Metrik, Mengen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Welche der folgenden Teilmengen von [mm] \IR² [/mm] sind offen, welche sind abgeschlossen?
A = {(x,y) Element [mm] \IR² [/mm] | x>0}
B = {(x,y) Element [mm] \IR² [/mm] | y=0}
C = {(x,y) Element [mm] \IR² [/mm] | [mm] x\le3 [/mm] } |
Hallo Leute,
ich habe grad Metrik als Thema bei Analysis II.
Aber ich habe keine Ahnung wie ich genau bei solchen Aufgaben vorangehen soll.
Könnt ihr mir helfen und "Tricks" geben wie ich bei solchen Aufgaben vorgehen soll?
Schonmal vielen Dank im Voraus.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:32 So 01.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Erstmal die def. von offen hinschreiben:
2. nachsehen, ob es Punkte der menge gibt, die zeigen, dass sie nicht offen ist, oder für alle punkte zeigen, dass sie offen ist.
Oft hilft, um zu sehen ob sie ofen ist schon mal nach nem Rand zu suchen.
skizzier die Mengen!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
1. Definition für offen:
Eine Menge [mm] \nu \subset [/mm] M eines metrischen Raums (M,d) heißt offen, genauer d-offen, wenn zu jedem x Element [mm] \nu [/mm] ein [mm] \varepsilon>0 [/mm] existiert, sodass U(x, [mm] \varepsilon) \subset \nu.
[/mm]
Kannst du mir einen Lösungsvorschlag für Menge A geben, dann kann ich es mal versuchen auf die Mengen B und C anzuwenden?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:56 Mo 02.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Immer schön Bilder malen !
Wir nehmen uns ein [mm] $(x_0,y_0) \in [/mm] A$ her. Dann ist [mm] x_0>0. [/mm] Setze [mm] \varepsilon=x_0 [/mm] und zeige:
[mm] $U((x_0,y_0), \varepsilon) \subseteq [/mm] A.$
Damit ist A offen.
Tipp: B und C sind abgeschlossen. Zeige (ähnlich wie bei A), dass [mm] $\IR^2 \setminus [/mm] B$ und [mm] $\IR^2 \setminus [/mm] C$ offen sind.
FRED
|
|
|
| |
|
Achso zuerst mal danke.
Langsam versteh ich es.
Sei [mm] (x_0,y_0) \in [/mm] A. Dann ist [mm] x_0>0.
[/mm]
Wenn ich jetzt [mm] \varepsilon=x_0 [/mm] setze, muss ich dann zeigen:
[mm] U((x_0,y_0), x_0) \subseteq [/mm] A
In der VL hatten wir nur x [mm] \in [/mm] A und nicht [mm] (x_0,y_0) \in [/mm] A
Kannst du mir beim Beweis noch ein bisschen weiterhelfen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:56 Mo 02.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Achso zuerst mal danke.
> Langsam versteh ich es.
>
> Sei [mm](x_0,y_0) \in[/mm] A. Dann ist [mm]x_0>0.[/mm]
> Wenn ich jetzt [mm]\varepsilon=x_0[/mm] setze, muss ich dann
> zeigen:
>
> [mm]U((x_0,y_0), x_0) \subseteq[/mm] A
>
> In der VL hatten wir nur x [mm]\in[/mm] A und nicht [mm](x_0,y_0) \in[/mm] A
Mann, mann. Die Menge A ist Teilmenge des [mm] \IR^2 [/mm] !!!!
FRED
>
> Kannst du mir beim Beweis noch ein bisschen weiterhelfen?
|
|
|
| |
|
ja okay dass war mir schon eigentlich klar :)
Aber ich weiß eben nicht den ersten Schritt vom Beweis...
[mm] U((x_0,y_0), \varepsilon) \subseteq [/mm] A .....
Kannst mir da den Schritt geben?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:15 Mo 02.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> ja okay dass war mir schon eigentlich klar :)
>
> Aber ich weiß eben nicht den ersten Schritt vom Beweis...
