Mengenwertige Umkehrabbildung < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:42 Di 27.10.2015 | | Autor: | Manu271 |
| Aufgabe | Betrachten Sie für beliebige nichtleere Mengen A und B und eine beliebige Abbildung f: A [mm] \to [/mm] B die zugehörige mengenwertige Umkehrabbildung:
$ [mm] f^{-1} [/mm] : [mm] \mathcal [/mm] P(B) [mm] \to [/mm] P(A) : M [mm] \mapsto f^{-1}(M) [/mm] := [mm] \{a \in A | f(a) \in M\} [/mm] $
Unter den folgenden Voraussetzungen an f:
(a) die Abbildung f ist surjektiv,
(b) die Abbildung f ist injektiv,
(c) die Abbildung f ist bijektiv.
sollen Sie folgende Eigenschaften von [mm] f^{-1} [/mm] folgern:
- Beweisen oder widerlegen Sie, unter welcher der Voraussetzungen a), b), c), die Abbildung [mm] f^{-1} [/mm] injektiv bzw. surjektiv ist. |
Hallo,
wieder einmal ist eine Aufgabe Teil meines Übungsblattes, die ich nicht verstehe.
In den Vorlesungen behandelten wir nur "normale" Abbildungen f: A [mm] \to [/mm] B, deshalb tue ich mich extrem schwer die Aufgabe überhaupt nachvollziehen zu können.
Mir ist klar, das die Abbildung [mm] f^{-1} [/mm] Teilmengen von B auf Teilmengen von A abbildet.
Das was ich nicht verstehe ist die Abbildungsvorschrift mit M [mm] \mapsto f^{-1}(M).
[/mm]
Ich denke M muss eine Teilmenge von B sein, und [mm] f^{-1}(M) [/mm] sind Teilmengen von A.
In meinen Augen ist das aber keine eindeutige Vorschrift.
Sei A:={a,b} und B:={1,2}.
Dann könnte doch [mm] f^{-1} [/mm] ({1})={a} sein oder auch [mm] $=\{b\}$, [/mm] oder [mm] $=\{a,b\}$. [/mm] Alle Ergebnisse erfüllen ja die Bedingung Teilmengen von A zu sein.
Ich hoffe ihr versteht mein Problem.
Ich denke sobald ich diese Umkehrabbildung verstanden habe, ist es ein Leichtes Surjektivität oder Injektivität zu beweisen.
Deshalb hoffe ich jemand kann mir diese Umkehrabbildung erklären und vielleicht sogar erklären wie In-, Sur-, oder Bijektivität von f mit In-, oder Surjektivität von [mm] f^{-1} [/mm] zusammenhängt.
LG,
Manu271
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Hallo Manu,
> Betrachten Sie für beliebige nichtleere Mengen A und B und
> eine beliebige Abbildung f: A [mm]\to[/mm] B die zugehörige
> mengenwertige Umkehrabbildung:
>
> [mm]f^{-1} : \mathcal P(B) \to P(A) : M \mapsto f^{-1}(M) := \{a \in A | f(a) \in M\}[/mm]
>
> Mir ist klar, das die Abbildung [mm]f^{-1}[/mm] Teilmengen von B auf
> Teilmengen von A abbildet.
> Das was ich nicht verstehe ist die Abbildungsvorschrift mit
> M [mm]\mapsto f^{-1}(M).[/mm]
>
> Ich denke M muss eine Teilmenge von B sein, und [mm]f^{-1}(M)[/mm]
> sind Teilmengen von A.
Genau so ist es; das hast du richtig verstanden.
[mm]f^{-1}(M)[/mm] ist ja oben erklärt. In Worten [mm]f^{-1}(M)[/mm] ist die Menge aller a aus A mit der Eigenschaft f(a) ist in M
> In meinen Augen ist das aber keine eindeutige Vorschrift.
Was meinst du mit "das"?
Deine folgenden Einwände verstehe ich leider nicht.
Gruß
korbinian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:57 Di 27.10.2015 | | Autor: | Manu271 |
Hallo Korbinian,
erstmal vielen Dank für die Antwort.
Mit "das" meinte ich die Vorschrift wie die Elemente abgebildet werden. $M [mm] \mapsto f^{-1}(M). [/mm] $
LG,
Manu271
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:34 Mi 28.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> Betrachten Sie für beliebige nichtleere Mengen A und B und
> eine beliebige Abbildung f: A [mm]\to[/mm] B die zugehörige
> mengenwertige Umkehrabbildung:
>
> [mm]f^{-1} : \mathcal P(B) \to P(A) : M \mapsto f^{-1}(M) := \{a \in A | f(a) \in M\}[/mm]
>
> Unter den folgenden Voraussetzungen an f:
>
> (a) die Abbildung f ist surjektiv,
> (b) die Abbildung f ist injektiv,
> (c) die Abbildung f ist bijektiv.
>
> sollen Sie folgende Eigenschaften von [mm]f^{-1}[/mm] folgern:
> - Beweisen oder widerlegen Sie, unter welcher der
> Voraussetzungen a), b), c), die Abbildung [mm]f^{-1}[/mm] injektiv
> bzw. surjektiv ist.
> Hallo,
>
> wieder einmal ist eine Aufgabe Teil meines Übungsblattes,
> die ich nicht verstehe.
> In den Vorlesungen behandelten wir nur "normale"
> Abbildungen f: A [mm]\to[/mm] B, deshalb tue ich mich extrem schwer
> die Aufgabe überhaupt nachvollziehen zu können.
>
> Mir ist klar, das die Abbildung [mm]f^{-1}[/mm] Teilmengen von B auf
> Teilmengen von A abbildet.
> Das was ich nicht verstehe ist die Abbildungsvorschrift mit
> M [mm]\mapsto f^{-1}(M).[/mm]
Einer Teilmenge M von B wird die Menge [mm] \{a \in A | f(a) \in M\} [/mm] zu geordnet.
>
> Ich denke M muss eine Teilmenge von B sein, und [mm]f^{-1}(M)[/mm]
> sind Teilmengen von A.
Ja
>
> In meinen Augen ist das aber keine eindeutige Vorschrift.
> Sei A:={a,b} und B:={1,2}.
> Dann könnte doch [mm]f^{-1}[/mm] ({1})={a} sein oder auch [mm]=\{b\}[/mm],
> oder [mm]=\{a,b\}[/mm].
Was [mm]f^{-1}[/mm] ({1}) nun ist hängt doch von f ab !!!
Beispiele (stets seien A:={a,b} und B:={1,2})
1. f sei def. durch f(a)=1, f(b)=2. Dann ist [mm]f^{-1}[/mm] ({1})={a}
2. f sei def. durch f(a)=2, f(b)=2. Dann ist [mm]f^{-1}[/mm] [mm] ({1})=\emptyset
[/mm]
3. f sei def. durch f(a)=1, f(b)=1. Dann ist [mm]f^{-1}[/mm] ({1})=A
FRED
> Alle Ergebnisse erfüllen ja die Bedingung
> Teilmengen von A zu sein.
> Ich hoffe ihr versteht mein Problem.
> Ich denke sobald ich diese Umkehrabbildung verstanden
> habe, ist es ein Leichtes Surjektivität oder Injektivität
> zu beweisen.
> Deshalb hoffe ich jemand kann mir diese Umkehrabbildung
> erklären und vielleicht sogar erklären wie In-, Sur-,
> oder Bijektivität von f mit In-, oder Surjektivität von
> [mm]f^{-1}[/mm] zusammenhängt.
>
> LG,
> Manu271
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