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Mengenoperation Beweis: Aufgabe, Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:20 Do 25.10.2012
Autor: Melisa

Aufgabe
Hallo Leute,
ich braeuchte ihre Hilfe :).  Also hab ne solche Aufgabe [mm] M_{1} \backslash (M_{2} \cup M_{3}) [/mm] =  [mm] (M_{1} \backslash M_{2}) \cap (M_{1} \backslash M_{3}). [/mm]

  

Meine Loesung:

Sei x [mm] \in M_{1} \backslash (M_{2} \cup M_{3}) \Rightarrow [/mm]  x [mm] \in M_{1} [/mm]
und x [mm] \not\in (M_{2} \cup M_{3}) [/mm] Also x [mm] \not\in M_{2} [/mm]  und x [mm] \not\in M_{3} \Rightarrow [/mm]  x [mm] \in [/mm] M1 und  x [mm] \not\in [/mm] M2 und x [mm] \in [/mm] M1 und  x [mm] \not\in [/mm] M3
[mm] \Rightarrow [/mm] x  [mm] \in [/mm] M1 [mm] \backslash [/mm] M2 und x [mm] \in [/mm] M1  [mm] \backslash [/mm] M3   [mm] \Rightarrow [/mm] x  [mm] \in [/mm] (M1 [mm] \backslash [/mm] M2) [mm] \cap [/mm] (M1 [mm] \backslash [/mm] M3)

Sei x [mm] \in [/mm]  (M1 [mm] \backslash [/mm] M2) [mm] \cap [/mm] (M1 [mm] \backslash [/mm] M3)  [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] M1 und x [mm] \not\in [/mm] M2 und x [mm] \in [/mm] M1 und x [mm] \not\in [/mm] M3
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] M1 und  x [mm] \not\in [/mm] M2 und  x [mm] \not\in [/mm] M3

[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in M_{1} \backslash (M_{2} \cup M_{3}) [/mm]

ist meine Loesung wahr oder falsch,  oder beide zusammen :D. Bin ich nicht sicher ob ich richtig gemacht habe.  
Danke im Voraus fuer schnelle Antwort :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Mengenoperation Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:29 Do 25.10.2012
Autor: tobit09

Hallo Melisa,


> Sei x [mm]\in M_{1} \backslash (M_{2} \cup M_{3}) \Rightarrow[/mm]  
> x [mm]\in M_{1}[/mm]
>  und x [mm]\not\in (M_{2} \cup M_{3})[/mm] Also x
> [mm]\not\in M_{2}[/mm]

(denn sonst wäre [mm] x\in M_2\cup M_3) [/mm]
>  und

(analog)
> x [mm]\not\in M_{3} \Rightarrow[/mm]  x [mm]\in[/mm] M1
> und  x [mm]\not\in[/mm] M2 und x [mm]\in[/mm] M1 und  x [mm]\not\in[/mm] M3
>   [mm]\Rightarrow[/mm] x  [mm]\in[/mm] M1 [mm]\backslash[/mm] M2 und x [mm]\in[/mm] M1  
> [mm]\backslash[/mm] M3   [mm]\Rightarrow[/mm] x  [mm]\in[/mm] (M1 [mm]\backslash[/mm] M2) [mm]\cap[/mm]
> (M1 [mm]\backslash[/mm] M3)
>  
> Sei x [mm]\in[/mm]  (M1 [mm]\backslash[/mm] M2) [mm]\cap[/mm] (M1 [mm]\backslash[/mm] M3)  
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] M1 und x [mm]\not\in[/mm] M2 und x [mm]\in[/mm] M1 und x
> [mm]\not\in[/mm] M3
>   [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] M1 und  x [mm]\not\in[/mm] M2 und  x [mm]\not\in[/mm] M3

Es folgt  [mm] $x\not\in M_2\cup M_3$, [/mm] denn sonst wäre [mm] $x\in M_2$ [/mm] oder [mm] $x\in M_3$. [/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in M_{1} \backslash (M_{2} \cup M_{3})[/mm]

Sehr schön!

