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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:15 Sa 10.11.2007 | | Autor: | Dave11 |
| Aufgabe | a)Gegeben sei die Menge I=[0,1) und die Abbildung [mm] d^o:I \times [/mm] I [mm] \to \IR [/mm]
mit [mm] d^o(x,y)=min(|x-y|,1-|x-y|).Zeigen [/mm] Sie,dass [mm] d^o [/mm] auf I eine Metrik ist.
b)Für einen Punkt c [mm] \in [/mm] I=[0,1) definieren wir die Abbildungen [mm] f_c:I\to [/mm] I durch
[mm] f_c(x)=\left\{\begin{matrix}
x+c, & \mbox{für }x+c<1\\
x+c-1, & \mbox{für }x+c\ge 1
\end{matrix}\right.
[/mm]
Zeigen Sie, dass mit der in a definierten Metrik die Beziehung [mm] d^o(f_c(x),f_c(y))=d^o(x,y) [/mm] gilt. |
Guten Abend zusammen,
Ich hätte da mal ne Frage.
Zu a)
Damit es eine Metrik ist müssen ja Folgende Punkte erfüllt sein
1) [mm] d^o(x,y)\ge [/mm] 0 und [mm] d^o(x,y)=0 \Rightarrow [/mm] x=y
2) [mm] d^o(x,y)=d^o(y,x)
[/mm]
3) [mm] d^o(x,y)\le d^o(x,z)+d(z,y)
[/mm]
Bei 2) (Symmetrie) ist mir das klar da |x-y|=|y-x| ist
Aber bei 1) und 3) habe ich noch meine Probleme.
Bei 1) ist [mm] |x-y|\ge [/mm] 0 aber was ist mit 1-|x-y|??
Und bei 3) weiss ich nicht wie ich das z dazukriege
Irgendwie muss ich das so reinbekommen:
|x-y| [mm] \le [/mm] |x-z| + |z-y|
Zu b)
Ich habe ja 4 Fallunterscheidungen
Für x+c < 1 und für y+c < 1 ist es kein Problem.
Für x+c [mm] \ge [/mm] 1 und für y+c [mm] \ge [/mm] 1 ist es auch kein Problem
aber für die Fälle:
Für x+c < 1 und für y+c [mm] \ge [/mm] 1
Für x+c [mm] \ge [/mm] 1 und für y+c < 1
Da sieht es folgendermaßen aus:
Für x+c < 1 und für y+c [mm] \ge [/mm] 1:
min(|x-y+1|,1-|x-y+1|)
Für x+c [mm] \ge [/mm] 1 und für y+c < 1:
min(|x-y-1|,1-|x-y-1|)
Wie kriege ich es jetzt auf diese Form : min(|x-y|,1-|x-y|)
Wäre sehr dankbar wenn ich da ein bischen Hilfe bekommen würde
MFG DAVE
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:44 Sa 10.11.2007 | | Autor: | Blech |
> Ich hätte da mal ne Frage.
>
> Zu a)
> Damit es eine Metrik ist müssen ja Folgende Punkte erfüllt
> sein
>
> 1) [mm]d^o(x,y)\ge[/mm] 0 und [mm]d^o(x,y)=0 \Rightarrow[/mm] x=y
> 2) [mm]d^o(x,y)=d^o(y,x)[/mm]
> 3) [mm]d^o(x,y)\le d^o(x,z)+d(z,y)[/mm]
>
> Bei 2) (Symmetrie) ist mir das klar da |x-y|=|y-x| ist
> Aber bei 1) und 3) habe ich noch meine Probleme.
> Bei 1) ist [mm]|x-y|\ge[/mm] 0 aber was ist mit 1-|x-y|??
Schau Dir mal den Definitionsbereich an.
> Und bei 3) weiss ich nicht wie ich das z dazukriege
> Irgendwie muss ich das so reinbekommen:
>
> |x-y| [mm]\le[/mm] |x-z| + |z-y|
Zeichne Dir mal das Intervall [0,1) hin.
Jetzt mal zwei Punkte ein, das sind x und y.
Bildlich funktioniert die Metrik in etwa so: Ist der Abstand zwischen x und y kleiner oder gleich 0,5, so ist [mm] $d^0$ [/mm] die Länge der Strecke zwischen den beiden.
Ist der Abstand größer 0,5, so ist [mm] $d^0$ [/mm] die Summe der Abstände zu den Intervallgrenzen.
Jetzt zeichne mal einen dritten Punkt z ein (3 Möglichkeiten: entweder ist es der Punkt am weitesten Links, oder der zwischen den anderen beiden, oder der am weitesten rechts) und überleg Dir welche Abstände die Metrik berechnen würde (für die 2 Möglichkeiten, daß [mm] $|x-y|\le [/mm] 0.5$ oder $|x-y|>0.5$; einige Fälle entfallen aufgrund von Symmetrie).
