Mengenoperationen < naiv < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:29 Fr 14.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
| Aufgabe | Seien $A$, $B$ und $C$ Teilmengen einer Menge $X$.
a) Zeige $ A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C) = (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C) $
b) Gilt $ X-(A [mm] \cap B)=\begin{cases} (X-A) \cup (X-B), & \mbox{oder} \\ (X-A) \cap (X-B), & \mbox{oder} \\ (X-A) \cap B \end{cases} [/mm] $
c) Seien nun $A$ und $B$ zusätzlich endlich. Zeige $ |A| + |B| = |A [mm] \cap [/mm] B| + |A [mm] \cup [/mm] B| $ |
Hallo zusammen.
Ich habe große Probleme bei diesen Aufgaben.
Also bei der a) weiß ich überhaupt nicht wie ich ansetzen soll.
Alles was wir zum Thema Vereinigung und Durchschnitt hatten waren die Definitionen. Aber irgendwie komm ich damit nicht weiter.
Bei der b) hab ich mir mal ein Bildchen gemalt, und von dem her würde ich tippen, dass es der erste Fall sein muss, also $ X-(A [mm] \cap [/mm] B) = (X-A) [mm] \cup [/mm] (X-B) $. Aber wir kann ich das formal belegen?
Bei der c) hab ich mir folgendes überlegt: Ich setze $|A|=n$ und $|B|=m$ weil die Mengen ja unterscheidlich sind. Dann hab ich mir ein Bild mit einem Beispiel zur Mächtigkeit der Vereinigung gemacht und gesehen, dass man dabei nicht alle Elemente zählen darf. Ich glaube, die Elemente, die im Schnitt liegen, muss man einmal wieder abziehen, weil man sie sonst doppelt zählen würde.
Dann bekomme ich das hier:
$ n+m = |A [mm] \cap [/mm] B| + (|A| + |B| - |A [mm] \cap [/mm] B|) = |A [mm] \cap [/mm] B| + (n + m - |A [mm] \cap [/mm] B|) = |A [mm] \cap [/mm] B| + n + m - |A [mm] \cap [/mm] B| = n+m $
Ist das so richtig?
Danke für eure Hilfe.
LG, Nadine
|
|
| |
|
Die Gleichheit von zwei Mengen kannst du eigentlich immer (mal empfiehlt es sich mal nicht) mit zwei Inklusionen zeigen. D. h. bei a) setzt du an mit Sei x Element von$ A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C)$ daraus folgt, x ist in A und x ist in B und/oder C. Dann ne Fallunterscheidung und dann hast du es eigentlich sofort... und das ganze dann nochmal in die andere Richtung.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:12 Fr 14.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
D. h. bei a) setzt du an mit Sei x Element von[mm] A \cap (B \cup C)[/mm]
> daraus folgt, x ist in A und x ist in B und/oder C. Dann ne
> Fallunterscheidung und dann hast du es eigentlich sofort...
Also ich bin jetzt so weit:
Sei $ x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C) $
$ [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \text{ und } [/mm] x [mm] \in [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C) $
$ [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \text{ und } [/mm] (x [mm] \in [/mm] B [mm] \text{ oder } [/mm] x [mm] \in [/mm] C)$
Jetzt weiß ich nicht mehr weiter. Was muss ich machen?
Ich glaube, dass ich auch noch ein Problem mit der Definition der Vereinigung habe:
Sie lautet ja: $ A [mm] \cup [/mm] B = [mm] \{ x | x \in A \text{ oder } x \in B \} [/mm] $
Übersetzt heißt das ja: $x$ liegt in $A$ oder in $B$ oder in beiden.
Das mit dem "oder in beidem", dieses nicht-exklusive oder, das versteh ich nicht. warum gibt es dieses "in beidem"?
Wenn ich das exklusive oder nehme, also sage, $x$ liegt entweder in $A$ oder in $B$, dann überdeckt dass doch auch den Schnitt (also das "in beidem"), weil die Menge $A$ den Schnitt überdeckt und die Menge $B$ doch auch den Schnitt überdeckt. Das verstehe ich nicht...
Könnt ihr mir helfen?
LG, Nadine
|
|
|
| |
|
Sei nun also x in A und x in B... und dann werfen wir einen Blick auf die andere Seite. Ist nämlich x in A und x in B, dann ist es auch in deren Schnitt ... und damit auch in einer beliebigen Vereinigung dieses Schnittes mit irgend einer anderen Menge.
Sei nun x in A und in C, zack schon ist es im anderen Schnitt...
... und falls es in A,B und C ist, dann ist es halt in beiden Schnitten und damit natürlich auch in deren Vereinigung
Jetzt fehlt noch die andere Seite
(tut mir übrigens leid wenn es etwas unübersichtlich ist, ich finde das schreiben mit dem Formeleditor etwas umständlich)
|
|
|
|
