Methode von Lagrange + Ableit. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:38 Fr 14.03.2008 | | Autor: | Tauphi |
| Aufgabe | Welcher Punkt (x,y) des Kreises mit Radius 1 um das Zentrum (3,5) hat den kleinsten Abstand zum Nullpunkt?
Dh. finden Sie mit der Methode von Lagrange das Minimum von [mm] f(x,y)=x^{2}+y^{2} [/mm] unter der Nebenbedingung [mm] (x-3)^{2}+(y-5)^{2}=1 [/mm] |
Guten Abend,
irgendwie versuche ich mich grad an obiger Aufgabe schon einige Stündchen, aber es kommt nur Humbug raus ...
Daher würd ich mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte ...
Diese Methode von Lagrange kenne ich nicht direkt, daher kann ich nur hoffen, dass meine Methode soweit richtig ist ... Angefangen habe ich so:
Die eigentliche Funktion:
[mm] f(x,y)=x^{2}+y^{2}
[/mm]
Und die Nebenbedingung:
[mm] (x-3)^{2}+(y-5)^{2}=1
[/mm]
Methode von Lagrange sollte so sein?! (Ich nehm für [mm] \lambda [/mm] das z, ist einfacher für mich zu tippen grad):
[mm] L(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z((x-3)^{2}+(y-5)^{2}-1)
[/mm]
Und von diesem Mistviech muss ich dann die partiellen Ableitungen machen, welche dann wie folgt aussehen:
[mm] L_x(x,y,z)=2*x+z(2*x-6)
[/mm]
[mm] L_y(x,y,z)=2*y+z(2*y-10)
[/mm]
[mm] L_z(x,y,z)=x^{2}-6*x+33+y^{2}-10*y
[/mm]
Da hapert es schon bei mir bei der partiellen Ableitung ... Ich kann die Ableitung von [mm] L_x(x,y,z) [/mm] nicht nachvollziehen ... Die, wie sie hier oben steht, ist korrekt, weil mein PC die für mich erstellt hat ...
Und zwar verstehe ich nicht, wieso aus [mm] z((x-3)^{2}+(y-5)^{2}-1) [/mm] ein z(2*x-6) wird ... ok das z bleibt stehen und der innere Teil wurde abgeleitet? Aber warum? Ich verstehe die Regel nicht. Auch in anbetracht dessen, dass alle nicht-x-Werte als Konstanten angesehen werden sollen, verstehe ich nicht, wieso da noch ein z auftaucht ... bzw. ich weiss nicht, wie ich damit umgehen soll, wenn in einer Klammer von z nen x Wert auftaucht?
Kann mir das jemand etwas erläutern? Oo
Aber soweit so gut ... wie mache ich ab hier weiter, um an die Lösung der Aufgabe zu kommen? Hab da versucht, die 3 Ableitungen = 0 zu setzen und versucht, diese dann auf ihre Unbekannten hin aufzulösen, um dann irgendwie weiter zu kommen ... Aber letztlich machte ich mehr falsch als sonst irgendwas ...
Jede Hilfe wäre super 
Vielen Dank im voraus
Grüße
Andi
|
|
| |
|
> Welcher Punkt (x,y) des Kreises mit Radius 1 um das Zentrum
> (3,5) hat den kleinsten Abstand zum Nullpunkt?
>
> Dh. finden Sie mit der Methode von Lagrange das Minimum von
> [mm]f(x,y)=x^{2}+y^{2}[/mm] unter der Nebenbedingung
> [mm](x-3)^{2}+(y-5)^{2}=1[/mm]
>
> Die eigentliche Funktion:
> [mm]f(x,y)=x^{2}+y^{2}[/mm]
> Und die Nebenbedingung:
> [mm](x-3)^{2}+(y-5)^{2}=1[/mm]
>
> Methode von Lagrange sollte so sein?!
> [mm]L(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+\lambda((x-3)^{2}+(y-5)^{2}-1)[/mm]
>
> Und von diesem Mistviech muss ich dann die partiellen
> Ableitungen machen, welche dann wie folgt aussehen:
>
> [mm]L_x(x,y,\lambda)=2*x+\lambda(2*x-6)[/mm]
> [mm]L_y(x,y,\lambda)=2*y+\lambda(2*y-10)[/mm]
> [mm]L_z(x,y,\lambda)=x^{2}-6*x+33+y^{2}-10*y[/mm]
>
> Da hapert es schon bei mir bei der partiellen Ableitung ...
