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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:16 Mi 16.11.2011 | | Autor: | Laura87 |
| Aufgabe | Seien (X, d), (Y, p), metrische Räume.Wir betrachten die Funktion l : (X x Y )x(X x Y [mm] )->\R [/mm] mit
[mm] l((x_1, y_1), (x_2, y_2)) [/mm] := [mm] d(x_1, x_2)+ [/mm] p( [mm] y_1, y_2)
[/mm]
[mm] x_1, x_2 \in [/mm] X und [mm] y_1, y_2 \in [/mm] Y . Zeigen Sie, dass l eine Metrik auf X x Y ist.
b)Gegen Sie das Beispiel einer Metrik auf C([0, 1]) x [mm] \IR^2 [/mm] an, wobei C([0, 1]) = { f : [0, 1]-> [mm] \IR| [/mm] f ist stetig} |
Hallo,
mit dieser Aufgabe habe ich irgendwie schwierigkeiten. Bis jetzt hatten wir das mit tuppeln noch nicht.
ALso bei der Metrik sind drei Bedinungen zu zeigen:
1) d(x,y)=0 [mm] \gdw [/mm] x=y
heißt es hier dann
[mm] d(x_1,x_2)+p(y_1,y_2)=0 \gdw x_1=y_1 [/mm] nd [mm] x_2=y_2
[/mm]
????
Gruß Laura
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:36 Mi 16.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Seien (X, d), (Y, p), metrische Räume.Wir betrachten die
> Funktion l : (X x Y )x(X x Y [mm])->\R[/mm] mit
> [mm]l((x_1, y_1), (x_2, y_2))[/mm] := [mm]d(x_1, x_2)+[/mm] p( [mm]y_1, y_2)[/mm]
>
> [mm]x_1, x_2 \in[/mm] X und [mm]y_1, y_2 \in[/mm] Y . Zeigen Sie, dass l eine
> Metrik auf X x Y ist.
>
> b)Gegen Sie das Beispiel einer Metrik auf C([0, 1]) x [mm]\IR^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> an, wobei C([0, 1]) = { f : [0, 1]-> [mm]\IR|[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
f ist stetig}
> Hallo,
>
> mit dieser Aufgabe habe ich irgendwie schwierigkeiten. Bis
> jetzt hatten wir das mit tuppeln noch nicht.
>
> ALso bei der Metrik sind drei Bedinungen zu zeigen:
>
> 1) d(x,y)=0 [mm]\gdw[/mm] x=y
>
> heißt es hier dann
>
> [mm]d(x_1,x_2)+p(y_1,y_2)=0 \gdw x_1=y_1[/mm] nd [mm]x_2=y_2[/mm]
Nein. Wieso denn das ?
Du mußt zeigen:
[mm]d(x_1,x_2)+p(y_1,y_2)=0 \gdw x_1=x_2[/mm] und [mm]y_1=y_2[/mm]
FRED
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> ????
>
> Gruß Laura
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:00 Do 17.11.2011 | | Autor: | Laura87 |
hmm also erstmal danke für deine ANtwort, aber ich weiß ehrlich gesagt nicht, wie ich da vorgehen soll. Bis jetzt hatten wir Funktionen der Art: [mm] d(x,y)=\parallel [/mm] x-y [mm] \parallel [/mm] da ging es recht einfach.
Also sagen wir [mm] x_1=x_2 [/mm] und [mm] y_1=y_2 [/mm] dann folgt
[mm] d(x_1,x_2)+p(y_1,y_y_2)=d(x_1,x_1)+p(y_1,y_y_1)=....
[/mm]
so und jetzt? Sry das ich so blöd frage, ist wahrscheinlich sehr banal, aber ich weiß gerade echt nicht damit umzugehen.
Gruß Laura
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:11 Do 17.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> hmm also erstmal danke für deine ANtwort, aber ich weiß
> ehrlich gesagt nicht, wie ich da vorgehen soll. Bis jetzt
> hatten wir Funktionen der Art: [mm]d(x,y)=\parallel[/mm] x-y
> [mm]\parallel[/mm] da ging es recht einfach.
>
> Also sagen wir [mm]x_1=x_2[/mm] und [mm]y_1=y_2[/mm] dann folgt
>
> [mm]d(x_1,x_2)+p(y_1,y_y_2)=d(x_1,x_1)+p(y_1,y_y_1)=....[/mm]
>
> so und jetzt?