Das einzige, was man je nach Strenge bemängeln könnte (nicht müsste!), wäre eine zu große Grobschrittigkeit an den Stellen, an denen ich etwas eingefügt habe.

Viele Grüße
Tobias
Bezug
                
Bezug
Mengenoperation Beweis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:38 Do 25.10.2012
Autor: Melisa

Hallo tobit09,
vielen vielen Dank fuer deine Antwort, du hast mir sehr geholfen.
Bezug
                
Bezug
Mengenoperation Beweis: Mengenoperation
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:15 Do 25.10.2012
Autor: Melisa

Aufgabe
Danke tobit09 fuer deine Hilfe,
ich habe noch ein kleines Problem mit der Aufgabe :
Stimmen auch die folgenden Rechenregeln?
M1 [mm] \cap [/mm] (M2 [mm] \backslash [/mm] M3) = (M1 [mm] \cap [/mm] M2) [mm] \backslash [/mm] (M1 [mm] \cap [/mm] M3)

Loesung:
Sei x [mm] \in [/mm] M1 [mm] \cap [/mm] (M2 [mm] \backslash [/mm] M3) daraus folgt x [mm] \in [/mm] M1 und x [mm] \in [/mm] M2  [mm] \backslash [/mm] M3
=> x [mm] \in [/mm] M1 und x [mm] \in [/mm] M2 und x [mm] \not\in [/mm]  M3
=> x [mm] \in [/mm] M1 [mm] \cap [/mm] M2, aber M1 [mm] \cap [/mm] M3 = leere Menge, weil x [mm] \in [/mm] M1 und x [mm] \not\in [/mm] M3.  
Kann man jetzt sagen, dass diese Rechenregel M1 [mm] \cap [/mm] (M2 [mm] \backslash [/mm] M3) = (M1 [mm] \cap [/mm] M2) [mm] \backslash [/mm] (M1 [mm] \cap [/mm] M3) stimmt nicht??
Bezug
                        
Bezug
Mengenoperation Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:33 Do 25.10.2012
Autor: tobit09

Wenn du zeigen möchtest, dass die Regel i.A. falsch ist, müsstest du ein Gegenbeispiel finden.

Das wird dir hier jedoch nicht gelingen, denn diese Regel stimmt. ;-)


Hier setzt du schon zum Beweis der einen Inklusion (Teilmengenbeziehung) an:
>  Loesung:
>  Sei x [mm]\in[/mm] M1 [mm]\cap[/mm] (M2 [mm]\backslash[/mm] M3) daraus folgt x [mm]\in[/mm] M1
> und x [mm]\in[/mm] M2  [mm]\backslash[/mm] M3
>  => x [mm]\in[/mm] M1 und x [mm]\in[/mm] M2 und x [mm]\not\in[/mm]  M3

Bis hierhin schön! [ok]

>  => x [mm]\in[/mm] M1 [mm]\cap[/mm] M2, aber M1 [mm]\cap[/mm] M3 = leere Menge, weil x

> [mm]\in[/mm] M1 und x [mm]\not\in[/mm] M3.

[mm] $M_1\cap M_3=\emptyset$ [/mm] ist i.A. falsch.

Wegen [mm] $x\not\in M_3$ [/mm] gilt [mm] $x\not\in M_1\cap M_3$ [/mm] (denn sonst wäre [mm] $x\in M_3$). [/mm]

Also gelten [mm] $x\in M_1\cap M_2$ [/mm] und [mm] $x\not\in M_1\cap M_3$. [/mm]
Somit [mm] $x\in (M_1\cap M_2)\setminus(M_1\cap M_3)$. [/mm]


Zeige nun die andere Inklusion.
Bezug
                                
Bezug
Mengenoperation Beweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:11 Do 25.10.2012
Autor: Melisa

Aufgabe
Also ich habe jetzt zu zeigen dass (M1 [mm] \cap [/mm] M2) \ (M1 [mm] \cap [/mm] M3) [mm] \subset [/mm] M1 [mm] \cap [/mm] (M2 \ M3)

