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| Aufgabe | Es seien M und N Mengen. Man zeige, dass die folgenden Aussagen gleichwertig sind:
1) M [mm] \cap [/mm] N= M
2) M [mm] \cup [/mm] N= N
3) M\ N = [mm] \emptyset
[/mm]
4) M [mm] \subseteq [/mm] N
Gebe eine zu M echte Teilmenge N äquivalente Aussage unter Verwendung der Mengen M\ N und [mm] N\M [/mm] an (mit Begründung). |
Ich wäre euch sehr dankbar für Hilfen.
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> Es seien M und N Mengen. Man zeige, dass die folgenden
> Aussagen gleichwertig sind:
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> 1) M [mm]\cap[/mm] N= M
> 2) M [mm]\cup[/mm] N= N
> 3) M\ N = [mm]\emptyset[/mm]
> 4) M [mm]\subseteq[/mm] N
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> Gebe eine zu M echte Teilmenge N äquivalente Aussage unter
> Verwendung der Mengen M\ N und [mm]N\M[/mm] an (mit Begründung).
> Ich wäre euch sehr dankbar für Hilfen.
Hallo,
zu zeigen ist hier
1) <==> 2)
1) <==> 3)
1) <==> 4)
2) <==> 3)
3) <==> 4)
Das wäre ganz schon viel, weil man ja für jede Aussage zwei Richtungen zeigen muß.
Mit etwas Raffinesse sprat man Arbeti, indem man nämlcih einen Ringschluß durchführt, z.B. so:
1) ==> 2) ==> 3) ==> 4) ==> 1)
Schauen wir uns die Aussage 1) ==> 2) an.
Voraussetzung: M [mm]\cap[/mm] N= M
zu zeigen: M [mm]\cup[/mm] N= N, also eine Mengengleichheit.
Es ist somit zu zeigen
i. M [mm]\cup[/mm] [mm] N\subseteq [/mm] N
ii. N [mm] \subseteq [/mm] M [mm]\cup[/mm] N
dh,
i. [mm] x\in [/mm] M [mm]\cup[/mm] N ==> [mm] x\in [/mm] N
ii. [mm] x\in [/mm] N ==> M [mm]\cup[/mm] N
Beweis zu i.:
Sei [mm] x\in M\cup [/mm] N
==>
[mm] x\in [/mm] M oder [mm] x\in [/mm] N (Def. der Vereinigungsmenge)
==> ... (Voraussetzung) ==> ... ... ... ==> [mm] x\in [/mm] N
Versuch mal. Und dann die anderen beherzt hinterdrein.
Gruß v. Angela
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