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Mengenlehre 12: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:05 So 31.03.2013
Autor: ne1

Hallo :),


Aufgabe
Ist das kartesische Produkt assoziativ?




12. < <a,b> ,c> [mm] \in [/mm] (A [mm] \times [/mm] B) [mm] \times [/mm] C [mm] \Leftrightarrow \{\{\},\{,c\}\} \in [/mm] (A [mm] \times [/mm] B ) [mm] \times [/mm] C
<a, <b,c> > [mm] \in [/mm] A [mm] \times [/mm] (B [mm] \times [/mm] C) [mm] \Leftrightarrow \{\{a\},\{a,\}\} \in [/mm] A [mm] \times [/mm] (B [mm] \times [/mm] C).
Laut der Definition von Kuratowski ist das kartesische Produkt nicht assoziativ.

Danke im Voraus.

Ich habe diese Fragen in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Mengenlehre 12: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:29 So 31.03.2013
Autor: M.Rex

Hallo

> Hallo :),

>
>

> Ist das kartesische Produkt assoziativ?

>
>
>

> 12. < <a,b> ,c> [mm]\in[/mm] (A [mm]\times[/mm] B) [mm]\times[/mm] C [mm]\Leftrightarrow \{\{\},\{,c\}\} \in[/mm]
> (A [mm]\times[/mm] B ) [mm]\times[/mm] C
> <a, <b,c> > [mm]\in[/mm] A [mm]\times[/mm] (B [mm]\times[/mm] C) [mm]\Leftrightarrow \{\{a\},\{a,\}\} \in[/mm]
> A [mm]\times[/mm] (B [mm]\times[/mm] C).
> Laut der Definition von Kuratowski ist das kartesische
> Produkt nicht assoziativ.


Die ersten Elemente aus der Menge [mm] $(A\times B)\times [/mm] C$  sind Elemente des kartesichen Produktes [mm] $A\times [/mm] B$, die zweiten Elemente sind Elemente aus der Menge C.

Dagegen ist bei [mm] $A\times(B\times [/mm] C)$ das erste Element aus A, das zweite Element aus [mm] $B\times [/mm] C$.

Marius

Bezug
        
Bezug
Mengenlehre 12: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:42 So 31.03.2013
Autor: tobit09

Hallo ne1 und herzlich [willkommenmr]!


> Ist das kartesische Produkt assoziativ?
>  
>
>
> 12. < <a,b> ,c> [mm]\in[/mm] (A [mm]\times[/mm] B) [mm]\times[/mm] C [mm]\Leftrightarrow \{\{\},\{,c\}\} \in[/mm]
> (A [mm]\times[/mm] B ) [mm]\times[/mm] C
>  <a, <b,c> > [mm]\in[/mm] A [mm]\times[/mm] (B [mm]\times[/mm] C) [mm]\Leftrightarrow \{\{a\},\{a,\}\} \in[/mm]

> A [mm]\times[/mm] (B [mm]\times[/mm] C).
>  Laut der Definition von Kuratowski ist das kartesische
> Produkt nicht assoziativ.

Begründet hast du Letzteres noch nicht.

Du willst zeigen, dass das kartesische Produkt nicht assoziativ ist, d.h. dass nicht für alle Mengen A, B und C gilt: [mm] $(A\times B)\times C=A\times(B\times [/mm] C)$. Gib also konkrete Mengen A, B und C an, für die nicht [mm] $(A\times B)\times C=A\times(B\times [/mm] C)$ gilt. (Z.B. für [mm] A=\emptyset [/mm] und beliebige Mengen $B$ und $C$ gilt sehr wohl [mm] $(A\times B)\times C=A\times(B\times [/mm] C)$!) Um für die von dir gewählten Mengen A,B und C zu zeigen, dass nicht [mm] $(A\times B)\times C=A\times(B\times [/mm] C)$ gilt, gib z.B. ein konkretes Element von [mm] $(A\times B)\times [/mm] C$ an und zeige, dass es nicht in [mm] $A\times(B\times [/mm] C)$ liegt.


Viele Grüße
Tobias


Bezug
                
Bezug
Mengenlehre 12: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:31 Mo 01.04.2013
Autor: ne1

Ich versuche also noch einmal.
$ <a,b> = [mm] \{\{a\},\{a,b\}\} [/mm] $ das ist die Definition eines geordneten Paars von Kuratowski.

