightarrow [/mm] y [mm] \in [/mm] E [mm] \wedge [/mm] y [mm] \not\in f^{-1} [/mm] (C)
[mm] \Rightarrow f^{-1} [/mm] (y) [mm] \in f^{-1} [/mm] (E) [mm] \wedge f^{-1} (f^{-1} [/mm] (C) )
an dieser Stelle bin ich verwirrt.
Wenn ich mal davon ausgehe, dass die Gleichung in der Aufgabe stimmt, müsste ich zum Schluss y [mm] \in f^{-1} [/mm] (F [mm] \backslash [/mm] C) kommen.... aber wie?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:49 Mo 29.10.2007 | | Autor: | gossyk |
sorry, 3 sekunden nachm abschicken des postings bin ich selbst drauf gekommen.... grr hatte lange genug vorher überlegt.
in zukunft mach ich erst ne vorschau, schaue nochmal drauf und ein posting ist dann hoffentlich nciht mehr nötig^^
thx nochmal
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> sorry, 3 sekunden nachm abschicken des postings bin ich
> selbst drauf gekommen.... grr hatte lange genug vorher
> überlegt.
Hallo,
genau aus diesem Grunde finde ich das Forum so fantastisch: man ist gezwungen, sein Problem verständlich zu formulieren, und damit löst es sich oftmals von selbst.
Gruß v. Angela
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