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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:51 So 31.03.2013 | | Autor: | ne1 |
Hallo :),
| Aufgabe | | Im Universum [tex]\mathbb{N}[/tex] betrachten wir die Mengen [tex]A = \{1,2,6,7,8\}, \ B = \{2,3,4,7,8\},\ C =\{4,5,6,7,8\}[/tex]. Wie viele verschiedene Mengen lassen sich mithilfe der Operatoren [tex]\cap, \ \cup, \ ^c[/tex] aus den Mengen [tex]A, \ B, \ C[/tex] erstellen? Gibt es darunter die [tex]\{8\}[/tex]? |
5. Ich habe erst mal versucht die Mengen maximal wie möglich zu "zerlegen". Ich habe also 8 Mengen erhalten: [tex]\{1\},\{3\},\emptyset,\{5\},\{3,4\},\{1,6\},(A \cup B \cup C)', \{2,7,8\}[/tex].
Bitte erst mal nur schreiben ob die Mengen bzw. meine Idee richtig ist, wenn nicht, warum?
Danke im Voraus.
Ich habe diese Fragen in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:58 So 07.04.2013 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Hallo :),
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> Im Universum [tex]\mathbb{N}[/tex] betrachten wir die Mengen [tex]A = \{1,2,6,7,8\}, \ B = \{2,3,4,7,8\},\ C =\{4,5,6,7,8\}[/tex].
> Wie viele verschiedene Mengen lassen sich mithilfe der
> Operatoren [tex]\cap, \ \cup, \ ^c[/tex] aus den Mengen [tex]A, \ B, \ C[/tex]
> erstellen? Gibt es darunter die [tex]\{8\}[/tex]?
>
>
>
> 5. Ich habe erst mal versucht die Mengen maximal wie
> möglich zu "zerlegen". Ich habe also 8 Mengen erhalten:
> [tex]\{1\},\{3\},\emptyset,\{5\},\{3,4\},\{1,6\},(A \cup B \cup C)', \{2,7,8\}[/tex].
Wieso gerade diese Mengen?
>
> Bitte erst mal nur schreiben ob die Mengen bzw. meine Idee
> richtig ist, wenn nicht, warum?
Leider können die meisten Menschen nicht wissen, ob deine Idee richtig
ist, wenn Du nicht dazu schreibst, was Du Dir bei dieser Zerlegung
gedacht hast, und wie Du weiter vorgehen willst.
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> Danke im Voraus.
>
> Ich habe diese Fragen in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruß
meili
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:08 Fr 12.04.2013 | | Autor: | ne1 |
> Wieso gerade diese Mengen?
>
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> Leider können die meisten Menschen nicht wissen, ob deine
> Idee richtig
> ist, wenn Du nicht dazu schreibst, was Du Dir bei dieser
> Zerlegung
> gedacht hast, und wie Du weiter vorgehen willst.
Diese 8 Mengen enthalten insgesamt alle Elemente von [mm] $\mathbb{N}$ [/mm] und lassen sich nicht mehr zerlegen. Jetzt weiß ich, aber nicht wie ich auf [mm] $\{3,4\}$ [/mm] und [mm] $\{1,6\}$ [/mm] drauf gekommen bin. Ich glaube durch $A [mm] \backslash [/mm] B$, aber das darf ich nicht. Auf jeden Fall habe ich erst mal folgende 6 Mengen:
[mm] $\{1\} [/mm] = ((A [mm] \cup [/mm] B [mm] \cup C)^c \cup [/mm] B [mm] \cup C)^c$
[/mm]
[mm] $\emptyset [/mm] = (A [mm] \cup [/mm] B [mm] \cup C)^c \cap [/mm] A$
$(A [mm] \cup [/mm] B [mm] \cup C)^c$
[/mm]
[mm] $\{3\} [/mm] = ((A [mm] \cup [/mm] B [mm] \cup C)^c \cup [/mm] A [mm] \cup C)^c$
[/mm]
[mm] $\{5\} [/mm] = ((A [mm] \cup [/mm] B [mm] \cup C)^c \cup [/mm] A [mm] \cup B)^c$
[/mm]
[mm] $\{7,8\} [/mm] = (A [mm] \cup [/mm] C) [mm] \cap [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)$.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:11 So 14.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo ne1,
ich gehe mal davon aus, dass bei dieser Aufgabe kein exakter Beweis verlangt wird.