> Für x+c < 1 und für y+c [mm]\ge[/mm] 1:
>
> min(|x-y+1|,1-|x-y+1|)
$a:=x-y$
[mm] $d^0(x,y)=min(|a|,|1+a|)=min(|1+a|,1-|1+a|)=d^0(f(x),f(y))$
[/mm]
Zwischen welchen Werten muß a liegen? Damit kannst Du die Beträge auflösen.
> Für x+c [mm]\ge[/mm] 1 und für y+c < 1:
>
> min(|x-y-1|,1-|x-y-1|)
Funktioniert analog.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 So 11.11.2007 | | Autor: | Dave11 |
Hi Blech
Zuerst mal Danke für deine Hilfe.
>
> Schau Dir mal den Definitionsbereich an.
Ah ok, da [mm] 1>|x-y|\ge [/mm] 0 , ist 1-|x-y|>0 [mm] \Rightarrow d^o(x,y)=min(|x-y|,1-|x-y|)\ge [/mm] 0
> Zeichne Dir mal das Intervall [0,1) hin.
> Jetzt mal zwei Punkte ein, das sind x und y.
> Bildlich funktioniert die Metrik in etwa so: Ist der
> Abstand zwischen x und y kleiner oder gleich 0,5, so ist
> [mm]d^0[/mm] die Länge der Strecke zwischen den beiden.
> Ist der Abstand größer 0,5, so ist [mm]d^0[/mm] die Summe der
> Abstände zu den Intervallgrenzen.
ok cool , dass habe ich verstanden.
> Jetzt zeichne mal einen dritten Punkt z ein (3
> Möglichkeiten: entweder ist es der Punkt am weitesten
> Links, oder der zwischen den anderen beiden, oder der am
> weitesten rechts) und überleg Dir welche Abstände die
> Metrik berechnen würde (für die 2 Möglichkeiten, daß
> [mm]|x-y|\le 0.5[/mm] oder [mm]|x-y|>0.5[/mm]; einige Fälle entfallen
> aufgrund von Symmetrie).
Ok das ist mir jetzt auch klar.Wenn z genau zwischen mein x und y wäre hätte ich [mm] d^o(x,y)=d(x,z)+d(z,y) [/mm] ne??
Nur wie schreibe ich das jetzt auf oder wie zeige ich dass?
>
>
> > Für x+c < 1 und für y+c [mm]\ge[/mm] 1:
> >
> > min(|x-y+1|,1-|x-y+1|)
>
> [mm]a:=x-y[/mm]
> [mm]d^0(x,y)=min(|a|,|1+a|)=min(|1+a|,1-|1+a|)=d^0(f(x),f(y))[/mm]
>
> Zwischen welchen Werten muß a liegen? Damit kannst Du die
> Beträge auflösen.
>
a muss doch zwischen -1 und 1 liegen.Kann aber deinem Schritt noch nicht ganz folgen.Hab da gerade ien Brett vorm Kopf.Wieso kann ich die Betragsstriche auflösen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:48 So 11.11.2007 | | Autor: | Blech |
> > Jetzt zeichne mal einen dritten Punkt z ein (3
> > Möglichkeiten: entweder ist es der Punkt am weitesten
> > Links, oder der zwischen den anderen beiden, oder der am
> > weitesten rechts) und überleg Dir welche Abstände die
> > Metrik berechnen würde (für die 2 Möglichkeiten, daß
> > [mm]|x-y|\le 0.5[/mm] oder [mm]|x-y|>0.5[/mm]; einige Fälle entfallen
> > aufgrund von Symmetrie).
>
> Ok das ist mir jetzt auch klar.Wenn z genau zwischen mein x
> und y wäre hätte ich [mm]d^o(x,y)=d(x,z)+d(z,y)[/mm] ne??
>
> Nur wie schreibe ich das jetzt auf oder wie zeige ich
> dass?
Fallunterscheidung:
x=y ist trivial. ObdA x<y
Fall 1: [mm] $x\le z\le [/mm] y$
Fall 1.1: [mm] $|x-y|\le [/mm] 0.5 [mm] \Rightarrow \dots$
[/mm]
Fall 2.2: |x-y|>0.5 ...
Fall 2: z<x oder z>y...
> >
> >
> > > Für x+c < 1 und für y+c [mm]\ge[/mm] 1:
> > >
> > > min(|x-y+1|,1-|x-y+1|)
> >
> > [mm]a:=x-y[/mm]
> >
> [mm]d^0(x,y)=min(|a|,|1+a|)=min(|1+a|,1-|1+a|)=d^0(f(x),f(y))[/mm]
> >
> > Zwischen welchen Werten muß a liegen? Damit kannst Du die
> > Beträge auflösen.
