Meßbarkeit von supXn < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo...
Ich bin mir hier jetzt nicht sicher, ob man den Beweis zu folgenden Satz so durchführen kann (habe nur Beweisfetzen aus der VL...) Es wäre also toll, wenn ihr mich berichtigt!
Behauptung:
Sei [mm] $X_{n}: (\Omega,\mathcal{A}) \rightarrow (\IR,\IB)$ [/mm] eine Folge von Zufallsvariblen. Dann ist auch $sup [mm] X_{n} :(\Omega,\mathcal{A}) \rightarrow (\IR,\IB)$ [/mm] eine Zufallsvariable.
Beweis:
Ich weiß, dass die Borel-Sigma-Algebra von Intervallen der Form [mm] $(-\infty,t]$ [/mm] erzeugt wird. Also:
$(sup [mm] X_{n})^{-1}((-\infty,t])=\{sup X_{n} \le t\}=\bigcap_{n\in \IN} \{X_{n}\le t\}$
[/mm]
Nun ist [mm] $\{X_{n}\le t\} \in \mathcal{A}$, [/mm] also auch der Durchschnitt.
Also $(sup [mm] X_{n})^{-1}((-\infty,t]) \in \mathcal{A}$.
[/mm]
Reicht es tatsächlich, wenn ich es nur für diese Intervalle zeige (da [mm] \IB [/mm] verschiedene "Darstellungen" hat...)?
Und wie veranschauliche ich mir diese Gleichheit:
$(sup [mm] X_{n})^{-1}((-\infty,t])=\{sup X_{n} \le t\}$ [/mm] ???
dancingestrella
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:58 So 12.03.2006 | | Autor: | felixf |
Hi!
> Ich bin mir hier jetzt nicht sicher, ob man den Beweis zu
> folgenden Satz so durchführen kann (habe nur Beweisfetzen
> aus der VL...) Es wäre also toll, wenn ihr mich
> berichtigt!
>
> Behauptung:
> Sei [mm]X_{n}: (\Omega,\mathcal{A}) \rightarrow (\IR,\IB)[/mm] eine
> Folge von Zufallsvariblen. Dann ist auch [mm]sup X_{n} :(\Omega,\mathcal{A}) \rightarrow (\IR,\IB)[/mm]
> eine Zufallsvariable.
>
> Beweis:
> Ich weiß, dass die Borel-Sigma-Algebra von Intervallen der
> Form [mm](-\infty,t][/mm] erzeugt wird. Also:
> [mm](sup X_{n})^{-1}((-\infty,t])=\{sup X_{n} \le t\}=\bigcap_{n\in \IN} \{X_{n}\le t\}[/mm]
>
> Nun ist [mm]\{X_{n}\le t\} \in \mathcal{A}[/mm], also auch der
> Durchschnitt.
> Also [mm](sup X_{n})^{-1}((-\infty,t]) \in \mathcal{A}[/mm].
Genau.
> Reicht es tatsächlich, wenn ich es nur für diese Intervalle
> zeige (da [mm]\IB[/mm] verschiedene "Darstellungen" hat...)?
Ja, siehe auch deine Frage im Thread hier, da hast du es ja gezeigt!
> Und wie veranschauliche ich mir diese Gleichheit:
> [mm](sup X_{n})^{-1}((-\infty,t])=\{sup X_{n} \le t\}[/mm] ???
Also $(sup [mm] X_{n})^{-1}((-\infty,t]) [/mm] = [mm] \{ \omega \in \Omega \mid (\sup X_n)(\omega) \in (-\infty, t] \} [/mm] = [mm] \{ \omega \in \Omega \mid (\sup X_n)(\omega) \le t \} [/mm] = [mm] \{ \sup X_n \le t \}$.
[/mm]
Du musst dran denken das [mm] $\{ X \le t \}$ [/mm] eine Abkuerzung fuer [mm] $\{ \omega \in \Omega \mid X(\omega) \le t \}$ [/mm] ist.
LG Felix
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Hallo,
sorry... ich bin da mit dem Copy&Paste etwas durcheinandergekommen.
Das erste "=" ist schon klar. Ich wollte eigentlich folgendes erwischen:
[mm] $\{sup X_{n} \le t \} [/mm] = [mm] \bigcap_{n \in \IN} \{X_{n} \le t\}
[/mm]
Das verstehe ich nicht. Kannst du mir das erklären.
An dieser Stelle einmal DANKE für die vielen Erklärungen. So langsam komme ich auch aus meinem Motivationstief heraus 
lg, dancingestrella
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:38 So 12.03.2006 | | Autor: | felixf |
Hi!
> sorry... ich bin da mit dem Copy&Paste etwas
> durcheinandergekommen.
> Das erste "=" ist schon klar. Ich wollte eigentlich
> folgendes erwischen:
> [mm]$\{sup X_{n} \le t \}[/mm] = [mm]\bigcap_{n \in \IN} \{X_{n} \le t\}[/mm]
>
> Das verstehe ich nicht. Kannst du mir das erklären.
Ich kanns zumindest versuchen
Ist [mm] $\omega \in \{ \sup X_n \le t \}$, [/mm] so ist [mm] $\sup X_n(\omega) \le [/mm] t$. Das bedeutet insbesondere, das alle [mm] $X_n(\omega) \le [/mm] t$ sind, also [mm] $\omega \in \bigcap_{n\in\IN} \{ X_n \le t \}$.