> Diese 8 Mengen enthalten insgesamt alle Elemente von
> [mm]\mathbb{N}[/mm] und lassen sich nicht mehr zerlegen. Jetzt weiß
> ich, aber nicht wie ich auf [mm]\{3,4\}[/mm] und [mm]\{1,6\}[/mm] drauf
> gekommen bin. Ich glaube durch [mm]A \backslash B[/mm], aber das
> darf ich nicht. Auf jeden Fall habe ich erst mal folgende 6
> Mengen:
> [mm]\{1\} = ((A \cup B \cup C)^c \cup B \cup C)^c[/mm]
> [mm]\emptyset = (A \cup B \cup C)^c \cap A[/mm]
>
> [mm](A \cup B \cup C)^c[/mm]
> [mm]\{3\} = ((A \cup B \cup C)^c \cup A \cup C)^c[/mm]
>
> [mm]\{5\} = ((A \cup B \cup C)^c \cup A \cup B)^c[/mm]
> [mm]\{7,8\} = (A \cup C) \cap (A \cup B)[/mm].
Das sind noch nicht alle "unzerlegbaren" Teilmengen von [mm] $\IN$. [/mm] Berechne (neben [mm] $A\cap A^c=\emptyset$) [/mm] mal nacheinander
[mm] $A\cap B\cap [/mm] C$
[mm] $A\cap B\cap C^c$
[/mm]
[mm] $A\cap B^c\cap [/mm] C$
[mm] $A\cap B^c\cap C^c$
[/mm]
[mm] $A^c\cap B\cap [/mm] C$
[mm] $A^c\cap B\cap C^c$
[/mm]
[mm] $A^c\cap B^c\cap [/mm] C$
[mm] $A^c\cap B^c\cap C^c$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 So 14.04.2013 | | Autor: | ne1 |
>ich gehe mal davon aus, dass bei dieser Aufgabe kein exakter Beweis verlangt wird.
Ja das ist richtig.
OK, ich habe also [mm] $\{7,8\}, \{2\}, \{6\}, \{4\}, \{5\}, \{3\}, \{3\}, \{1\}, \IN \backslash \{1,...8\}$. [/mm] Die [mm] $\{8\}$ [/mm] gibt es darunter nicht, da ich [mm] $\{7,8\}$ [/mm] nicht mehr zerlegen kann.
Aus den oberen Mengen kann ich insgesamt [mm] $2^8$ [/mm] also 256 "bauen". Das weiß ich eher aus "Erfahrung". Die Aufgabe finde ich bisschen unpassend. Es geht hier, glaube ich, eher um Kombinatorik womit ich mich noch nie beschäftigt habe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:39 So 14.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
> OK, ich habe also [mm]\{7,8\}, \{2\}, \{6\}, \{4\}, \{5\}, \{3\}, \{3\}, \{1\}, \IN \backslash \{1,...8\}[/mm].
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ich möchte die Menge dieser 8 Mengen mit [mm] $\mathfrak{I}$ [/mm] bezeichnen.
> Die [mm]\{8\}[/mm] gibt es darunter nicht, da ich [mm]\{7,8\}[/mm] nicht mehr
> zerlegen kann.
> Aus den oberen Mengen kann ich insgesamt [mm]2^8[/mm] also 256
> "bauen". Das weiß ich eher aus "Erfahrung".
Ja.
Das "Bauen" funktioniert folgendermaßen: Man wählt eine beliebige Teilmenge [mm] $I\subseteq\mathfrak{I}$. [/mm] Dann "baut" man die Menge [mm] $\bigcup_{D\in I}D$.
[/mm]
So entsprechen die Teilmengen [mm] $I\subseteq\mathfrak{I}$ [/mm] in bijektiver Wiese den gesuchten Mengen (ohne Beweis).
Da [mm] $\mathfrak{I}$ [/mm] 8-elementig ist, hat [mm] $\mathfrak{I}$ [/mm] genau [mm] $2^8$ [/mm] Teilmengen. Denn um eine Teilmenge von einer 8-elementigen Menge zu wählen, hat man für jedes Element der 8-elementigen Menge 2 mögliche Wahlen: Es in die zu wählende Teilmenge aufzunehmen oder nicht.
Somit gibt es genau [mm] $2^8$ [/mm] Mengen, die sich in der gewünschten Weise aus A, B und C bauen lassen.
> Die Aufgabe
> finde ich bisschen unpassend. Es geht hier, glaube ich,
> eher um Kombinatorik womit ich mich noch nie beschäftigt
> habe.
Ich würde sagen: Es geht zum Teil um Mengenoperationen und zum Teil um Kombinatorik.
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