Sei x [mm] \in [/mm] (M1 [mm] \cap [/mm] M2) \ (M1 [mm] \cap [/mm] M3)
=> x [mm] \in [/mm] M1 und x [mm] \in [/mm] M2 und x  [mm] \not\in [/mm] M1 [mm] \cap [/mm] M3
=> x [mm] \in [/mm] M1 und x [mm] \in [/mm] M2 und x [mm] \not\in [/mm] M3 (sonst waere [mm] x\in [/mm]  M1 [mm] \cap [/mm] M3)
=> x [mm] \in [/mm] M1 und x [mm] \in [/mm] M2 \ M3
=> x [mm] \in [/mm] M1 [mm] \cap [/mm] (M2 \ M3)
Wenn ich jetzt dass alles richtig geschrieben habe, mache ich heute eine Party :D
Bezug
                                        
Bezug
Mengenoperation Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:17 Do 25.10.2012
Autor: tobit09


> Also ich habe jetzt zu zeigen dass (M1 [mm]\cap[/mm] M2) \ (M1 [mm]\cap[/mm]
> M3) [mm]\subset[/mm] M1 [mm]\cap[/mm] (M2 \ M3)
>  Sei x [mm]\in[/mm] (M1 [mm]\cap[/mm] M2) \ (M1 [mm]\cap[/mm] M3)
> => x [mm]\in[/mm] M1 und x [mm]\in[/mm] M2 und x  [mm]\not\in[/mm] M1 [mm]\cap[/mm] M3
>  => x [mm]\in[/mm] M1 und x [mm]\in[/mm] M2 und x [mm]\not\in[/mm] M3 (sonst waere

> [mm]x\in[/mm]  M1 [mm]\cap[/mm] M3)
>  => x [mm]\in[/mm] M1 und x [mm]\in[/mm] M2 \ M3

>  => x [mm]\in[/mm] M1 [mm]\cap[/mm] (M2 \ M3)

>  Wenn ich jetzt dass alles richtig geschrieben habe, mache
> ich heute eine Party :D

[ok] Ich würde sagen: Die Party kann beginnen!
Bezug
                                                
Bezug
Mengenoperation Beweis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:22 Do 25.10.2012
Autor: Melisa

Du bist eingeladen, danke nochmalls
Bezug
                
Bezug
Mengenoperation Beweis: Mengenoperation
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 21:23 Do 25.10.2012
Autor: Melisa

Aufgabe
Hallo, Hallo, Hallo
ich habe noch ein kleines Problem mit der Aufgabe :
Stimmen auch die folgenden Rechenregeln?
M1 [mm] \cap [/mm] (M2 [mm] \backslash [/mm] M3) = (M1 [mm] \cap [/mm] M2) [mm] \backslash [/mm] (M1 [mm] \cap [/mm] M3)

Loesung:
Sei x [mm] \in [/mm] M1 [mm] \cap [/mm] (M2 [mm] \backslash [/mm] M3) daraus folgt x [mm] \in [/mm] M1 und x [mm] \in [/mm] M2  [mm] \backslash [/mm] M3
=> x [mm] \in [/mm] M1 und x [mm] \in [/mm] M2 und x [mm] \not\in [/mm]  M3
=> x [mm] \in [/mm] M1 [mm] \cap [/mm] M2, aber M1 [mm] \cap [/mm] M3 = leere Menge, weil x [mm] \in [/mm] M1 und x [mm] \not\in [/mm] M3.  
Kann man jetzt sagen, dass diese Rechenregel M1 [mm] \cap [/mm] (M2 [mm] \backslash [/mm] M3) = (M1 [mm] \cap [/mm] M2) [mm] \backslash [/mm] (M1 [mm] \cap [/mm] M3)  nicht stimmt??
Bezug
                        
Bezug
Mengenoperation Beweis: Doppelpost
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:35 Do 25.10.2012
Autor: tobit09

Wahrscheinlich ist dir hier versehentlich ein Doppelpost unterlaufen.

Eine Antwort findest du hier.
Bezug
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