$ <<a,b>,c> [mm] \in [/mm] (A [mm] \times [/mm] B) [mm] \times [/mm] C [mm] \Leftrightarrow \{\{\},\{,c\}\} \in [/mm] (A [mm] \times [/mm] B) [mm] \times [/mm] C [mm] \Leftrightarrow \{\{\{\{a\},\{a,b\}\} \}, \{\{\{a\},\{a,b\}\} ,c\}\} \in [/mm] (A [mm] \times [/mm] B) [mm] \times [/mm] C$

$ <a,<b,c>> [mm] \in [/mm] A [mm] \times [/mm] (B [mm] \times [/mm] C) [mm] \Leftrightarrow \{\{a\},\{a,\}\} \in [/mm] A [mm] \times [/mm] (B [mm] \times [/mm] C) [mm] \Leftrightarrow \{\{a\},\{a,\{\{b\},\{b,c\}\}\}\} \in [/mm] A [mm] \times [/mm] (B [mm] \times [/mm] C)$

Gegenbeispiel $ A = B = C = [mm] \{1\} [/mm] $. Das Element von $A [mm] \times [/mm] (B [mm] \times [/mm] C)$ enthält das Element [mm] $\{1\}$. [/mm] Das Element von $(A [mm] \times [/mm] B) [mm] \times [/mm] C$ enthält dieses Element nicht also sind die Mengen nicht immer gleich.


Andere Variante
$<<a,b>,c> [mm] \in [/mm] (A [mm] \times [/mm] B) [mm] \times [/mm] C [mm] \Leftrightarrow [/mm] <a,b> [mm] \in [/mm] A [mm] \times [/mm] B [mm] \wedge [/mm] c [mm] \in [/mm] C [mm] \Leftrightarrow [/mm] a [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] b [mm] \in [/mm] B [mm] \wedge [/mm] c [mm] \in [/mm] C [mm] \Leftrightarrow [/mm] a [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] (b [mm] \in [/mm] B [mm] \wedge [/mm] c [mm] \in [/mm] C) [mm] \Leftrightarrow [/mm] a [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] <b,c> [mm] \in [/mm] B [mm] \times [/mm] C [mm] \Leftrightarrow [/mm]  <a,<b,c>> [mm] \in [/mm] A [mm] \times [/mm] (B [mm] \times [/mm] C)$

Hier sind die Mengen assoziativ.

Bezug
                        
Bezug
Mengenlehre 12: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:25 Mo 01.04.2013
Autor: tobit09


> Ich versuche also noch einmal.
> [mm] = \{\{a\},\{a,b\}\}[/mm] das ist die Definition eines
> geordneten Paars von Kuratowski.
>  
> [mm]<,c> \in (A \times B) \times C \Leftrightarrow \{\{\},\{,c\}\} \in (A \times B) \times C \Leftrightarrow \{\{\{\{a\},\{a,b\}\} \}, \{\{\{a\},\{a,b\}\} ,c\}\} \in (A \times B) \times C[/mm]
>  
> [mm]> \in A \times (B \times C) \Leftrightarrow \{\{a\},\{a,\}\} \in A \times (B \times C) \Leftrightarrow \{\{a\},\{a,\{\{b\},\{b,c\}\}\}\} \in A \times (B \times C)[/mm]

Respekt, dass du bei den vielen Klammern den Überblick behalten hast! :-)

Du meinst wohl [mm] $<,c>=\{\{\{\{a\},\{a,b\}\} \}, \{\{\{a\},\{a,b\}\} ,c\}\}$ [/mm] und [mm] $>=\{\{a\},\{a,\{\{b\},\{b,c\}\}\}\}$. [/mm]


> Gegenbeispiel [mm]A = B = C = \{1\} [/mm]. Das Element von [mm]A \times (B \times C)[/mm]
> enthält das Element [mm]\{1\}[/mm]. Das Element von [mm](A \times B) \times C[/mm]
> enthält dieses Element nicht also sind die Mengen nicht
> immer gleich.

[ok]


> Andere Variante
>  [mm]<,c> \in (A \times B) \times C \Leftrightarrow \in A \times B \wedge c \in C \Leftrightarrow a \in A \wedge b \in B \wedge c \in C \Leftrightarrow a \in A \wedge (b \in B \wedge c \in C) \Leftrightarrow a \in A \wedge \in B \times C \Leftrightarrow > \in A \times (B \times C)[/mm]
>  
> Hier sind die Mengen assoziativ.

Im Allgemeinen nein (das hast du ja oben bereits bewiesen). Zwar gilt in der Tat [mm] $<,c>\in (A\times B)\times C\gdw >\in A\times(B\times [/mm] C)$, aber für [mm] $(A\times B)\times C=A\times(B\times [/mm] C)$ würdest du [mm] $x\in (A\times B)\times C\gdw x\in A\times(B\times [/mm] C)$ benötigen.

Bezug
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