Mertens Beweis zu Satz < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für [mm] x\rightarrow \infty [/mm] gilt:
[mm] \[
[/mm]
[mm] \boxed{
a.) \hspace{1cm} \sum_{n\le x} \frac{\Lambda(n)}{n}=log(x)+O(1)
b.) \hspace{1cm} \sum_{p\le x} \frac{log(p)}{p}=log(x)+O(1)
}
[/mm]
BEWEIS VON b.)
Sei ohne Einschr"ankung $x=m [mm] \in [/mm] N$, dann gilt aus [mm] a.)\\\\
[/mm]
Eigenes Beispiel:n=3, x=8
[mm] \sum_{n\le x}\frac{ \Lambda(n)}{n}&=\sum_{3\le8}\frac{ \Lambda(n)}{n}\\
[/mm]
[mm] &=\frac{ \Lambda(3)}{3}+\frac{\Lambda(4)}{4}+\frac{ \Lambda(5)}{5}+\frac{\Lambda(6)}{6}+\frac{ \Lambda(7)}{7}+\frac{ \Lambda(8)}{8}\hspace{1cm} \text{Anzahl der TERME: } 6\\
[/mm]
[mm] &=\frac{ log(3)}{3}+0+\frac{log(5)}{5}+0+\frac{ log(7)}{7}+0\\\\
[/mm]
[mm] \sum_{p\le x} \frac{log(p)}{p}&=\sum_{p\le 8} \frac{log(p)}{p}\\
[/mm]
&= [mm] \frac{log(3)}{3}+ \frac{log(5)}{5}+ \frac{log(7)}{7}\hspace{4,3cm} \text{Anzahl der TERME: }3
[/mm]
Daher kann wegen der Anzahl der Terme ausgesagt werden, dass
[mm] \sum_{n\le x}\frac{ \Lambda(n)}{n}\ge\sum_{p\le x} \frac{log(p)}{p}\\
[/mm]
[mm] \sum_{n\le x}\frac{ \Lambda(n)}{n}-\sum_{p\le x} \frac{log(p)}{p}\ge [/mm] 0
Mit
[mm] \psi(x)&=\sum_{n\le x} \Lambda(n), \texttt{ wobei }\\
[/mm]
[mm] \Lambda(n)&=\begin{cases}
log(p), & \text{f"ur }n=p^m\text{ (Primzahlpotenz),}\\
0, & \text{sonst}
\end{cases}
[/mm]
gilt dann:
[mm] \sum_{p^k\le x}\frac{ log(p)}{p^k}-\sum_{p\le x} \frac{log(p)}{p}\ge 0\\
[/mm]
[mm] \sum_{p\le x}\sum_{k\ge 2}\frac{log(p)}{p^k}-\sum_{p\le x} \frac{log(p)}{p}\ge 0\\
[/mm]
[mm] \sum_{p\le x}log(p)\cdot \underbrace{\sum_{k\ge 2}\frac{1}{p^k}}_{Geometrische Reihe}-\sum_{p\le x} \frac{log(p)}{p}\ge 0\\
[/mm]
Warum starten wir bei k=2?
Geometrische Reihe startet bei $k=2$:
[mm] \sum_{k\ge 2}\frac{1}{p^k}=\frac{1}{p^2}\cdot \frac{1}{1-\frac{1}{p}}=\frac{1}{p(p-1)}
[/mm]
somit
[mm] \sum_{p\le x}log(p)\cdot \frac{1}{p(p-1)}&=\sum_{p\le m}\frac{log(p)}{p(p-1)}\\
[/mm]
[mm] \text{Es gilt: }\\
[/mm]
[mm] \sum_{p\le m}\frac{log(p)}{p(p-1)}&\le\sum_{p}^\infty\frac{log(p)}{p(p-1)}\le \underbrace{\sum_{n=2}^\infty\frac{log(n)}{n(n-1)}}_{\text{konvergent, da } \frac{log(x)}{x^\alpha}=0} <\infty\\\\
[/mm]
d.h. $log(x)$ w"achst langsamer als jedes [mm] $x^\alpha$. [/mm] D.h. zum Beispiel f"ur ein [mm] $\alpha=0,5$ [/mm] ergibt sich [mm] $\frac{log(n)}{\sqrt{n}}\rightarrow [/mm] 0$ f"ur n groß genug. Das bedeutet, [mm] $\frac{log(n)}{\sqrt{n}}<1$ [/mm] f"ur n [mm] gro\ss{} [/mm] genug. Damit ergibt sich f"ur [mm] \Lambda, [/mm] dass [mm] \frac{ \Lambda(n)}{n} [/mm] konvergent ist, und damit, dass die folgende Differenz beschr"ankt ist:
[mm] \sum\frac{ \Lambda(n)}{n}-\sum \frac{log(p)}{p}
[/mm]
Man sieht leicht: [mm] $log(x)<\sqrt{x},\forall [/mm] x>0$. Also
[mm] \frac{log(n)}{n(n-1)}\le\frac{\sqrt{n}}{n(n-1)}=\frac{1}{\sqrt{n}(n-1)}\le \frac{1}{(n-1)^{3/2}}
[/mm]
d.h.