Wie und jetzt ? ? Da d und p Metriken sind, ist [mm] d(x_1,x_1)=p(y_1,y_y_1)=0
[/mm]
Umkehrung: jetzt sei [mm] d(x_1,x_2)+p(y_1,y_2)=0. [/mm] Da beide Summanden auf der linken Seite [mm] \ge [/mm] 0 sind, folgt:
[mm] d(x_1,x_2)=p(y_1,y_2)=0.
[/mm]
Da d und p Metriken sind, folgt nun was ?
FRED
> Sry das ich so blöd frage, ist
> wahrscheinlich sehr banal, aber ich weiß gerade echt nicht
> damit umzugehen.
>
> Gruß Laura
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:29 Do 17.11.2011 | | Autor: | Laura87 |
es folgt [mm] x_1=x_2 [/mm] und [mm] y_1=y_2
[/mm]
nun ist die symmetrie zu zeigen. D.h.:
für alle [mm] x_1,x_2 \in [/mm] X und [mm] y_1,y_2 \in [/mm] Y gilt
d(x,y)=d(y,x)
In unserem Fall also
[mm] d(x_1,x_2)=d(x_2,x_1) [/mm] und analog [mm] p(y_1,y_2)=p(y_2,y1) [/mm] insgesamt also
[mm] d(x_1,x_2)+p(y_1,y_2)=d(x_2,x_1) [/mm] + [mm] p(y_2,y1)
[/mm]
dies gilt, da d und p metriken sind.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:59 Do 17.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> es folgt [mm]x_1=x_2[/mm] und [mm]y_1=y_2[/mm]
>
> nun ist die symmetrie zu zeigen. D.h.:
>
> für alle [mm]x_1,x_2 \in[/mm] X und [mm]y_1,y_2 \in[/mm] Y gilt
>
> d(x,y)=d(y,x)
>
> In unserem Fall also
>
> [mm]d(x_1,x_2)=d(x_2,x_1)[/mm] und analog [mm]p(y_1,y_2)=p(y_2,y1)[/mm]
> insgesamt also
>
> [mm]d(x_1,x_2)+p(y_1,y_2)=d(x_2,x_1)[/mm] + [mm]p(y_2,y1)[/mm]
>
>
> dies gilt, da d und p metriken sind.
Ja
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:20 Do 17.11.2011 | | Autor: | Laura87 |
Jetzt bleibt nur noch die dreiecksungleichung zu zeigen.
Die verwirrt mich aber gerade total.
Es heíßt ja:
[mm] d(x,z)\le [/mm] d(x,y)+d(y,z)
aber wie setzte ich das um. Ich habe ja zwei Metriken soll ich die für beide getrennt machen :-S
oder soll ich zeigen:
[mm] l(x_1,x_2),(z_1,z_2)=d(x_1,x_2)+h(z_1,z_2) [/mm] = [mm] d(x_1,x_2)+h(z_1,z_2)+p(y_1,y_2)-p(y_1,y_2)\le [/mm] ...
aber nein das ist denke ich schwachsinn
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Hallo Mathegirl,
> Jetzt bleibt nur noch die dreiecksungleichung zu zeigen.
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> Die verwirrt mich aber gerade total.
>
> Es heíßt ja:
>
> [mm]d(x,z)\le[/mm] d(x,y)+d(y,z)
>
> aber wie setzte ich das um. Ich habe ja zwei Metriken soll
> ich die für beide getrennt machen :-S
>
> oder soll ich zeigen:
>
> [mm]l(x_1,x_2),(z_1,z_2)=d(x_1,x_2)+h(z_1,z_2)[/mm] =
> [mm]d(x_1,x_2)+h(z_1,z_2)+p(y_1,y_2)-p(y_1,y_2)\le[/mm] ...
>
> aber nein das ist denke ich schwachsinn
Zeige:
[mm]l\left( \ \left(x_{1},z_{1} \right), \ \left(x_{2},z_{2} \right) \ \right) \le l\left( \ \left(x_{1},z_{1} \right), \ \left(x_{m},z_{m} \right) \ \right)+l\left( \ \left(x_{m},z_{m} \right), \ \left(x_{2},z_{2} \right) \ \right)[/mm]
,wobei [mm]x_{1}, \ x_{m}, \ x_{2} \in X[/mm] und [mm]z_{1}, \ z_{m}, \ z_{2} \in Y[/mm].
Gruss
MathePower
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