> Ich kann die Ableitung von [mm]L_x(x,y,\lambda)[/mm] nicht nachvollziehen
> ... Die, wie sie hier oben steht, ist korrekt, weil mein PC
> die für mich erstellt hat ...
>
> Und zwar verstehe ich nicht, wieso aus
> [mm]\lambda((x-3)^{2}+(y-5)^{2}-1)[/mm] ein [mm] \lambda(2*x-6) [/mm] wird
Hallo,
wenn Du partiell nach x ableitest, behandelst Du [mm] \lambda [/mm] und y als Konstanten.
Du kannst doch sicher
[mm] g(x)=7*((x-3)^{2}+(87-5)^{2}-1) [/mm] ableiten.
Mach das mal!
Danach sollte Dir die partielle Ableitung von [mm] \lambda((x-3)^{2}+(y-5)^{2}-1) [/mm] nach x klar sein.
> Aber soweit so gut ... wie mache ich ab hier weiter, um an
> die Lösung der Aufgabe zu kommen? Hab da versucht, die 3
> Ableitungen = 0 zu setzen
Ganz genau der richtige Weg.
> und versucht, diese dann auf ihre
> Unbekannten hin aufzulösen, um dann irgendwie weiter zu
> kommen ...
Ja, wenn Dir das gelingt, hast Du die Kandidaten für die gesuchten Extremstellen gefunden.
Das Gleichungssystem ist halt kein lineares, da hat man ein bißchen mehr zu tun.
Ich würde erstmal des [mm] \lambda [/mm] eliminieren, und dann weitermachen - ob's der schnellste Weg ist,weiß ich im Moment nicht.
Du mußt gut aufpassen, daß Du im Verlauf der rechnng nicht durch 0 teilst, solche Punkte ggf. später untersuchen.
Rechne mal 'nen bißchen, und wenn Du nicht zum Ziel kommst, kannst Du ja mal vorrechnen.
Es schwirrt diese Aufgabe auch mehrfach im alten Threads herum, falls Du also suchen magst...
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 Fr 14.03.2008 | | Autor: | Tauphi |
Hallo Angela,
danke für Deinen Denkanstoß ... Ich habe jetzt mal etwas herumgerechnet und schreibe meine Schritte einfach mal auf bisher...
Löse die erste Gleichung auf z auf:
[mm] 2\cdot{}x+z(2*x-6)=0
[/mm]
[mm] z(2\cdot{}x-6)=-2*x
[/mm]
[mm] z=\bruch{-2*x}{2*x-6}
[/mm]
Das setze ich bei der zweiten Gleichung ein und löse auf x auf:
[mm] 2\cdot{}y+z(2*y-10)=0
[/mm]
[mm] 2\cdot{}y+\bruch{-2*x}{2*x-6}*(2*y-10)=0
[/mm]
[mm] 2\cdot{}y-\bruch{4*x*y}{2*x-6}+\bruch{20*x}{2*x-6}=0
[/mm]
[mm] -4\cdot{}x*y+20*x=-2*y*(2*x-6)
[/mm]
[mm] -4\cdot{}x*y+20*x=-4*y*x+12*y
[/mm]
[mm] 20\cdot{}x=12*y
[/mm]
[mm] 5\cdot{}x=3*y
[/mm]
[mm] x=\bruch{3*y}{5}
[/mm]
Das x setze ich nun in der dritten Gleichung ein:
[mm] x^{2}-6*x+33+y^{2}-10\cdot{}y=0
[/mm]
[mm] \bruch{3*y}{5}^{2}-6*\bruch{3*y}{5}+33+y^{2}-10\cdot{}y=0
[/mm]
[mm] \bruch{9*y^{2}}{25}-\bruch{18*y}{5}+33+y^{2}-10\cdot{}y=0 [/mm] /*25
[mm] 9*y^{2}-90*y+825+25*y^{2}-250\cdot{}y=0
[/mm]
[mm] 34\cdot{}y^{2}-340*y+825=0 [/mm] /:34
[mm] y^{2}-10*y+\bruch{825}{34}=0
[/mm]
Mit PQ krieg ich dann folgende Werte für [mm] y_1 [/mm] und [mm] y_2 [/mm] raus:
[mm] y_1=\bruch{170+5*\wurzel{34}}{34}=5,857
[/mm]
[mm] y_2=\bruch{170-5*\wurzel{34}}{34}=4,142
[/mm]
Ist der Weg bis hier hin korrekt? Falls ja, wie gehe ich ab hier jetzt weiter? Ich nehme mal an, dass ich das ganze irgendwie rückwärts machen muss. Aber welches der beiden y nehm ich denn? Oder muss ich beide?