[mm] \sum_{n=2}^\infty\frac{log(n)}{n(n-1)}\le\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{(n-1)^{3/2}}=\zeta(\frac{3}{2})
[/mm]
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Hallo zusammen!
Das ist der Beweis, den unser Professor so hingeschrieben hat, da hätte ich einige Fragen zum Beweis von b.).
Zum einen ist mir nicht klar, warum wir bei k=2 bei der geometrische Reihe starten? (Ist rot markiert)
Und zum anderen kann ich keinen Zusammenhang zwischen dem zu führenden Beweis und dem letzten Teil (auch rot markiert) finden. Wie komme ich damit auf meine Aussage in b.)?
Vielen vielen Dank
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| Aufgabe | Beweis des ´Mertens-Satzes c.)
c.) [mm] \prod_{p\le x} \left(1-\frac{1}{p}\right)\sim \frac{e^{-\gamma}}{log(x)}, [/mm]
mit [mm] \gamma=Eulersche [/mm] Konstante.
Dies wird nicht vollst"andig bewiesen. wir nehmen an, dass [mm] \gamma [/mm] eine normale Konstante c sei. Zeige also
[mm] \prod_{p\le x} \left(1-\frac{1}{p}\right)\sim \frac{e^{-c}}{log(x)}.
[/mm]
1.) [mm] \textbf{Behauptung: }
[/mm]
[mm] log(x)\cdot e^c\sim \underbrace{\prod_{p\le x} \left(1-\frac{1}{p}\right)^{-1}}_{:=P(x)}
[/mm]
bzw. mit log
[mm] log(P(x))&\sim log(log(x))\cdot e^c) \\
[/mm]
[mm] log(P(x))&\sim [/mm] log(log(x))+c [mm] \\
[/mm]
[mm] \text{wegen }& f(x)\sim g(x):\Leftrightarrow \frac{f(x)}{g(x)}\rightarrow [/mm] 1 [mm] \hspace{1cm} \text{f"ur } x\rightarrow [/mm] a [mm] \Leftrightarrow f(x)=g(x)+o(g(x))\\
[/mm]
log(P(x))&= log(log(x))+c+ [mm] o(1)\\
[/mm]
2.) [mm] \textbf{ Gegeben ist }S(x)=\sum_{p\le x}\frac{1}{p}\\
[/mm]
Es ergibt sich
[mm] log(P(x))-S(X)&=log\left(\prod_{p\le x} \left(1-\frac{1}{p}\right)\right)-\sum_{p\le x}\frac{1}{p}\\ [/mm] |
In meinem Script steht nun:
[mm] log(P(x))-S(x)=\sum_{p\le x} \left(\frac{1}{2p^2}+\frac{1}{3p^3}+\frac{1}{4p^4}+....\right).
[/mm]
Wie komme ich auf diese Aussage?
Hab mal folgendes gemacht:
mit Hilfe von
[mm] \boxed{
Log\left(\prod_{n=1}^\infty u_n \right)=\sum_{n=1}^\infty Log(u_n)
}
[/mm]
ergibt sich
[mm] log(P(x))-S(X)&=log\left(\prod_{p\le x} \left(1-\frac{1}{p}\right)\right)-\sum_{p\le x}\frac{1}{p}\\
[/mm]
[mm] &=\sum_{p\le x}log\left(1-\frac{1}{p}\right)-\sum_{p\le x}\frac{1}{p}\\
[/mm]
[mm] &=\sum_{p\le x}\left(log\left(1-\frac{1}{p}\right)-\frac{1}{p}\right)\\
[/mm]
[mm] &=\sum_{p\le x}log(P(X))-\frac{1}{p}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:06 Mo 31.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Beweis des ´Mertens-Satzes c.)
