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| Aufgabe | Für eine Zahl r [mm] \varepsilon \IR [/mm] sei [mm] I_{r} [/mm] := {x [mm] \varepsilon \IR [/mm] : x [mm] \le [/mm] r}. Zeigen Sie für a, b [mm] \varepsilon [/mm] die Äquivalenz:
[mm] I_{a} \subset I_{b} \gdw [/mm] a [mm] \le [/mm] b |
Ich habe mir das wie folgt gedacht:
Erstmal habe ich zwei Mengen [mm] I_{a} [/mm] und [mm] I_{b}. [/mm] Dabei ist [mm] I_{a} [/mm] eine Teilmenge von [mm] I_{b}.
[/mm]
Der Einfachheit nehme ich jetzt mal natürliche Zahlen für die Mengen:
[mm] I_{a}={1, 2, 3, 4}
[/mm]
[mm] I_{b}={1, 2, 3, 4, 5, 6}
[/mm]
Ich habe deshalb [mm] I_{a} [/mm] nur Zahlen von 1-4 gegeben weil es ja noch diesen [mm] I_{r} [/mm] := {x [mm] \varepsilon \IR [/mm] : x [mm] \le [/mm] r} Zusatz gibt in der Aufgabenstellung gibt.
Wenn ich jetzt vergleiche:
[mm] I_{a} [/mm] - vgl. - [mm] I_{b}
[/mm]
1 [mm] \le [/mm] 1 Richtig
2 [mm] \le [/mm] 2 Richtig
3 [mm] \le [/mm] 3 Richtig
4 [mm] \le [/mm] 4 Richtig
Ich habe aber das Gefühl, dass es kein richtiger Beweis ist oder mathematisch nicht korrekt! Eine andere Lösung ist mir nicht eingefallen. Könnt ihr mir sagen ob das 1. Richtig ist? 2. Ob und wie man es besser machen könnte? 3. Wie würdet ihr es machen?
Danke für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:57 Mi 11.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Das ganze kann man auch auf "direktem Weg" zeigen.
Also:
a<b mit [mm] a,b\in\IR
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] x+a<x+b
[mm] \gdw\{x\in\IR|x
[mm] I_{a} \subset I_{b}
[/mm]
Das sollte schon reichen.
Oder kommst du mit der Schreibweise [mm] \{x\in\IR|x
Das heisst einfach nur, dass die Menge [mm] I_{a} [/mm] definiert ist als die Menge aller [mm] x\in\IR, [/mm] für die gilt x<a
:= heisst "ist definiert als"
Marius
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> Hallo
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> Das ganze kann man auch auf "direktem Weg" zeigen.
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> Also:
> a<b mit [mm]a,b\in\IR[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] x+a<x+b
> [mm]\gdw\{x\in\IR|x
> [mm]I_{a} \subset I_{b}[/mm]
>
> Das sollte schon reichen.
>
> Oder kommst du mit der Schreibweise [mm]\{x\in\IR|x
> zurecht?
>
> Das heisst einfach nur, dass die Menge [mm]I_{a}[/mm] definiert ist
> als die Menge aller [mm]x\in\IR,[/mm] für die gilt x<a
> := heisst "ist definiert als"
>
> Marius
Hi Marius,
vielen Dank für deine Antwort!
Ich habe immer leider probleme mit Beweisen. Ich komm damit einfach nicht zurecht, vielleicht besitze ich keine große Abstraktionsfähigkeit um auf solche Wege zu kommen.
Selbst jetzt verstehe ich das ganze nicht, wo du mir die richtige Lösung geschrieben hast.
Vielleicht hast du noch Muse mir das zu erklären?
> a<b mit [mm]a,b\in\IR[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] x+a<x+b
> [mm]\gdw\{x\in\IR|x
> [mm]I_{a} \subset I_{b}[/mm]
Denn ich komme damit wirklich nicht ganz zurecht. Ich will es aber verstehen.
War meine Herleitung falsch? Wenn du meine Lösung korrigieren würdest, wieviel % der max. Punkte würdest du geben? Du als Mathe Student wirst das beurteilen können oder?
Danke für deine Hilfe!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:02 Mi 11.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Deine Idee ist ja nicht grundsätzlich falsch. Nur wenn du anfängst, das mit Bespielen zu machen musst du dann eine Induktionsbeweis durchführen.
Ausserdem sind die [mm] I_{a} [/mm] Mengen.
