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Sehr geehrtes Matheraum - Forum...
Ich habe eine frage zu folgender Aussage:
Sind A,B [mm] \subset \IR^2 [/mm] offen, so ist A \ B [mm] \subset \IR^2 [/mm] auch offen.
Ist die Aussage wahr oder falsch???
Ich habe mir nun zunächst zwei Mengen gesucht:
Sei A = [mm] \{(x,y) \in \IR^2 | |x| < 1,|y| < 1 \}
[/mm]
Sei B = [mm] \{(x,y) \in \IR^2 | |x| < 1,|y| < 1 \}
[/mm]
Sowohl A als auch B sind offen.
Aber das Komplement ist nicht offen...
Wäre diese Aussage somit korrekt wiederlegt???
mfg dodo4ever
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Hallo dodo4ever,
ein Gegenbeispiel genügt in der Tat, um eine Behauptung zu widerlegen.
Nur...
> Ich habe eine frage zu folgender Aussage:
> Sind A,B [mm]\subset \IR^2[/mm] offen, so ist A \ B [mm]\subset \IR^2[/mm]
> auch offen.
>
> Ist die Aussage wahr oder falsch???
>
> Ich habe mir nun zunächst zwei Mengen gesucht:
>
> Sei A = [mm]\{(x,y) \in \IR^2 | |x| < 1,|y| < 1 \}[/mm]
> Sei B = [mm]\{(x,y) \in \IR^2 | |x| < 1,|y| < 1 \}[/mm]
>
> Sowohl A als auch B sind offen.
>
> Aber das Komplement ist nicht offen...
Das Komplement ist hier die leere Menge, und die ist nicht entscheidbar, also zugleich offen und abgeschlossen.
> Wäre diese Aussage somit korrekt wiederlegt???
Behalte A und nimm [mm] B=\{(x,y)\in\IR^2| \bruch{1}{4}<|x|<\bruch{3}{4}, \bruch{1}{4}<|y|<\bruch{3}{4}\}
[/mm]
[mm] A\setminus{B} [/mm] ist dann weder offen noch abgeschlossen. Das ist ja schonmal näher dran.
Jetzt überleg mal, wie man A,B so definieren kann, dass das gesuchte Komplement tatsächlich ganz abgeschlossen ist.
Grüße
reverend
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Hallo und danke für deine Hilfe...
Wieso muss ich mir das aber für B so kompliziert machen?
Kann ich dann nicht auch z.B. wählen [mm] B=\{(x,y)\in\IR^2| |x| < 0,5, |y| < 0,5 \}
[/mm]
Damit das Komplement A \ B ganz abgeschlossen ist, müssen alle Randpunkte zum Komplement gehören, also zur leeren Menge... Geht das überhaupt?
Damit A \ B abgeschlossen, muss gelten A \ B = [mm] \{(x,y)\in\IR^2| x = \emptyset, y = \emptyset \}
[/mm]
Liege ich damit richtig???
mfg und danke für die Hilfe dodo4ever
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:37 Di 01.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
A: [mm] x^2+y^2<1 [/mm]
B= [mm] 0.36
dein A und B ist natürlich auch als Gegenbeisiel geeignet.
Deine Ausdrucksweise [mm] A\B [/mm] "Komplement zu nennen ist sehr ungenau, richtig ist Komplement von B in A
Gruss leduart
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Hallo...
Aber ist denn auch die Argumentation richtig?
Also sprich... Ich wähle:
[mm] A=\{(x,y) \in \IR^2 | |x| < 1,|y| < 1 \}
[/mm]
[mm] B=\{(x,y)\in\IR^2| |x| < 0,5, |y| < 0,5 \}
[/mm]
Es handelt sich ja somit um zwei offene Mengen...
Aber wenn ich A \ B [mm] \subset \IR^2 [/mm] wird daraus eine abgeschlossene Menge.
Mein Problem: Für mich ist jetzt ein wenig verloren gegangen, woran es liegt, dass A \ B [mm] \subset \IR^2 [/mm] eine abgeschlossene Menge ergibt. Also die Begründung habe ich noch nicht so ganz verstanden...
mfg dodo4ever
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:09 Do 03.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo...
