Mengentheoretischer Beweis < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:45 Fr 04.11.2011 | | Autor: | Ferolei |
| Aufgabe | Seien A,B,C beliebige Mengen.
Zeigen Sie: Wenn A [mm] \subseteq [/mm] B [mm] \subseteq [/mm] C [mm] \subseteq [/mm] A gilt, dann ist A=B=C |
Hallo,
kann ich das so machen?
Sei x [mm] \in [/mm] A => x [mm] \in [/mm] B (Def. [mm] \subseteq) [/mm] => x [mm] \in [/mm] C => Für alle x [mm] \in [/mm] A gilt, dass x [mm] \in [/mm] B und x [mm] \in [/mm] C also A=B=C.
???
LG
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Hallo Ferolei,
nein, das reicht so nicht.
> Seien A,B,C beliebige Mengen.
> Zeigen Sie: Wenn A [mm]\subseteq[/mm] B [mm]\subseteq[/mm] C [mm]\subseteq[/mm] A
> gilt, dann ist A=B=C
> Hallo,
>
> kann ich das so machen?
>
> Sei x [mm]\in[/mm] A => x [mm]\in[/mm] B (Def. [mm]\subseteq)[/mm] => x [mm]\in[/mm] C => Für
> alle x [mm]\in[/mm] A gilt, dass x [mm]\in[/mm] B und x [mm]\in[/mm] C also A=B=C.
Das kann man so nicht folgern!
Hier fehlt der letzte (und entscheidende) Teil der Inklusionskette: [mm] C\subseteq{A}
[/mm]
Du kannst allerdings folgern [mm] A\subseteq{C} [/mm] und dann daraus und [mm] C\subseteq{A} [/mm] auch A=C, schließlich dann A=B=C.
Es ist im Prinzip wie mit [mm] x\le y\le z\le x \Rightarrow x=y=z [/mm].
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:04 Fr 04.11.2011 | | Autor: | Ferolei |
> Hallo Ferolei,
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> nein, das reicht so nicht.
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> > Seien A,B,C beliebige Mengen.
> > Zeigen Sie: Wenn A [mm]\subseteq[/mm] B [mm]\subseteq[/mm] C [mm]\subseteq[/mm] A
> > gilt, dann ist A=B=C
> > Hallo,
> >
> > kann ich das so machen?
> >
> > Sei x [mm]\in[/mm] A => x [mm]\in[/mm] B (Def. [mm]\subseteq)[/mm] => x [mm]\in[/mm] C => Für
> > alle x [mm]\in[/mm] A gilt, dass x [mm]\in[/mm] B und x [mm]\in[/mm] C also A=B=C.
>
> Das kann man so nicht folgern!
>
> Hier fehlt der letzte (und entscheidende) Teil der
> Inklusionskette: [mm]C\subseteq{A}[/mm]
>
Der gilt doch nach Voraussetzung ?
> Du kannst allerdings folgern [mm]A\subseteq{C}[/mm] und dann daraus
> und [mm]C\subseteq{A}[/mm] auch A=C, schließlich dann A=B=C.
>
Meinst du also, dass da nach x [mm] \in [/mm] C stehen muss : => A [mm] \subseteq [/mm] C und wegen C [mm] \subseteq [/mm] A gilt A=C ?
Haben in der Vorlesung schon die Transitivität nachgewiesen.
Analog muss man dann noch begründen, dass A=B ist mit Transitivität? Oder?
Also einmal nach Voraussetzung gilt A [mm] \subseteq [/mm] B und mit Transitivität und der Voraussetzung ist auch B [mm] \subseteq [/mm] A.
> Es ist im Prinzip wie mit [mm]x\le y\le z\le x \Rightarrow x=y=z [/mm].
>
> Grüße
> reverend
>
>
Danke
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Hallo nochmal,
> > nein, das reicht so nicht.
> >
> > > Seien A,B,C beliebige Mengen.
> > > Zeigen Sie: Wenn A [mm]\subseteq[/mm] B [mm]\subseteq[/mm] C [mm]\subseteq[/mm]
> A
> > > gilt, dann ist A=B=C
> > > Hallo,
> > >
> > > kann ich das so machen?
> > >
> > > Sei x [mm]\in[/mm] A => x [mm]\in[/mm] B (Def. [mm]\subseteq)[/mm] => x [mm]\in[/mm] C => Für
> > > alle x [mm]\in[/mm] A gilt, dass x [mm]\in[/mm] B und x [mm]\in[/mm] C also A=B=C.
> >
> > Das kann man so nicht folgern!
> >
> > Hier fehlt der letzte (und entscheidende) Teil der
> > Inklusionskette: [mm]C\subseteq{A}[/mm]
>
> Der gilt doch nach Voraussetzung ?
Ja, aber Du hattest ihn nicht verwendet, und ohne diesen Teil stimmt Deine Folgerung schlicht nicht.
> > Du kannst allerdings folgern [mm]A\subseteq{C}[/mm] und dann daraus
> > und [mm]C\subseteq{A}[/mm] auch A=C, schließlich dann A=B=C.
> >
>
> Meinst du also, dass da nach x [mm]\in[/mm] C stehen muss : => A
> [mm]\subseteq[/mm] C und wegen C [mm]\subseteq[/mm] A gilt A=C ?
Genau.
> Haben in der Vorlesung schon die Transitivität
> nachgewiesen.
> Analog muss man dann noch begründen, dass A=B ist mit
> Transitivität? Oder?
Oder dass C=B ist, eins von beiden.
> Also einmal nach Voraussetzung gilt A [mm]\subseteq[/mm] B und mit
> Transitivität und der Voraussetzung ist auch B [mm]\subseteq[/mm]
> A.
Letzteres folgt aus [mm]B\subseteq C\subseteq A[/mm].
Sei nicht so schreibfaul. Die wesentlichen Bestandteile des Beweises müssen schon vorkommen, es reicht nicht, wenn Du Dir Sachen nur denkst, selbst wenn sie richtig sind!
> > Es ist im Prinzip wie mit [mm]x\le y\le z\le x \Rightarrow x=y=z [/mm].
lg
rev
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