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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:03 Sa 03.05.2008 | | Autor: | kittie |
| Aufgabe | Sei [mm] (\Omega,F,\mu) [/mm] ein Maßraum und [mm] \phi [/mm] : [mm] [0,\infty) \to (0,\infty) [/mm] aufsteigend.
Zeige:
1.) [mm] \phi [/mm] : [mm] ([0,\infty), B\cap [0,\infty)) \to ((0,\infty), B\cap (0,\infty)) [/mm] ist messbar. (B ist die [mm] Borel-\sigma-Algebra)
[/mm]
2. Für eine Borel-messbare Funktion f gilt zudem:
[mm] \mu(|f|\ge [/mm] a) [mm] \le \bruch{1}{\phi (a)} \mu (\phi \circ|f|) [/mm] |
Hallo zusammen!
Habe Probleme mit obiger Aufgabenstellung und hoffe dabei auf eure Hilfe.
Weiß dass die Definition von Messbarkeit sagt, dass das Urbild jedes Elements aus der [mm] \sigma-Algebra [/mm] des Bildraumes in der [mm] \sigma-Algebra [/mm] des Urbildraums liegen muss.
Leider weiß ich das hier nicht anzuwenden:(
zu Punkt 2 habe ich leider keine Ahnung, wie da ranzugehen ist...
Hoffe ihr könnt mir schnellstmöglich helfen, trotz des schönen Wetters:)
MFG die kittie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:59 So 04.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei [mm](\Omega,F,\mu)[/mm] ein Maßraum und [mm]\phi[/mm] : [mm][0,\infty) \to (0,\infty)[/mm]
> aufsteigend.
>
> Zeige:
>
> 1.) [mm]\phi[/mm] : [mm]([0,\infty), B\cap [0,\infty)) \to ((0,\infty), B\cap (0,\infty))[/mm]
> ist messbar. (B ist die [mm]Borel-\sigma-Algebra)[/mm]
>
> 2. Für eine Borel-messbare Funktion f gilt zudem:
>
> [mm]\mu(|f|\ge[/mm] a) [mm]\le \bruch{1}{\phi (a)} \mu (\phi \circ|f|)[/mm]
>
> Hallo zusammen!
>
> Habe Probleme mit obiger Aufgabenstellung und hoffe dabei
> auf eure Hilfe.
>
> Weiß dass die Definition von Messbarkeit sagt, dass das
> Urbild jedes Elements aus der [mm]\sigma-Algebra[/mm] des Bildraumes
> in der [mm]\sigma-Algebra[/mm] des Urbildraums liegen muss.
> Leider weiß ich das hier nicht anzuwenden:(
Tipp: [mm] $\phi$ [/mm] ist messbar, wenn für beliebige [mm] $a\in\IR$ [/mm] mindestens eine der Mengen
[mm] $\phi^{-1}((0,a])$ [/mm] , [mm] $\phi^{-1}((0,a))$ [/mm] , [mm] $\phi^{-1}([a,\infty))$, $\phi^{-1}((a,\infty))$
[/mm]
Welche Eigenschaften sind für [mm] $\phi$ [/mm] gegeben?
> zu Punkt 2 habe ich leider keine Ahnung, wie da ranzugehen
> ist...
Du willst das Maß [mm]\mu(|f|\ge a)[/mm] abschätzen. Wie kannst du das für [mm] $\phi\circ [/mm] f$ formulieren?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 So 04.05.2008 | | Autor: | kittie |
hallo,
> Tipp: [mm]\phi[/mm] ist messbar, wenn für beliebige [mm]a\in\IR[/mm]
> mindestens eine der Mengen
>
> [mm]\phi^{-1}((0,a])[/mm] , [mm]\phi^{-1}((0,a))[/mm] ,
> [mm]\phi^{-1}([a,\infty))[/mm], [mm]\phi^{-1}((a,\infty))[/mm]
>
> Welche Eigenschaften sind für [mm]\phi[/mm] gegeben?
Da [mm] \phi [/mm] laut Vorraussetzung aufsteigend ist, sprich monoton wachsend gilt doch, dass die Urbilder von Intervallen, wieder intervalle sind, oder?
jetzt komme ich allerdings nicht mehr weiter:(
> Du willst das Maß [mm]\mu(|f|\ge a)[/mm] abschätzen. Wie kannst du
> das für [mm]\phi\circ f[/mm] formulieren?
Kann ich folgendes machen?:
Setze [mm] B_a [/mm] :={ [mm] |f|\ge [/mm] a } [mm] \Rightarrow B_a \in [/mm] F und es gilt:
[mm] \integral{\phi(|f|) d\mu}\ge \integral_{B_a}{\phi(|f|) d\mu}\ge \integral_{B_a}{\phi(a) d\mu}=\phi(a) \integral_{B_a}{1 d\mu}=\phi(a) \mu(B_a)
[/mm]
Mulitiplikation von [mm] 1/\phi(a) [/mm] liefern die Ungeleichung.
Wäre super, wenn du dich nochmal melden könntest.
viele grüße, die kittie
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:53 So 04.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo kittie!
> hallo,
>
> > Tipp: [mm]\phi[/mm] ist messbar, wenn für beliebige [mm]a\in\IR[/mm]
> > mindestens eine der Mengen
> >
> > [mm]\phi^{-1}((0,a])[/mm] , [mm]\phi^{-1}((0,a))[/mm] ,
> > [mm]\phi^{-1}([a,\infty))[/mm], [mm]\phi^{-1}((a,\infty))[/mm]
> >
> > Welche Eigenschaften sind für [mm]\phi[/mm] gegeben?
>
> Da [mm]\phi[/mm] laut Vorraussetzung aufsteigend ist, sprich monoton
> wachsend gilt doch, dass die Urbilder von Intervallen,
> wieder intervalle sind, oder?
Das ist doch schonmal gut.
> jetzt komme ich allerdings nicht mehr weiter:(
Alle Intervalle sind Borelmengen und damit messbar.
Sieh auch ![[]](/images/popup.gif) hier, Folgerung 1.28.
> > Du willst das Maß [mm]\mu(|f|\ge a)[/mm] abschätzen. Wie kannst du
> > das für [mm]\phi\circ f[/mm] formulieren?
>
> Kann ich folgendes machen?:
>
> Setze [mm]B_a :=\{ |f|\ge a \} \Rightarrow B_a \in F[/mm] und es gilt:
>
> [mm]\integral{\phi(|f|) d\mu}\ge \integral_{B_a}{\phi(|f|) d\mu}\ge \integral_{B_a}{\phi(a) d\mu}=\phi(a) \integral_{B_a}{1 d\mu}=\phi(a) \mu(B_a)[/mm]
>
> Mulitiplikation von [mm]1/\phi(a)[/mm] liefern die Ungeleichung.
Das sieht mir richtig aus.
Steht in der zu beweisenden Ungleichung rechts wirklich [mm] $\mu (\phi \circ|f|)$ [/mm] ? Ich frage deswegen, weil ich es normalerweise nur die Notation [mm] $\mu($Menge) [/mm] kenne, nicht [mm] $\mu$(Funktion).
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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