Messbarkeit Produktraum < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:34 Mo 10.03.2014 | | Autor: | hula |
Hallöööchen
Folgendes Problem ist beim Studium von Vorlesungsnotizen aufgetaucht. Sei [mm] $C:=\{f:[0,\infty)\to\mathbb{R}|f \text{ ist stetig}\}$ [/mm] der Raum aller stetigen Funktionen von der nicht negativen rellen Achse nach [mm] $\mathbb{R}$. [/mm] $C$ kann als Produktraum aufgefasst werden [mm] $\mathbb{R}^{[ 0,\infty)}$. [/mm] Wir definieren darauf die [mm] $\sigma$-Algebra $\mathcal{A}$ [/mm] die alle Projektionen [mm] $\pi_t:C\to\mathbb{R}$, [/mm] i.e. [mm] $\pi_t(f)=f(t)$ [/mm] messbar macht, also
[mm] $\mathcal{A}=\sigma\{\pi^{-1}_t(E):t\in[0,\infty),E\in\mathcal{B}(\mathbb{R}\}$
[/mm]
Nun sein $K$ eine Borelmenge in [mm] $\mathbb{R}^2$ [/mm] und ich betrachte die Menge
[mm] $A:=\{f\in C| (f(0),f(1))\in E\}$
[/mm]
Wieso ist [mm] $A\in\mathcal{A}$? [/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:33 Mo 10.03.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallöööchen
>
> Folgendes Problem ist beim Studium von Vorlesungsnotizen
> aufgetaucht. Sei [mm]C:=\{f:[0,\infty)\to\mathbb{R}|f \text{ ist stetig}\}[/mm]
> der Raum aller stetigen Funktionen von der nicht negativen
> rellen Achse nach [mm]\mathbb{R}[/mm]. [mm]C[/mm] kann als Produktraum
> aufgefasst werden [mm]\mathbb{R}^{[ 0,\infty)}[/mm]. Wir definieren
> darauf die [mm]\sigma[/mm]-Algebra [mm]\mathcal{A}[/mm] die alle Projektionen
> [mm]\pi_t:C\to\mathbb{R}[/mm], i.e. [mm]\pi_t(f)=f(t)[/mm] messbar macht,
> also
>
> [mm]\mathcal{A}=\sigma\{\pi^{-1}_t(E):t\in[0,\infty),E\in\mathcal{B}(\mathbb{R}\}[/mm]
>
> Nun sein [mm]K[/mm] eine Borelmenge in [mm]\mathbb{R}^2[/mm] und ich
> betrachte die Menge
>
> [mm]A:=\{f\in C| (f(0),f(1))\in E\}[/mm]
Hier meinst Du wohl
[mm]A:=\{f\in C| (f(0),f(1))\in K\}[/mm]
>
> Wieso ist [mm]A\in\mathcal{A}[/mm]?
Wir setzen [mm] K_1:=\{x \in \IR: (x,y) \in K\} [/mm] und [mm] K_2:=\{y \in \IR: (x,y) \in K\}.
[/mm]
Dann sind [mm] K_1,K_2 \in \mathcal{B}(\mathbb{R})
[/mm]
Weiter seien [mm] X_1:=\{f \in C: f(0) \in K_1\} [/mm] und [mm] X_2:=\{f \in C: f(1) \in K_2\}.
[/mm]
Dann sind [mm] X_1,X_2 \in \mathcal{A}, [/mm] also auch
$ [mm] X_1 \cap X_2 \in \mathcal{A}$.
[/mm]
Nun überlege Dir, dass gilt:
[mm]A=\{f\in C| (f(0),f(1))\in K\}=X_1 \cap X_2[/mm]
FRED
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