Und dann weiter betrachtet, wie komme ich dann an die Lösung der Aufgabe näher ran?
Danke und viele Grüße
Andi
|
|
|
| |
|
Hallo Tauphi,
> Hallo Angela,
>
> danke für Deinen Denkanstoß ... Ich habe jetzt mal etwas
> herumgerechnet und schreibe meine Schritte einfach mal auf
> bisher...
>
>
> Löse die erste Gleichung auf z auf:
> [mm]2\cdot{}x+z(2*x-6)=0[/mm]
>
> [mm]z(2\cdot{}x-6)=-2*x[/mm]
>
> [mm]z=\bruch{-2*x}{2*x-6}[/mm]
>
>
> Das setze ich bei der zweiten Gleichung ein und löse auf x
> auf:
> [mm]2\cdot{}y+z(2*y-10)=0[/mm]
>
> [mm]2\cdot{}y+\bruch{-2*x}{2*x-6}*(2*y-10)=0[/mm]
>
> [mm]2\cdot{}y-\bruch{4*x*y}{2*x-6}+\bruch{20*x}{2*x-6}=0[/mm]
>
> [mm]-4\cdot{}x*y+20*x=-2*y*(2*x-6)[/mm]
>
> [mm]-4\cdot{}x*y+20*x=-4*y*x+12*y[/mm]
>
> [mm]20\cdot{}x=12*y[/mm]
>
> [mm]5\cdot{}x=3*y[/mm]
>
> [mm]x=\bruch{3*y}{5}[/mm]
>
>
> Das x setze ich nun in der dritten Gleichung ein:
> [mm]x^{2}-6*x+33+y^{2}-10\cdot{}y=0[/mm]
>
> [mm]\bruch{3*y}{5}^{2}-6*\bruch{3*y}{5}+33+y^{2}-10\cdot{}y=0[/mm]
>
> [mm]\bruch{9*y^{2}}{25}-\bruch{18*y}{5}+33+y^{2}-10\cdot{}y=0[/mm]
> /*25
>
> [mm]9*y^{2}-90*y+825+25*y^{2}-250\cdot{}y=0[/mm]
>
> [mm]34\cdot{}y^{2}-340*y+825=0[/mm] /:34
>
> [mm]y^{2}-10*y+\bruch{825}{34}=0[/mm]
>
>
>
> Mit PQ krieg ich dann folgende Werte für [mm]y_1[/mm] und [mm]y_2[/mm] raus:
> [mm]y_1=\bruch{170+5*\wurzel{34}}{34}=5,857[/mm]
> [mm]y_2=\bruch{170-5*\wurzel{34}}{34}=4,142[/mm]
Das ist alles richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
[mm]y_{1,2}=5*\left(1 \pm \bruch{1}{\wurzel{34}}\right)[/mm]
>
> Ist der Weg bis hier hin korrekt? Falls ja, wie gehe ich ab
> hier jetzt weiter? Ich nehme mal an, dass ich das ganze
> irgendwie rückwärts machen muss. Aber welches der beiden y
> nehm ich denn? Oder muss ich beide?
Beide Lösungen sind jetzt zu überprüfen.
>
> Und dann weiter betrachtet, wie komme ich dann an die
> Lösung der Aufgabe näher ran?
Die ermittelten Lösung für x und y in [mm]f\left(x,y\right)=x^{2}+y^{2}[/mm] einsetzen
und dann prüfen auf Minimum.