>
> c.) [mm]\prod_{p\le x} \left(1-\frac{1}{p}\right)\sim \frac{e^{-\gamma}}{log(x)},[/mm]
>
> mit [mm]\gamma=Eulersche[/mm] Konstante.
>
> Dies wird nicht vollst"andig bewiesen. wir nehmen an, dass
> [mm]\gamma[/mm] eine normale Konstante c sei. Zeige also
> [mm]\prod_{p\le x} \left(1-\frac{1}{p}\right)\sim \frac{e^{-c}}{log(x)}.[/mm]
>
>
> 1.) [mm]\textbf{Behauptung: }[/mm]
>
> [mm]log(x)\cdot e^c\sim \underbrace{\prod_{p\le x} \left(1-\frac{1}{p}\right)^{-1}}_{:=P(x)}[/mm]
>
> bzw. mit log
>
> [mm]log(P(x))&\sim log(log(x))\cdot e^c) \\[/mm]
Habt ihr bewiesen, dass es aequivalent ist? Also dass [mm] $\lim_{x\to\infty} \frac{\log f(x)}{\log g(x)} [/mm] = 1$ aequivalent ist zu [mm] $\lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{g(x)} [/mm] = 1$?
> [mm]log(P(x))&\sim[/mm]
> log(log(x))+c [mm]\\[/mm]
> [mm]\text{wegen }& f(x)\sim g(x):\Leftrightarrow \frac{f(x)}{g(x)}\rightarrow[/mm]
> 1 [mm]\hspace{1cm} \text{f"ur } x\rightarrow[/mm] a [mm]\Leftrightarrow f(x)=g(x)+o(g(x))\\[/mm]
>
> log(P(x))&= log(log(x))+c+ [mm]o(1)\\[/mm]
Ich nehme an, die ganzen Aussagen, die oben stehen, stehen da nicht einfach so wild durcheinander, sondern sollen aequivalent zueinander sein? In dem Fall schreib das doch auch bitte so hin, das sollte man doch eigentlich im 1. Semester lernen :)
> 2.) [mm]\textbf{ Gegeben ist }S(x)=\sum_{p\le x}\frac{1}{p}\\[/mm]
>
> Es ergibt sich
>
> [mm]log(P(x))-S(X)&=log\left(\prod_{p\le x} \left(1-\frac{1}{p}\right)\right)-\sum_{p\le x}\frac{1}{p}\\[/mm]
Da hast du ein $^{-1}$ vergessen! Es ist $P(x) = [mm] \prod_{p \le x} [/mm] (1 - [mm] 1/p)^{-1}$!
[/mm]
> In meinem Script steht nun:
>
> [mm]log(P(x))-S(x)=\sum_{p\le x} \left(\frac{1}{2p^2}+\frac{1}{3p^3}+\frac{1}{4p^4}+....\right).[/mm]
>
> Wie komme ich auf diese Aussage?
>
> Hab mal folgendes gemacht:
> mit Hilfe von
> [mm]\boxed{
Log\left(\prod_{n=1}^\infty u_n \right)=\sum_{n=1}^\infty Log(u_n)
}[/mm]
>
> ergibt sich
> [mm]log(P(x))-S(X)&=log\left(\prod_{p\le x} \left(1-\frac{1}{p}\right)\right)-\sum_{p\le x}\frac{1}{p}\\[/mm]
Das ist wieder falsch, da fehlt ein - auf der rechten Seite vor dem ersten Logarithmus. (Oder halt ein $^{-1}$ im Logarithmus.)
> [mm]&=\sum_{p\le x}log\left(1-\frac{1}{p}\right)-\sum_{p\le x}\frac{1}{p}\\[/mm]
>
> [mm]&=\sum_{p\le x}\left(log\left(1-\frac{1}{p}\right)-\frac{1}{p}\right)\\[/mm]
Soweit ok, bis auf's Vorzeichen, aber:
> [mm]&=\sum_{p\le x}log(P(X))-\frac{1}{p}[/mm]
Wie kommst du dadrauf?! Das ist doch Quark. Oder meinst du mit $P(X)$ etwas ganz anderes?