Bsp: [mm] I_{4}=\{1;2;3;4\}
[/mm]
Wenn du jetzt zeigen willst, das
[mm] I_{4} \subset I_{6} [/mm] müsst du zeigen, dass
[mm] \{1;2;3;4\}\subset
[/mm]
[mm] \{1;2;3;4;5;6\}\
[/mm]
Um das zu zeigen, könntest du jetzt mal die Menge [mm] I_{b}/I_{a} [/mm] betrachten, also [mm] \{1;2;3;4;5;6\}/\{1;2;3;4\}=\{5;6\}
[/mm]
und die Menge
[mm] I_{a}/I_{b} [/mm] betrachten, also [mm] \{1;2;3;4\}/\{1;2;3;4;5;6\}=\emptyset
[/mm]
Aus beidem folgt, dass [mm] I_{4} \subset I_{6} [/mm] weil 4<6
Das ganze jetzt aber allgemein zu zeigen, erfordert einfach ein wenig Übung. Aber die bekommst du ja,wenn du Übungsaufgaben rechnest.
Klar hilft es, wenn du etwas beweisen sollst, dir erstmal anhand einiger Beispiele den Sachverhalt klarzumachen, aber das leider ist noch kein Beweis.
Und um die Aufgabe zu bewerten, fehlt mir einfach der Überblick über die Aufgaben und die Lösungen von anderen Personen. Deswegen werde ich dir hier auch keine Punktvorschläge meinerseits geben.
Denk halt nur daran, dass du die Gedankengänge, wenn du sie nicht formal korrekt schreiben kannst, gut erklären kannst. und dass du in einem Beweis ruhig viel Text schreiben darfst.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:16 Mi 11.10.2006 | | Autor: | KnockDown |
Danke für die Hilfe!
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Hallo, könnte mir jemand diesen Beweis von Marius erklären oder Marius evtl selbst? :)
Ich verstehe ihn einfach nicht wie man darauf kommt!
Ich würds so gerne verstehen.
> a<b mit [mm]a,b\in\IR[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] x+a<x+b
> [mm]\gdw\{x\in\IR|x
> [mm]I_{a} \subset I_{b}[/mm]
Danke für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:37 Mi 11.10.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo KnockDown,
> Hallo, könnte mir jemand diesen Beweis von Marius erklären
> oder Marius evtl selbst? :)
ich versuche es mal:
> Ich verstehe ihn einfach nicht wie man darauf kommt!
> Ich würds so gerne verstehen.
>
> > a<b mit [mm]a,b\in\IR[/mm]
das hier ist ganz normale Ordnungsrelation über den reellen Zahlen.
> > [mm]\gdw[/mm] x+a<x+b
wenn ich eine Zahl x nehme und sie zu den Zahlen a und b addiere, mit der Voraussetzung, dass a<b ist, dann ist x+a<x+b
[mm]3+4<3+5 [/mm] [mm](x=3, a=4, b=5)[/mm]
> > [mm]\gdw\{x\in\IR|x
so und das hier ist wahrscheinlich dein Problem, oder?
hier sind Mengen aufgeführt, an deren Inhalte ganz bestimmte Vorraussetzungen gestellt sind.
Die linke Menge umfasst alle x, die mit a addiert werden.
Die rechte Menge umfasst alle x, die mit b addiert werden.
stell dir das mal auf dem Zahlenstrahl vor, dann erkennst du sicher, dass du mit der linken Menge nicht so weit kommst, wie mit der rechten - denn a ist ja kleiner als b.
Also ist die linke Menge eine Teilmenge der rechten Menge.
> > [mm]I_{a} \subset I_{b}[/mm]
Konntest du nun folgen?
Liebe Grüße
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:14 Mi 11.10.2006 | | Autor: | KnockDown |
Hi, du kannst echt gut erklären!
Du hast es genau auf den Punkt gebracht was ich nicht verstanden habe und super erklärt! Danke! Eigentlich sind Beweise nicht so schwer, man muss sie jedoch verstehen bzw. es verstehen sie zu schreiben!
Ich hoffe, dass ich das auch irgendwann mal lerne!
Danke!!!
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Hi mir ist noch ne Frage gekommen.
Für folgende Aufgabenstellung:
Für eine Zahl r [mm] \varepsilon \IR [/mm] sei [mm] I_{r} [/mm] := {x [mm] \varepsilon \IR [/mm] : x [mm] \le [/mm] r}. Zeigen Sie für a, b [mm] \varepsilon [/mm] die Äquivalenz:
[mm] I_{a} \subset I_{b} \gdw [/mm] a [mm] \le [/mm] b
Lautete die Lösung wie folgt:
a<b mit [mm] a,b\in\IR
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] x+a<x+b
[mm] \gdw\{x\in\IR|x
[mm] I_{a} \subset I_{b}
[/mm]
Jetzt habe ich eine Frage, wenn man folgende Aufgabenstellung machen würde, wäre das ganze auch noch Auqivalent?