>
> Danke und viele Grüße
> Andi
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 Fr 14.03.2008 | | Autor: | Tauphi |
Hallo Power,
> >
> > Ist der Weg bis hier hin korrekt? Falls ja, wie gehe ich ab
> > hier jetzt weiter? Ich nehme mal an, dass ich das ganze
> > irgendwie rückwärts machen muss. Aber welches der beiden y
> > nehm ich denn? Oder muss ich beide?
>
> Beide Lösungen sind jetzt zu überprüfen.
>
Das heisst jetzt was im Klartext ? Dass ich beide y Lösungen in die 2. Gleichung einsetze und für jedes y jeweils die dazugehörige x Lösung ermittel?
Für [mm] y_1 [/mm] wäre das:
[mm] x_1=\bruch{3*5.857}{5}=3.5142
[/mm]
Und für [mm] y_2 [/mm] wäre das:
[mm] x_2=\bruch{3*4.142}{5}=2.4852
[/mm]
Und was ist mit dem Lambda aus der 1. Gleichung? passiert damit noch was? Oder gehts nur darum, Werte für x und y zu bekommen bei dem ganzen Prozedere vorher?
> >
> > Und dann weiter betrachtet, wie komme ich dann an die
> > Lösung der Aufgabe näher ran?
>
> Die ermittelten Lösung für x und y in
> [mm]f\left(x,y\right)=x^{2}+y^{2}[/mm] einsetzen
So?
[mm] f(x_1,y_1)=x^{2}+y^{2}
[/mm]
f(3.5142,5.857)=46.654
[mm] f(x_2,y_2)=x^{2}+y^{2}
[/mm]
f(2.4852,4.142)=23.332
> und dann prüfen auf Minimum.
>
Wie denn? O.o
Bitte etwas mehr erläutern
Vielen Dank im voraus
Grüße
Andi
|
|
|
| |
|
Hallo Tauphi,
> Hallo Power,
> > >
> > > Ist der Weg bis hier hin korrekt? Falls ja, wie gehe ich ab
> > > hier jetzt weiter? Ich nehme mal an, dass ich das ganze
> > > irgendwie rückwärts machen muss. Aber welches der beiden y
> > > nehm ich denn? Oder muss ich beide?
> >
> > Beide Lösungen sind jetzt zu überprüfen.
> >
> Das heisst jetzt was im Klartext ? Dass ich beide y
> Lösungen in die 2. Gleichung einsetze und für jedes y
> jeweils die dazugehörige x Lösung ermittel?
>
> Für [mm]y_1[/mm] wäre das:
> [mm]x_1=\bruch{3*5.857}{5}=3.5142[/mm]
>
> Und für [mm]y_2[/mm] wäre das:
> [mm]x_2=\bruch{3*4.142}{5}=2.4852[/mm]
Besser:
[mm]x_{1,2}=3*\left(1 \pm \bruch{1}{\wurzel{34}}\right)[/mm]
>
> Und was ist mit dem Lambda aus der 1. Gleichung? passiert
> damit noch was? Oder gehts nur darum, Werte für x und y zu
> bekommen bei dem ganzen Prozedere vorher?
Ja, mit dem [mm]\lambda[/mm] bekommst Du die x und y-Werte.
>
> > >
> > > Und dann weiter betrachtet, wie komme ich dann an die
> > > Lösung der Aufgabe näher ran?
> >
> > Die ermittelten Lösung für x und y in
> > [mm]f\left(x,y\right)=x^{2}+y^{2}[/mm] einsetzen
>
> So?
>
> [mm]f(x_1,y_1)=x^{2}+y^{2}[/mm]
> f(3.5142,5.857)=46.654
>
> [mm]f(x_2,y_2)=x^{2}+y^{2}[/mm]
> f(2.4852,4.142)=23.332
Stimmt.
[mm]f\left(x_{1},y_{1}\right) = 35 + 2*\wurzel{34}[/mm]
[mm]f\left(x_{2},y_{2}\right) = 35 - 2*\wurzel{34}[/mm]
>
> > und dann prüfen auf Minimum.
> >
>
> Wie denn? O.o
Entscheide welcher Wert der kleinste von beiden ist.
> Bitte etwas mehr erläutern
>
>
> Vielen Dank im voraus
> Grüße
> Andi
Gruß
MathePower
|
|
|
|