>
> Aber ist denn auch die Argumentation richtig?
>
> Also sprich... Ich wähle:
>
> [mm]A=\{(x,y) \in \IR^2 | |x| < 1,|y| < 1 \}[/mm]
>
> [mm]B=\{(x,y)\in\IR^2| |x| < 0,5, |y| < 0,5 \}[/mm]
>
> Es handelt sich ja somit um zwei offene Mengen...
>
> Aber wenn ich A \ B [mm]\subset \IR^2[/mm] wird daraus eine
> abgeschlossene Menge.
Nein. Es ist z.B. (1,1) [mm] \notin [/mm] A. Damit ist auch (1,1) [mm] \notin [/mm] A \ B
Die Folge [mm] (X_N):=((1-\bruch{1}{n}, 1-\bruch{1}{n})) [/mm] konv. gegen (1,1)
Für n [mm] \ge [/mm] 2 ist [mm] X_n \in [/mm] A \ B.
Wäre A \ B abgeschlossen, so müßte gelten: (1,1) = lim [mm] X_n \in [/mm] A \ B.
FRED
>
> Mein Problem: Für mich ist jetzt ein wenig verloren
> gegangen, woran es liegt, dass A \ B [mm]\subset \IR^2[/mm] eine
> abgeschlossene Menge ergibt. Also die Begründung habe ich
> noch nicht so ganz verstanden...
>
> mfg dodo4ever
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Hallo...
Das verwirrt mich irgendwie noch mehr... Konvergenz hatten wir noch nicht in diesem Zusammenhang. Ich weiß zwar worum es bei der Konvergenz geht. Doch leider kann ich das auf solch ein Beispiel noch nicht anwenden...
Nochmal zur Aussage:
Sind A,B [mm] \subset \IR^2 [/mm] offen, so ist A \ B [mm] \subset \IR^2 [/mm] auch offen.
ist die Aussage wahr oder falsch...
Mit leduart war ich mir ja nun bereits einig, dass ich die Aussage beweisen bzw. wiederlegen kann mit Hilfe der beiden Mengen:
A = [mm] \{(x,y) \in \IR^2 | |x| < 1,|y| < 1 \}
[/mm]
[mm] B=\{(x,y)\in\IR^2| |x| < 0,5, |y| < 0,5 \}
[/mm]
Aber wie kann ich nun argumentieren, dass [mm] \subset \IR^2 [/mm] offen bzw. nicht offen ist???
mfg dodo4ever
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:30 Do 03.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo...
>
> Das verwirrt mich irgendwie noch mehr... Konvergenz hatten
> wir noch nicht in diesem Zusammenhang. Ich weiß zwar worum
> es bei der Konvergenz geht. Doch leider kann ich das auf
> solch ein Beispiel noch nicht anwenden...
Machen wirs anders: (1,1) [mm] \notin [/mm] A \ B, aber (1,1) [mm] \in \partial [/mm] (A \ B)
Damit ist A \ B nicht abgeschlossen.
>
> Nochmal zur Aussage:
> Sind A,B [mm]\subset \IR^2[/mm] offen, so ist A \ B [mm]\subset \IR^2[/mm]
> auch offen.
>
> ist die Aussage wahr oder falsch...
falsch.
>
> Mit leduart war ich mir ja nun bereits einig, dass ich die
> Aussage beweisen bzw. wiederlegen kann mit Hilfe der beiden
> Mengen:
>
> A = [mm]\{(x,y) \in \IR^2 | |x| < 1,|y| < 1 \}[/mm]
>
> [mm]B=\{(x,y)\in\IR^2| |x| < 0,5, |y| < 0,5 \}[/mm]
>
> Aber wie kann ich nun argumentieren, dass [mm]\subset \IR^2[/mm]
> offen bzw. nicht offen ist???
A [mm] \B [/mm] ist nicht offen: (1/2,1/2) [mm] \in [/mm] A \ B, aber (1/2,1/2) ist kein innerer Punkt von A \ B.
FRED
>
> mfg dodo4ever
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