Verwende doch einfach, dass [mm] $\log(1 [/mm] - x) = [mm] -\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n}$ [/mm] ist. Dann siehst du sofort, dass [mm] $\log [/mm] P(x) - S(x) = [mm] \sum_{p \le x} \left( \frac{1}{p} + \frac{1}{2 p^2} + \frac{1}{3 p^3} + \frac{1}{4 p^4} + \dots - \frac{1}{p} \right)$ [/mm] ist.
LG Felix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:55 Mo 31.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
[mm] \> [/mm] Für [mm]x\rightarrow \infty[/mm] gilt:
> [mm]\[[/mm]
> [mm]\boxed{
a.) \hspace{1cm} \sum_{n\le x} \frac{\Lambda(n)}{n}=log(x)+O(1)
b.) \hspace{1cm} \sum_{p\le x} \frac{log(p)}{p}=log(x)+O(1)
}[/mm]
>
>
> BEWEIS VON b.)
> Sei ohne Einschr"ankung [mm]x=m \in N[/mm], dann gilt aus [mm]a.)\\\\[/mm]
> Eigenes Beispiel:n=3, x=8
Wieso setzt du $n$ hier fest?! $n$ durchlaeuft doch alle natuerlichen Zahlen [mm] $\le [/mm] x$.
> [mm]\sum_{n\le x}\frac{ \Lambda(n)}{n}&=\sum_{3\le8}\frac{ \Lambda(n)}{n}\\[/mm]
>
> [mm]&=\frac{ \Lambda(3)}{3}+\frac{\Lambda(4)}{4}+\frac{ \Lambda(5)}{5}+\frac{\Lambda(6)}{6}+\frac{ \Lambda(7)}{7}+\frac{ \Lambda(8)}{8}\hspace{1cm} \text{Anzahl der TERME: } 6\\[/mm]
>
> [mm]&=\frac{ log(3)}{3}+0+\frac{log(5)}{5}+0+\frac{ log(7)}{7}+0\\\\[/mm]
Wenn [mm] $\Lambda$ [/mm] hier das gleiche ist wie unten, dann stimmt das aber nicht! Es ist doch [mm] $\Lambda(4) [/mm] = [mm] \Lambda(2^2) [/mm] = [mm] \Lambda(2) [/mm] = [mm] \log [/mm] 2$ und [mm] $\Lambda(8) [/mm] = [mm] \Lambda(2^3) [/mm] = [mm] \Lambda(2) [/mm] = [mm] \log [/mm] 2$.
> [mm]\sum_{p\le x} \frac{log(p)}{p}&=\sum_{p\le 8} \frac{log(p)}{p}\\[/mm]
>
> &= [mm]\frac{log(3)}{3}+ \frac{log(5)}{5}+ \frac{log(7)}{7}\hspace{4,3cm} \text{Anzahl der TERME: }3[/mm]
>
> Daher kann wegen der Anzahl der Terme ausgesagt werden,
> dass
>
> [mm]\sum_{n\le x}\frac{ \Lambda(n)}{n}\ge\sum_{p\le x} \frac{log(p)}{p}\\[/mm]
>
> [mm]\sum_{n\le x}\frac{ \Lambda(n)}{n}-\sum_{p\le x} \frac{log(p)}{p}\ge[/mm]
> 0
>
> Mit
> [mm]\psi(x)&=\sum_{n\le x} \Lambda(n), \texttt{ wobei }\\[/mm]
>
> [mm]\Lambda(n)&=\begin{cases}
log(p), & \text{f"ur }n=p^m\text{ (Primzahlpotenz),}\\
0, & \text{sonst}
\end{cases}[/mm]
>
> gilt dann:
>
> [mm]\sum_{p^k\le x}\frac{ log(p)}{p^k}-\sum_{p\le x} \frac{log(p)}{p}\ge 0\\[/mm]
>
> [mm]\sum_{p\le x}\sum_{k\ge 2}\frac{log(p)}{p^k}-\sum_{p\le x} \frac{log(p)}{p}\ge 0\\[/mm]
Woher kommt die zweite Gleichung? Soll der Ausdruck auf der linken Seite gleich dem Ausdruck auf der linken Seite der oberen Gleichung sein? Das ist doch Quark.
