Messbarkeit mon.wachsender Fkt < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:45 So 11.06.2006 | | Autor: | Sanann22 |
| Aufgabe | Sei f : [mm] (\IR,\mathcal{B}) [/mm] -> [mm] (\IR,\mathcal{B}) [/mm] eine monoton wachsende Funktion.
Zeigen Sie: f ist messbar. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo ich hab hier mal wieder ein Stochastik-Problem!
Ich kenne Monotonie von Funktionen nur in dieser Form:
Eine Funktion f heißt im Intervall I [mm] \subseteq [/mm] D(f) monoton wachsend, wenn für alle [mm] x_{1}, x_{2}\in [/mm] I mit [mm] x_{1}
Wie ist hier der Zusammenhang zur Messbarkeit? Was bringt es mir zu wissen, dass eine Funktion mon. wachsend ist, wenn ich die Messbarkeit dieser Funktion zeigen soll?
Kann mir bitte jemand helfen?
Danke schonmal im voraus
Sanann22
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:23 So 11.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Sanann!
> Sei f : [mm](\IR,\mathcal{B})[/mm] -> [mm](\IR,\mathcal{B})[/mm] eine
> monoton wachsende Funktion.
> Zeigen Sie: f ist messbar.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo ich hab hier mal wieder ein Stochastik-Problem!
> Ich kenne Monotonie von Funktionen nur in dieser Form:
> Eine Funktion f heißt im Intervall I [mm]\subseteq[/mm] D(f)
> monoton wachsend, wenn für alle [mm]x_{1}, x_{2}\in[/mm] I mit
> [mm]x_{1}
Genau. Das ist hier auch gemeint.
> Wie ist hier der Zusammenhang zur Messbarkeit? Was bringt
> es mir zu wissen, dass eine Funktion mon. wachsend ist,
> wenn ich die Messbarkeit dieser Funktion zeigen soll?
> Kann mir bitte jemand helfen?
Wenn du zeigen willst, dass $f$ messbar ist, reicht es aus zu zeigen, dass Urbilder von Mengen der Form $[x, [mm] \infty)$ [/mm] unter $f$ messbar sind. Weisst du, warum man sich auf solche Intervalle beschraenken kann?
Und ueberleg dir mal, wie das Urbild eines solchen Intervalls aussieht. (Tipp: Es hat eine ganz aehnliche Form.)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:01 So 11.06.2006 | | Autor: | Sanann22 |
Hi Danke für die schnelle Antwort!
Ich glaub ich hab verstanden warum die Urbilder reichen, weil die Funktion bjektiv, oder?
> Weisst du, warum man sich auf solche Intervalle beschraenken kann?
Leider nicht! Hat das was mit der Bijektivität zu tun?
> Und ueberleg dir mal, wie das Urbild eines solchen
> Intervalls aussieht. (Tipp: Es hat eine ganz aehnliche
> Form.)
vielleicht genau das Gegenteil? Also [mm] (-\infty,x]?
[/mm]
Gruß
Sanann22
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:16 So 11.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Sanann!
> Ich glaub ich hab verstanden warum die Urbilder reichen,
> weil die Funktion bjektiv, oder?
Die Funktion ist im Allgemeinen nicht bijektiv. Und selbst wenn sie streng monoton steigend waere, waer sie erstmal nur injektiv.
> > Weisst du, warum man sich auf solche Intervalle
> beschraenken kann?
>
> Leider nicht! Hat das was mit der Bijektivität zu tun?
Nein, damit hat es nichts zu tun. Das liegt daran, dass die Intervalle der Form $[x, [mm] \infty)$ [/mm] die Borelsche [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] erzeugen. Messbarkeit muss immer nur fuer ein Erzeugendensystem nachgerechnet werden. Hattet ihr das schon?
> > Und ueberleg dir mal, wie das Urbild eines solchen
> > Intervalls aussieht. (Tipp: Es hat eine ganz aehnliche
> > Form.)
>
> vielleicht genau das Gegenteil? Also [mm](-\infty,x][/mm]?
Nein. Raten bringt hier auch nicht so viel. Mal doch mal eine ``typische'' monoton steigende Funktion auf und ueberleg dir, wie so ein Urbild aussehen koennte.
LG Felix
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> Das liegt daran, dass die
> Intervalle der Form [mm][x, \infty)[/mm] die Borelsche
> [mm]\sigma[/mm]-Algebra erzeugen. Messbarkeit muss immer nur fuer
> ein Erzeugendensystem nachgerechnet werden. Hattet ihr das
> schon?
Das hatten wir noch nicht. Erzeugendensysteme kenn ich bisgher nur aus der linearen Algebra.
> Mal doch mal
> eine ''typische'' monoton steigende Funktion auf und
> ueberleg dir, wie so ein Urbild aussehen koennte.
Ich hab mir die exp Funktion genommen welche monoto steigend ist. Deren Urbild ist der natürliche Log. Die Exp.funktion ist von [mm] -\infty [/mm] bis [mm] +\infty [/mm] definirt, wobei ihr Urbild der nat.Log. für x-> [mm] -\infty [/mm] gegen 0 strebt. Die y-Achse ist somit eine Asypthote. Also ist hier der Def.bereich [mm] (0,\infty).
[/mm]
Also allgemein [mm] (x,\infty). [/mm] Richtig?
Grüßle
Sanann
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:11 Mi 14.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Sanann!
> > Das liegt daran, dass die
> > Intervalle der Form [mm][x, \infty)[/mm] die Borelsche
> > [mm]\sigma[/mm]-Algebra erzeugen. Messbarkeit muss immer nur fuer
> > ein Erzeugendensystem nachgerechnet werden. Hattet ihr das
> > schon?
>
> Das hatten wir noch nicht. Erzeugendensysteme kenn ich
> bisgher nur aus der linearen Algebra.
Wie habt ihr denn die Borelsche [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] definiert?
> > Mal doch mal
> > eine ''typische'' monoton steigende Funktion auf und
> > ueberleg dir, wie so ein Urbild aussehen koennte.
>
> Ich hab mir die exp Funktion genommen welche monoto
> steigend ist. Deren Urbild ist der natürliche Log. Die
Du meinst die Umkehrfunktion.
> Exp.funktion ist von [mm]-\infty[/mm] bis [mm]+\infty[/mm] definirt, wobei
> ihr Urbild der nat.Log. für x-> [mm]-\infty[/mm] gegen 0 strebt. Die
> y-Achse ist somit eine Asypthote. Also ist hier der
> Def.bereich [mm](0,\infty).[/mm]
> Also allgemein [mm](x,\infty).[/mm] Richtig?
Ich weiss nicht genau was du sagen willst. Weisst du, was das Urbild einer Menge unter einer Funktion ist?
Wenn du eine monoton steigende Funktion $f : [mm] \IR \to \IR$ [/mm] hast und die Menge $M := [mm] (x_0, \infty)$, [/mm] und wenn $y [mm] \in f^{-1}(M) [/mm] = [mm] \{ x \in \IR \mid f(x) \in M \} [/mm] = [mm] \{ x \in \IR \mid f(x) > x_0 \}$, [/mm] dann ist auch jedes $y' > y$ in [mm] $f^{-1}(M)$ [/mm] enthalten (warum?). Also muss [mm] $f^{-1}(M)$ [/mm] von der Form [mm] $(y_0, \infty)$ [/mm] oder [mm] $[y_0, \infty)$ [/mm] sein für ein [mm] $y_0 \in \IR \cup \{ -\infty \}$ [/mm] (warum?).
LG Felix
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