> >
>
> a muss doch zwischen -1 und 1 liegen.Kann aber deinem
Du kannst es weiter einschränken, weil x+c<1 und [mm] $y+c\ge [/mm] 1$ nach Voraussetzung; damit ist a kleiner 0.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:41 Mo 12.11.2007 | | Autor: | Dave11 |
> Fallunterscheidung:
> x=y ist trivial. ObdA x<y
> Fall 1: [mm]x\le z\le y[/mm]
> Fall 1.1: [mm]|x-y|\le 0.5 \Rightarrow \dots[/mm]
>
> Fall 2.2: |x-y|>0.5 ...
> Fall 2: z<x oder z>y...
Achso also einfach so hinschreiben:
Fall 1: [mm]x\le z\le y[/mm]
Fall 1.1: [mm]|x-y|\le 0.5 \Rightarrow d^0(x,y)=d^0(x,z)+d^0(z,y)[/mm]
Fall 1.2: [mm]|x-y|> 0.5 \Rightarrow d^0(x,y)\le d^0(x,z)+d^0(z,y)[/mm]
Usw für alle Fälle durch?
und dann zum Schluss [mm] \Rightarrow[/mm] [mm]d^0(x,y)\le d^0(x,z)+d^0(z,y)[/mm] ????
> > > > Für x+c < 1 und für y+c [mm]\ge[/mm] 1:
> > > >
> > > > min(|x-y+1|,1-|x-y+1|)
> > >
> > > [mm]a:=x-y[/mm]
> > >
> > [mm]d^0(x,y)=min(|a|,|1+a|)=min(|1+a|,1-|1+a|)=d^0(f(x),f(y))[/mm]
> > >
> > > Zwischen welchen Werten muß a liegen? Damit kannst Du die
> > > Beträge auflösen.
> > >
> >
> > a muss doch zwischen -1 und 1 liegen.Kann aber deinem
>
> Du kannst es weiter einschränken, weil x+c<1 und [mm]y+c\ge 1[/mm]
> nach Voraussetzung; damit ist a kleiner 0.
>
Ok dann habe ich a < 0 aber wie kann ich denn das obige Folgern??
und min(|a|,|1+a|) ist doch nicht [mm] d^0(x,y) [/mm] !!!!!
Irgendwie weiss ich nicht was du meinst...Tut mir wirklich leid...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:17 Di 13.11.2007 | | Autor: | Blech |
> > Fallunterscheidung:
> > x=y ist trivial. ObdA x<y
> > Fall 1: [mm]x\le z\le y[/mm]
> > Fall 1.1: [mm]|x-y|\le 0.5 \Rightarrow \dots[/mm]
>
> >
> > Fall 2.2: |x-y|>0.5 ...
> > Fall 2: z<x oder z>y...
>
> Achso also einfach so hinschreiben:
>
> Fall 1: [mm]x\le z\le y[/mm]
> Fall 1.1: [mm]|x-y|\le 0.5 \Rightarrow d^0(x,y)=d^0(x,z)+d^0(z,y)[/mm]
>
> Fall 1.2: [mm]|x-y|> 0.5 \Rightarrow d^0(x,y)\le d^0(x,z)+d^0(z,y)[/mm]
>
> Usw für alle Fälle durch?
Ja, Du solltest exemplarisch an einem ausführen, warum das so stimmt, aber allgemein sind alle Fälle recht trivial, auch wenn es viele sind. =)
> > > > > Für x+c < 1 und für y+c [mm]\ge[/mm] 1:
> > > > >
> > > > > min(|x-y+1|,1-|x-y+1|)
> > > >
> > > > [mm]a:=x-y[/mm]
> > > >
> > > [mm]d^0(x,y)=min(|a|,|1+a|)=min(|1+a|,1-|1+a|)=d^0(f(x),f(y))[/mm]
> > > >
> > > > Zwischen welchen Werten muß a liegen? Damit kannst Du die
> > > > Beträge auflösen.
> > > >
> > >
> > > a muss doch zwischen -1 und 1 liegen.Kann aber deinem
> >
> > Du kannst es weiter einschränken, weil x+c<1 und [mm]y+c\ge 1[/mm]
> > nach Voraussetzung; damit ist a kleiner 0.
> >
>
> Ok dann habe ich a < 0 aber wie kann ich denn das obige
> Folgern??
|a|=-a, weil a<0
|1+a|=1+a, weil a>-1
> und min(|a|,|1+a|) ist doch nicht [mm]d^0(x,y)[/mm] !!!!!
Es ist, trotz 5 Ausrufezeichen; ich hab nur die Schritte 1-|a| = |1+a| und |a|=1-|1+a| nacheinander gemacht; war vielleicht etwas ungeschickt.
d(x,y)=min(|a|,1-|a|)=min(-a,1+a)=min(|1+a|,1-|1+a|)
> Irgendwie weiss ich nicht was du meinst...Tut mir wirklich
> leid...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:09 Mi 14.11.2007 | | Autor: | Dave11 |
Alles klar, jetzt habe ich es verstanden....
Danke dir für deine Geduld.
MFG Dave
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