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| Aufgabe | Hi, ich komme bei der folgenden Aufgabe einfach nicht weiter.
"Wir betrachten [mm] \Ir^2 [/mm] mit den Normen || [mm] \cdot ||_P [/mm] (1 [mm] \le [/mm] P [mm] \le \infty). [/mm] Sikzzieren Sie jeweils für p=1,2, [mm] \infty [/mm] die Menge [mm] K_p [/mm] := [mm] \{ x\in \IR^2 : ||x||_P \le 1\} [/mm] aller Punkte mit Abstand kleiner gleich 1 vom Ursprung
Mit welchen Faktoren [mm] \lambda, \omega [/mm] > 0 müssen Sie stauchen um [mm] \lambda \cdot K_{\infty} \subseteq \omega \cdot K_{2} \subseteq K_1 [/mm] zu erreichen?
mfg |
Ok, für p=2 gilt doch
[mm] ||x-y||_2 [/mm] := [mm] (\sum\limits_{k=1}^n (|x_k -y_k|)^2)^{1/2}
[/mm]
Wenn ich mir das an den Grenzen anschaue erhalte ich die "Grenzpunkte" mit
(0,1);(0,-1);(-1,0);(1,0)
Aber wie sieht es dazwischen aus deshalb habe ich mir einfach mal eine fixen wert der x-Achse genommen und die gelichung aufgelöst
[mm] \wurzel{0,7^2 + y^2}= [/mm] 1 und komme auf die Werte 0,714 und -0,714
Aber wie kann ich das allegemein aufschreiben?
Bzw wie funktioniert dies mit 1 und [mm] \infty [/mm]
Danke euch .)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:40 Mi 12.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hi, ich komme bei der folgenden Aufgabe einfach nicht
> weiter.
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> "Wir betrachten [mm]\Ir^2[/mm] mit den Normen || [mm]\cdot ||_P[/mm] (1 [mm]\le[/mm] P
> [mm]\le \infty).[/mm] Sikzzieren Sie jeweils für p=1,2, [mm]\infty[/mm] die
> Menge [mm]K_p[/mm] := [mm]\{ x\in \IR^2 : ||x||_P \le 1\}[/mm] aller Punkte
> mit Abstand kleiner gleich 1 vom Ursprung
>
> Mit welchen Faktoren [mm]\lambda, \omega[/mm] > 0 müssen Sie
> stauchen um [mm]\lambda \cdot K_{\infty} \subseteq \omega \cdot K_{2} \subseteq K_1[/mm]
> zu erreichen?
>
> mfg
> Ok, für p=2 gilt doch
>
> [mm]||x-y||_2[/mm] := [mm](\sum\limits_{k=1}^n (|x_k -y_k|)^2)^{1/2}[/mm]
>
> Wenn ich mir das an den Grenzen anschaue erhalte ich die
> "Grenzpunkte" mit
> (0,1);(0,-1);(-1,0);(1,0)
>
> Aber wie sieht es dazwischen aus deshalb habe ich mir
> einfach mal eine fixen wert der x-Achse genommen und die
> gelichung aufgelöst
>
> [mm]\wurzel{0,7^2 + y^2}=[/mm] 1 und komme auf die Werte 0,714 und
> -0,714
>
> Aber wie kann ich das allegemein aufschreiben?
> Bzw wie funktioniert dies mit 1 und [mm]\infty[/mm]
Schau mal hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Einheitskugel
FRED
>
> Danke euch .)
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> Schau mal hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Einheitskugel
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Ok dann habe ich also bei
p=1 ein Deltoid
p=2 eine Kugel
[mm] P=\infty [/mm] ergbt sich ein Quadrat
Aber wie komme ich auf die [mm] \lambda [/mm] bzw. [mm] \omega [/mm] für $ [mm] \lambda \cdot K_{\infty} \subseteq \omega \cdot K_{2} \subseteq K_1 [/mm] $?
Ok wenn ich jetzt alle 3 "Figuren" übereinander lege, sehe ich das sie genau das Deltoid gemeinsam haben. Wie kann ich mittels [mm] \lambda [/mm] bzw. [mm] \omega [/mm] diese "Falze" wegschneiden
Danke dir
> FRED
> >
> > Danke euch .)
> >
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:59 Mi 12.09.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Nennen wir das Ding bei p=1 auch einfach mal Quadrat. :) Bei dem eine Spitze nach oben zeigt. Bei p=2 hast du einen Kreis und bei [mm] p=\infty [/mm] nochmal ein Quadrat, bei dem die Seiten aber parallel zur x- bzw. y-Achse sind.
Nimm jetzt mal nur die rechte Inklusion. um wie viel kleiner musst du die Kugel machen, wenn sie genau in das Quadrat für p=1 passen soll? Mach dir mal eine Skizze, in der ein Kreis im Quadrat liegt. Rechne dann den Radius vom Kreis aus.
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> Hi!
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> Nennen wir das Ding bei p=1 auch einfach mal Quadrat. :)
> Bei dem eine Spitze nach oben zeigt. Bei p=2 hast du einen
> Kreis und bei [mm]p=\infty[/mm] nochmal ein Quadrat, bei dem die
> Seiten aber parallel zur x- bzw. y-Achse sind.
>
> Nimm jetzt mal nur die rechte Inklusion. um wie viel
> kleiner musst du die Kugel machen, wenn sie genau in das
> Quadrat für p=1 passen soll? Mach dir mal eine Skizze, in
> der ein Kreis im Quadrat liegt. Rechne dann den Radius vom
> Kreis aus.
ok bei p= 1 hätte ich einen Radius von 0,707 (wenn ich mich jetzt nicht verrechnet habe) und wenn ich in diesen Kreis jetzt noch ein Quadrat hineinschreiben will so hat dieses eine seitenlänge von 0,5 oder?
mfg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:27 Mi 12.09.2012 | | Autor: | Teufel |
Genau, [mm] \omega [/mm] muss also auf alle Fälle kleiner als [mm] \frac{\sqrt{2}}{2}=0,707... [/mm] sein. Nehmen wir mal [mm] \omega=\frac{\sqrt{2}}{2}. [/mm] Das innere Quadrat hat dann bei mir eine Seitenlänge von 1 allerdings.
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> Genau, [mm]\omega[/mm] muss also auf alle Fälle kleiner als
> [mm]\frac{\sqrt{2}}{2}=0,707...[/mm] sein. Nehmen wir mal
> [mm]\omega=\frac{\sqrt{2}}{2}.[/mm] Das innere Quadrat hat dann bei
> mir eine Seitenlänge von 1 allerdings.
ja hatte es bei mir auch, da ich mal 2 vergessen hatte :)
also könnte ich [mm] \lambda [/mm] kleiner 1 wählen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:48 Mi 12.09.2012 | | Autor: | Teufel |
Ja, zumindest wenn du [mm] $\omega=\frac{\sqrt{2}}{2}$ [/mm] gewählt hast. Für allgemeines [mm] \omega [/mm] müsstest du [mm] $\lambda \le \sqrt{2}\omega$ [/mm] wählen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:03 Do 13.09.2012 | | Autor: | fred97 |
Zu $ [mm] \lambda \cdot K_{\infty} \subseteq \omega \cdot K_{2} [/mm] $:
Überlege Dir , dass gilt:
[mm] ||x||_2 \le \wurzel{2}||x||_{\infty} [/mm] für alle $ x [mm] \in \IR^2$.
[/mm]
FRED
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