Es ist $0 [mm] \le \sum_{p^k \le x} \frac{\log p}{p^k} [/mm] - [mm] \sum_{p \le x} \frac{\log p}{p} [/mm] = [mm] \sum_{p^k \le x \atop k \ge 2} \frac{\log p}{p^k} \le \sum_{p \le x} \sum_{k \ge 2} \frac{\log p}{p^k}$, [/mm] und ich vermute das wird hier verwendet.
> [mm]\sum_{p\le x}log(p)\cdot \underbrace{\sum_{k\ge 2}\frac{1}{p^k}}_{Geometrische Reihe}-\sum_{p\le x} \frac{log(p)}{p}\ge 0\\[/mm]
>
> Warum starten wir bei k=2?
> Geometrische Reihe startet bei [mm]k=2[/mm]:
>
> [mm]\sum_{k\ge 2}\frac{1}{p^k}=\frac{1}{p^2}\cdot \frac{1}{1-\frac{1}{p}}=\frac{1}{p(p-1)}[/mm]
>
> somit
>
> [mm]\sum_{p\le x}log(p)\cdot \frac{1}{p(p-1)}&=\sum_{p\le m}\frac{log(p)}{p(p-1)}\\[/mm]
>
> [mm]\text{Es gilt: }\\[/mm]
> [mm]\sum_{p\le m}\frac{log(p)}{p(p-1)}&\le\sum_{p}^\infty\frac{log(p)}{p(p-1)}\le \underbrace{\sum_{n=2}^\infty\frac{log(n)}{n(n-1)}}_{\text{konvergent, da } \frac{log(x)}{x^\alpha}=0} <\infty\\\\[/mm]
Also die Begruendung, warum es Konvergent ist, ist doch Quark. [mm] $\frac{\log x}{x^\alpha}$ [/mm] ist nicht gleich 0 (ausser fuer $x = 1$).
> d.h. [mm]log(x)[/mm] w"achst langsamer als jedes [mm]x^\alpha[/mm]. D.h. zum
> Beispiel f"ur ein [mm]\alpha=0,5[/mm] ergibt sich
> [mm]\frac{log(n)}{\sqrt{n}}\rightarrow 0[/mm] f"ur n groß genug.
Ja, aber die Reihe [mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{\log n}{\sqrt{n}}$ [/mm] hat die Minorante [mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}}$, [/mm] und das ist hochgradig divergent!
Es konvergiert vermutlich, falls [mm] $\alpha [/mm] > 1$ ist, aber das musst du beweisen!
Hier steht ja auch schliesslich, wie es richtig geht:
> Das bedeutet, [mm]\frac{log(n)}{\sqrt{n}}<1[/mm] f"ur n [mm]gro\ss{}[/mm]
> genug. Damit ergibt sich f"ur [mm]\Lambda,[/mm] dass [mm]\frac{ \Lambda(n)}{n}[/mm]
> konvergent ist, und damit, dass die folgende Differenz
> beschr"ankt ist:
>
> [mm]\sum\frac{ \Lambda(n)}{n}-\sum \frac{log(p)}{p}[/mm]
>
> Man sieht leicht: [mm]log(x)<\sqrt{x},\forall x>0[/mm]. Also
>
> [mm]\frac{log(n)}{n(n-1)}\le\frac{\sqrt{n}}{n(n-1)}=\frac{1}{\sqrt{n}(n-1)}\le \frac{1}{(n-1)^{3/2}}[/mm]
>
> d.h.
>
> [mm]\sum_{n=2}^\infty\frac{log(n)}{n(n-1)}\le\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{(n-1)^{3/2}}=\zeta(\frac{3}{2})[/mm]
Das beweist, dass die Differenz wirklich beschraenkt ist. Das was du davor schriebst tut das eben nicht.
> Wie komme ich damit auf meine Aussage in b.)?
Na, du hast doch gerade gezeigt, dass [mm] $\sum_{p \le x} \frac{\log p}{p} [/mm] = [mm] \sum_{n \le x} \frac{\Lambda(n)}{n} [/mm] + O(1)$ ist. Wenn du jetzt a) benutzt, kommt b) heraus.
LG Felix
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