Methode von Lagrange < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:44 So 23.03.2008 | | Autor: | Tauphi |
| Aufgabe | 1) Ein Zufallsexperiment habe 3 und nur 3 mögliche Ausgänge. Welche Bedingung ist an die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten [mm] p_1, p_2 [/mm] und [mm] p_3 [/mm] zu stellen?
2) Die Entropie ist gegeben durch die Formel [mm] E=-\summe_{i=1}^{3}p_i*ln(p_i). [/mm] Für welche Wahl von [mm] p_1, p_2 [/mm] und [mm] p_3 [/mm] kann die Entropie maximal werden?
D.h. finden Sie mit der Methode von Lagrange den/die Kandidaten für das Maximum von E unter der Nebenbedingung aus Aufgabe 1. |
Ahoi,
ich rechne grad eine Extremwerten Aufgabe, bei der ich mit der Methode von Lagrange rumdoktorn muss.
Leider komme ich an einer Stelle nicht mehr so recht weiter und würde mich freuen, wenn mir da jemand helfen könnte ...
Und zwar fang ich an mit der Nebenbedingung, welche es laut Aufgabe 1 zu bestimmen gibt:
Da es nur drei mögliche Ausgänge gibt, und diese, egal wie sie gewichtet sind, summiert 100% ergeben müssen, kann ich folgende Nebenbedingung festlegen:
[mm] p_1+p_2+p_3-1=0
[/mm]
Mit Hilfe der Entropie Formel E und der Nebenbedingung kann ich nun eine Funktion aufschreiben, wie es laut Lagrange gemacht werden muss.
Diese lautet dann wie folgt:
[mm] f(p_1,p_2,p_3,\lambda)=-(\summe_{i=1}^{3}p_i*ln(p_i))+\lambda(p_1+p_2+p_3-1)
[/mm]
Bevor ich davon aber jetzt die einzelnen Ableitungen bilde, will ich erstmal diese lästige Summe loswerden. Vereinfacht wäre das dann:
[mm] f(p_1,p_2,p_3,\lambda)=-(p_1*ln(p_1)+p_2*ln(p_2)+p_3*ln(p_3))+\lambda(p_1+p_2+p_3-1)
[/mm]
[mm] f(p_1,p_2,p_3,\lambda)=-p_1*ln(p_1)-p_2*ln(p_2)-p_3*ln(p_3)+\lambda(p_1+p_2+p_3-1)
[/mm]
Weiter gehts dann mit den partiellen Ableitung für [mm] p_{1-3}:
[/mm]
[mm] f_p_1(p_1,p_2,p_3,\lambda)=-p_1*ln(p_1)+\lambda(p_1+p_2+p_3-1)
[/mm]
[mm] =-1*ln(p_1)+(-p_1)*\bruch{1}{p_1}+\lambda [/mm] // [mm] -p_1*ln(p_1) [/mm] abgeleitet mit Kettenregel: g*h = g'*h+g*h'
[mm] =-ln(p_1)-\bruch{p_1}{p_1}+\lambda
[/mm]
[mm] =-ln(p_1)-1+\lambda
[/mm]
Das gleiche dann bei den anderen beiden partiellen Ableitung:
[mm] f_p_2(p_1,p_2,p_3,\lambda)=-p_2*ln(p_2)+\lambda(p_1+p_2+p_3-1)
[/mm]
[mm] =-ln(p_2)-1+\lambda
[/mm]
[mm] f_p_3(p_1,p_2,p_3,\lambda)=-p_3*ln(p_3)+\lambda(p_1+p_2+p_3-1)
[/mm]
[mm] =-ln(p_3)-1+\lambda
[/mm]
Weiter wäre es, dann diese 3 partiellen Ableitung als Gleichung gegen 0 zu setzen. Also wie folgt:
[mm] -ln(p_1)-1+\lambda=0
[/mm]
[mm] -ln(p_2)-1+\lambda=0
[/mm]
[mm] -ln(p_3)-1+\lambda=0
[/mm]
Und ab hier komme ich nicht mehr weiter :( ... Es hängt auch damit zusammen, dass ich Probleme hab, Gleichung irgendwohin aufzulösen, wenn so Logarithmen Zeug mit dabei ist. Wenn mir jemand die Schritte zeigen könnte, wie ich ab hier weiter vorgehen muss, wäre das super.