[/mm]
Ist andersherum [mm] $\omega \in \bigcap_{n\in\IN} \{ X_n \le t \}$, [/mm] also [mm] $X_n(\omega) \le [/mm] t$ fuer alle $n [mm] \in \IN$, [/mm] so liegen alle [mm] $X_n(\omega)$ [/mm] in der abgeschlossenen Menge [mm] $(-\infty, [/mm] t]$, und somit auch das Supremum [mm] $\sup X_n(\omega)$ [/mm] (wenn dir das nicht klar ist: [mm] $\sup X_n(\omega) [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty} \max\{ X_1(\omega), \dots, X_n(\omega) \}$; [/mm] jedes Folgenglied liegt in der abgeschlossenen Menge, also auch der Grenzwert). Also ist [mm] $\omega \in \{ \sup X_n \le t \}$.
[/mm]
> An dieser Stelle einmal DANKE für die vielen Erklärungen.
> So langsam komme ich auch aus meinem Motivationstief heraus
>
Freut mich das zu hoeren! :)
LG Felix
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Hallo,
so leuchtet die Gleichheit ein... aber nun will ich die Meßbarkeit von
$inf [mm] X_{n}: \Omega \rightarrow \IR$ [/mm] zeigen und scheitere.
Ich nehme mir wieder ein beliebiges Intervall [mm] $(-\infty,t] \in \IB, [/mm] t [mm] \in \IR$. [/mm] Damit:
$(inf [mm] X_{n})^{-1}((-\infty, t])=\{inf X_{n} \le t\}$ [/mm] Aber nun??? Läuft es auf die Vereinigung hinaus???
Könnte ich eigentlich auch ein Intervall [mm] $[t,\infty)$ [/mm] nehmen? Als wird [mm] $\IB$ [/mm] auch von solchen Intervallen erzeugt?
Spricht man in diesem Zusammenhang eigentlich von einer Folge von ZV?
dancingestrella
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:36 Di 14.03.2006 | | Autor: | felixf |
Hi,
> so leuchtet die Gleichheit ein... aber nun will ich die
> Meßbarkeit von
> [mm]inf X_{n}: \Omega \rightarrow \IR[/mm] zeigen und scheitere.
> Ich nehme mir wieder ein beliebiges Intervall [mm](-\infty,t] \in \IB, t \in \IR[/mm].
> Damit:
> [mm](inf X_{n})^{-1}((-\infty, t])=\{inf X_{n} \le t\}[/mm] Aber
> nun??? Läuft es auf die Vereinigung hinaus???
Nee, so geht das nicht. Nimm z.B. die konstanten Zufallsvariablen [mm] $X_n$ [/mm] mit [mm] $X_n [/mm] = [mm] \frac{1}{n}$, [/mm] $n > 0$. Dann ist [mm] $\inf X_n [/mm] = 0$, aber z.B. fuer $t = 0$ ist [mm] $\{ \inf X_n \le 0 \} [/mm] = [mm] \Omega$, [/mm] aber [mm] $\{X_n \le 0 \} [/mm] = [mm] \emptyset$ [/mm] fuer jedes $n$.
> Könnte ich eigentlich auch ein Intervall [mm][t,\infty)[/mm]
> nehmen? Als wird [mm]\IB[/mm] auch von solchen Intervallen erzeugt?
Ja. Das musst du sogar, um diese Aufgabe zu loesen
Alternativ kannst du auch so argumentieren: Ist $f$ messbar, so ja auch $-f$. Und weiterhin ist [mm] $\inf X_n [/mm] = [mm] -\suip (-X_n)$.
[/mm]
> Spricht man in diesem Zusammenhang eigentlich von einer
> Folge von ZV?
Die [mm] $X_n$ [/mm] sind eine Folge von Zufallsvariablen, ja.
LG Felix
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Hallo...
dann versuche ich es mal, nachdem ich jetzt nachgedacht habe:
$(inf [mm] X_{n})^{-1}([t,\infty))=\{inf X_{n} \ge t\}=\bigcap_{n\in \IN} \{X_{n} \ge t\}$
[/mm]
Nach Voraussetzung ist [mm] $X_{n}$ [/mm] meßbar, also [mm] $\{X_{n} \ge t\} \in \mathcal{A}$, [/mm] also insbesondere auch der Durchschnitt dieser Mengen [mm] $\in \mathcal{A}$, [/mm] woraus die Behauptung folgt. Richtig so?
> Alternativ kannst du auch so argumentieren: Ist [mm]f[/mm] messbar,
> so ja auch [mm]-f[/mm]. Und weiterhin ist [mm]\inf X_n = -\suip (-X_n)[/mm].
Du meinst $inf [mm] X_{n}= [/mm] - sup [mm] X_{n}$?
[/mm]
Genauso kann ich doch auch für $limsup [mm] X_{n}$ [/mm] argumentieren (oder?):
[mm] $limsup_{n\rightarrow \infty} X_{n}= inf_{n\in \IN}(sup_{k\le n} X_{k})$
[/mm]
dancingestrella
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