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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:56 Sa 21.01.2006 | | Autor: | Seppel |
Hi!
Habe nun weiter an den Übungsaufgaben meines Buches gesessen, folglich ein paar Beweise mehr erarbeitet. Aber gerade bei der Mengenlehre bin ich mir irgendwei immer sehr unsicher, also frage ich lieber noch einmal nach, ob das so richtig ist, wie ich das gemacht habe.
Also...
Beweise die folgenden Aussagen über Mengen:
c) [mm]M \subset N \Rightarrow M\cup N=N[/mm] und [mm]M\cap N=M[/mm]
- [mm]x\in M\cup N \gdw x\in M \vee x\in N \gdw x\in N[/mm]
- [mm]x\in M\cap N \gdw x\in M \wedge x\in N \gdw x\in M[/mm]
d)[mm]M\subset M\cup N[/mm];[mm]M\cap N\subset M[/mm]
- [mm]x\in M \gdw x\in M\vee x\in N\gdw x\in M\cup N[/mm]
- [mm]x\in M\cap N\gdw x\in M\wedge x\in N\gdw x\in M[/mm]
e)[mm]L\subset N[/mm] und [mm]M\subset N \Rightarrow L\cup M\subset N[/mm] und [mm]L\cap M\subset N[/mm]
- [mm]x\in L\cup M\gdw x\in L\vee x\in M \Rightarrow x\in N[/mm]
- [mm]x\in L\cap M\gdw x\in L\wedge x\in M\Rightarrow x\in N[/mm]
f)[mm]L\subset M[/mm] und [mm]M\subset N\Rightarrow L\subset N[/mm]
- [mm]x\in L\Rightarrow x\in M\Rightarrow x\in N[/mm]
g)[mm]M\cup N=N\cup M[/mm];[mm]M\cap N=N\cap M[/mm]
- [mm]x\in M\cup N\gdw x\in M\vee x\in N\gdw x\in N\vee x\in M\gdw x\in N\cup M[/mm]
- [mm]x\in M\cap N\gdw x\in M\wedge x\in N\gdw x\in N\wedge x\in M\gdw x\in N\cap M[/mm]
Wieder ist meine Frage, ob das alles richtig bewiesen ist - bin mir in der Mengenlehre, wie bereits gesagt, eher unsicher.
Gruß Seppel
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum auf einer anderen Internetseite gestellt.
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Hallo Seppel!
> Habe nun weiter an den Übungsaufgaben meines Buches
> gesessen, folglich ein paar Beweise mehr erarbeitet. Aber
> gerade bei der Mengenlehre bin ich mir irgendwei immer sehr
> unsicher, also frage ich lieber noch einmal nach, ob das so
> richtig ist, wie ich das gemacht habe.
![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
> Beweise die folgenden Aussagen über Mengen:
>
> c) [mm]M \subset N \Rightarrow M\cup N=N[/mm] und [mm]M\cap N=M[/mm]
> - [mm]x\in M\cup N \gdw x\in M \vee x\in N \gdw x\in N[/mm]
Naja, du sollst das Ganze ja aus [mm] $M\subset [/mm] N$ folgern, also solltest du schon damit anfangen.
[mm] $x\in M\subset [/mm] N$ und was folgt daraus? Daraus folgt: [mm] x\in [/mm] N. Und dann könntest du mit deiner Argumentation weitermachen.
> - [mm]x\in M\cap N \gdw x\in M \wedge x\in N \gdw x\in M[/mm]
Hier ebenso.
> d)[mm]M\subset M\cup N[/mm];[mm]M\cap N\subset M[/mm]
> - [mm]x\in M \gdw x\in M\vee x\in N\gdw x\in M\cup N[/mm]
Hier gilt im ersten Fall auf jeden Fall nur [mm] \Rightarrow [/mm] (ist das klar, warum?).
> - [mm]x\in M\cap N\gdw x\in M\wedge x\in N\gdw x\in M[/mm]
Hier gilt im zweiten Fall nur [mm] \Rightarrow [/mm] (auch klar?).
> e)[mm]L\subset N[/mm] und [mm]M\subset N \Rightarrow L\cup M\subset N[/mm]
> und [mm]L\cap M\subset N[/mm]
> - [mm]x\in L\cup M\gdw x\in L\vee x\in M \Rightarrow x\in N[/mm]
>
> - [mm]x\in L\cap M\gdw x\in L\wedge x\in M\Rightarrow x\in N[/mm]
Bei diesen beiden würde ich wie bei c) noch dazu schreiben, dass eben aus [mm] $x\in L\subset [/mm] N$ folgt, dass [mm] $x\in [/mm] N$ ist. Du könntest das in diesem Fall z. B. auch vor dem letzten [mm] \gdw [/mm] schreiben: [mm] \gdw $x\in [/mm] N [mm] \vee x\in [/mm] N$ und dann [mm] \gdw $x\in [/mm] N$.
> f)[mm]L\subset M[/mm] und [mm]M\subset N\Rightarrow L\subset N[/mm]
> - [mm]x\in L\Rightarrow x\in M\Rightarrow x\in N[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Evtl. könnte man nur noch drüber schreiben, was zu zeigen war, also
zz: [mm] $(x\in L\subset [/mm] M$ und [mm] $x\in M\subset N$)\Rightarrow $x\in L\subset [/mm] N$
Aber wenn dir das klar ist, musst du es nicht schreiben. 
> g)[mm]M\cup N=N\cup M[/mm];[mm]M\cap N=N\cap M[/mm]
> - [mm]x\in M\cup N\gdw x\in M\vee x\in N\gdw x\in N\vee x\in M\gdw x\in N\cup M[/mm]
>
> - [mm]x\in M\cap N\gdw x\in M\wedge x\in N\gdw x\in N\wedge x\in M\gdw x\in N\cap M[/mm]
Das ist vollkommen korrekt so.
> Wieder ist meine Frage, ob das alles richtig bewiesen ist -
> bin mir in der Mengenlehre, wie bereits gesagt, eher
> unsicher.
Ich glaub', du hast aber schon wichtige Sachen davon verstanden. In diesem Fällen hier weiß ich selber teilweise gerade keine sinnvolle Möglichkeit, es wirklich schön aufzuschreiben, denn im Prinzip hast du ja das richtige gemacht (bis auf die zwei [mm] \gdw, [/mm] wo nur [mm] \Rightarrow [/mm] gilt).
Ich hoffe auch, dass ich mich nirgendwo vertan habe. Also, falls dir etwas komisch vorkommen sollte, ruhig nochmal nachfragen.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:00 Sa 21.01.2006 | | Autor: | Seppel |
Hallo Bastiane!
Danke dir für die wieder einmal ausführliche Hilfe! Ist echt nett, dass du dir immer so viel Mühe gibst, danke.
Gruß Seppel
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