Ich würde sagen: Ich würde sagen, dass es nicht mehr Äuqivalent ist, da es mit dem jetzt ein < ist. Wenn wir jetzt anehmen dass A eine Teilmenge von B ist, dann käme es doch bei der "höchsten" Zahl von A zu einer Überschneidung als Bsp.: A = {1, 2, 3} B={1, 2, 3, 4} Wenn man jetzt A{3}<B{3} (ich glaube ich habe das jetzt nicht richtig geschrieben also mathematisch nicht richtig geschrieben) vergleichen würde, käme was falsches heraus.
Was sagt ihr?
Aufgabenstellung:
Für eine Zahl r [mm] \varepsilon \IR [/mm] sei [mm] I_{r} [/mm] := {x [mm] \varepsilon \IR [/mm] : x [mm] \le [/mm] r}. Zeigen Sie für a, b [mm] \varepsilon [/mm] die Äquivalenz:
[mm] I_{a} \subset I_{b} \gdw [/mm] a < b
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:27 Mo 16.10.2006 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> [mm]I_{a} \subset I_{b} \gdw[/mm] a < b
Nein diese Aussage ist falsch. Für [mm] $I_a \subset I_b$ [/mm] ist ja auch der Fall [mm] $I_a [/mm] = [mm] I_b$ [/mm] möglich.
Dann ist aber im Gleichheitsfall [mm] $I_a \subset I_b \gdw [/mm] a < b$ und [mm] $I_a \supset I_b \gdw [/mm] a > b$
Also $a<b $ und $a>b$, ein Widerspruch!
(Das [mm] $\subset$-Zeichen [/mm] wird in der Mengenlehre meist als einfache und nicht unbedingt echte Teilmenge angesehen! So war es in der ersten Aufgabenstellung auch verwendet worden. Meistens wird es über die [mm] $\in$-Relation [/mm] definiert durch:
$A [mm] \subset [/mm] B [mm] :\gdw [/mm] ( a [mm] \in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \in [/mm] B ) $ )
Gruß Micha 
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:53 Do 12.10.2006 | | Autor: | AriR |
könnte man das viell auch so machen:
[mm] I_a\subset I_b
[/mm]
[mm] \gdw x\in I_a\Rightarrow x\in I_b
[/mm]
[mm] \gdw x\le a\Rightarrow x\le [/mm] b
[mm] \gdw a\le [/mm] b
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:20 Mo 16.10.2006 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> könnte man das viell auch so machen:
>
> [mm]I_a\subset I_b[/mm]
> [mm]\gdw x\in I_a\Rightarrow x\in I_b[/mm]
An dieser Stelle würde idh den Schritt als nicht mehr intuitiv oder duch Aussagen, Axiome gegeben ansehen. Ich finde hier hat der Beweis eine schwachstelle und bedarf zumindest eines Kommentars.
> [mm]\gdw x\le a\Rightarrow x\le[/mm] b
> [mm]\gdw a\le[/mm] b
Gruß Micha
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 Di 17.10.2006 | | Autor: | AriR |
dieses angezweifelte [mm] \gdw [/mm] zeichen würde ich so beweisen:
[mm] "\Rightarrow":
[/mm]
[mm] I_a\subseteq I_b [/mm]
[mm] \Rightarrow x\in I_a\Rightarrow x\in I_b
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] (laut Def. [mm] I_a,I_b) x\in\IR\wedge x\le [/mm] a [mm] \Rightarrow x\in\IR\wedge x\le [/mm] b
"Leftarrow":
[mm] x\le [/mm] a [mm] \Rightarrow x\le [/mm] b
[mm] \Rightarrow [/mm] (Def [mm] I_a) x\in I_a\Rightarrow x\in I_b
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] (Def [mm] \subseteq) I_a\subseteq I_b
[/mm]
ist das so richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:45 Mi 18.10.2006 | | Autor: | Micha |
Hallo!
Du schreibst nun einfach laut Definition, was uns zwar auf die richtige Spur bringt aber schöner wäre es du fängst an wie folgt:
Sei $x [mm] \in \IR$. [/mm] Dann
$x [mm] \le [/mm] a [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \le [/mm] b$
[mm] $\gdw [/mm] x [mm] \in I_a \Rightarrow [/mm] x [mm] \in I_b$ [/mm] (Definition von [mm] $I_r$)
[/mm]
[mm] $\gdw I_a \subseteq I_b$ [/mm] (Definition von [mm] "$\subseteq$")
[/mm]
Das entscheidende ist hier eben, dass du vorher voraussetzt, dass x aus [mm] $\IR$ [/mm] ist. Es schaut etwas übersichtlicher aus, denke ich. Ein richtiger oder falscher gibt's hier sonst nicht.
Gruß Micha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:03 Mi 18.10.2006 | | Autor: | AriR |
lol alles klar danke.. normal müssen wir sowas über die junktoren schreiben, aber ich weiß nicht wie man das hiermacht :) merke ich mir fürs nächste mal
gruß ari
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