Gibt es evtl. hier eine Art "schnelle" Lösung, weil alle drei Gleichung bis auf die Unbekannten identisch sind?
Vielen Dank im voraus
Andi
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Hallo Tauphi,
Du hast noch eine 4. Ableitung vergessen: einmal partiell nach Lambda ableiten.
Dann sobald als möglich [mm] \lambda [/mm] aus den Gleichungen eliminieren, da ihm keine weitere Bedeutung zukommt.
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 So 23.03.2008 | | Autor: | Tauphi |
Hallo Martinius,
danke für den Hinweis @4. partielle Ableitung ...
Wenn ich die mache, habe ich dann folgende:
[mm] f_\lambda(p_1,p_2,p_3,\lambda)=p_1+p_2+p_3-1
[/mm]
Zusammengefasst habe ich dann folgende Gleichungen:
[mm] -ln(p_1)-1+\lambda=0
[/mm]
[mm] -ln(p_2)-1+\lambda=0
[/mm]
[mm] -ln(p_3)-1+\lambda=0
[/mm]
[mm] p_1+p_2+p_3-1=0
[/mm]
Leider weiss ich ab hier immernoch nicht so recht, wie ich das Auflösen soll. Angenommen ich nähme jetzt die erste Gleichung und löse nach [mm] \lambda [/mm] auf, setze das dann bei der zweiten Gleichung ein, dann habe ich irgendwann n Haufen kram mit irgendwelchen Logarithmen übrig ...
Sähe dann aus wie folgt:
[mm] -ln(p_1)-1+\lambda=0
[/mm]
[mm] \lambda=ln(p_1)+1
[/mm]
Das bei der zweiten Gleichung eingesetzt:
[mm] -ln(p_2)-1+\lambda=0
[/mm]
[mm] -ln(p_2)-1+(ln(p_1)+1)=0
[/mm]
Ab hier weiss ich dann schon nicht mehr weiter, weil ich nicht weiss, wie ich mit den ln's umgehen soll :-/
Was mir aber auffällt... Angenommen ich nähme die 2. oder 3. Gleichzung zuerst und löste die nach [mm] \lambda [/mm] auf. Würde ich die dann woanders einsetzen, bekäme ich immer wieder die selbe Struktur. Weiss grad auch schlecht, wie ich das richtig ausdrücken soll.
Aber das kommt für mich so rüber als seihen [mm] p_1, p_2 [/mm] und [mm] p_3 [/mm] alle die selbe Zahl, kann das sein?
Danke und viele Grüße
Andi
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Hallo,
ja, das kann sein und ist sogar richtig.
Löst Du deine 3 Gleichungen nach [mm] \lambda [/mm] auf und setzt sie dann gleich, erhältst Du z. B.:
[mm] $ln(p_1)-1 [/mm] = [mm] ln(p_2)-1$
[/mm]
[mm] $ln(p_1)-1 [/mm] = [mm] ln(p_3) [/mm] -1$
, woraus sofort folgt
[mm] $ln(p_1) [/mm] = [mm] ln(p_2) [/mm] = [mm] ln(p_3)$, [/mm] also
[mm] $p_1 [/mm] = [mm] p_2 [/mm] = [mm] p_3$.
[/mm]
Zusammen mit der 4. Gleichung erhältst Du dann
[mm] $p_1 [/mm] = [mm] p_2 [/mm] = [mm] p_3 [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}$.
[/mm]
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:57 So 23.03.2008 | | Autor: | Tauphi |
Ah,
perfekt, Danke für die Denkhilfe. Manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht 
Viele Grüße
Andi
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