>
> [mm]U((x_0,y_0), \varepsilon) \subseteq[/mm] A .....
>
> Kannst mir da den Schritt geben?
Nimm ein (x,y) [mm] \in U((x_0,y_0), \varepsilon) [/mm] und zeige : x>0
FRED
|
|
|
| |
|
Ich hab mich jetzt rangesetzt, aber es ist alles so unstrukturiert bei mir und dann komm ich nicht zum Beweis.
Vielleicht nerve ich dich damit, aber dass ist nicht meine Absicht. Ich will nur die Teilaufgabe A verstehen, damit ich es auch B und C anwenden kann.
Kannst du mir bitte es für die Menge A vorrechen, damit ich es verstehe...
Ein großes Dankeschön schonmal :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:38 Mo 02.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Also:
Wir nehmen $(x,y) [mm] \in U((x_0,y_0), \varepsilon) [/mm] $. Dann ist
$ [mm] (x-x_0)^2+(y-y_0)^2< \varepsilon^2= x_0^2.$
[/mm]
Somit:
[mm] $x^2-2xx_0+(y-y_0)^2<0,
[/mm]
folglich
[mm] $2xx_0> x^2+(y-y_0)^2 \ge [/mm] 0$.
Damit ist [mm] $xx_0>0$. [/mm] Da [mm] (x_0,y_0) \in [/mm] A war, ist [mm] x_0>0, [/mm] daher haben wir x>0 und dies bedeutet: (x,y) [mm] \in [/mm] A.
FRED
|
|
|
| |
|
Ah okay. Ich hab eigentlich alles verstanden bis auf :
[mm] (x-x_0)^2+(y-y_0)^2< \varepsilon^2
[/mm]
Warum ist dieser Term kleiner als [mm] \varepsilon^2 [/mm] ???
|
|
|
| |
|
Hallo mahestudent111,
> Ah okay. Ich hab eigentlich alles verstanden bis auf :
>
> [mm](x-x_0)^2+(y-y_0)^2< \varepsilon^2[/mm]
>
> Warum ist dieser Term kleiner als [mm]\varepsilon^2[/mm] ???
Na, du hast einen Punkt [mm](x,y)\in U((x_0,y_0),\varepsilon)[/mm] gegeben.
Wie ist denn [mm]U((x_0,y_0),\varepsilon)[/mm] definiert?
Euklische Metrik und quadrieren ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Achso logisch. Wenn man es sieht dann ist es nicht so schwer :)
Danke nochmal!
Was mich eigentlich noch interessiert ist was passieren würde wenn ich eine offene und geschlossene Menge also Durchschnitt nehme?
Z.B. A und B zusammen....
Gibts da eine Regel die ich anwenden kann?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:55 Mo 02.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
a) A und B "zusammen" oder durchschnitt ist ja wohl nicht dasselbe.
b) probier es einfach mit deinen 3 mengen hier aus!
gruss leduart
|
|
|
| |
|
Angenommen ich habe den Durchschnitt von der Menge A und B.
Also ist dann die neue Menge A+B = {(x,y) [mm] \in \IR² [/mm] | x>0 und y=0}
Stimmt das?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:50 Mo 02.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du kannst doch für den Durchschnitt von A und B nicht A+B schreiben!?
aber [mm]A\capB [/mm][mm] \cap [/mm] B hast du richtig. die x-achse für x>0
gruss leduart
|
|
|
| |
|
Und was ist mit der y-Achse?
Oder kannste mir die Menge A [mm] \cap [/mm] B mal angeben?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:18 Mo 02.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
die menge B ist doch y=0 also die x-achse, auf der y-achse ist doch y=0 nur in(0,0)
Wir hatten dir gleich gesagt, du sollst die mengen zeichnen!!!
gruss leduart
|
|
|
| |
|
Also ist die Menge A [mm] \cap [/mm] B :
A [mm] \cap [/mm] B = {(x,y) [mm] \in \IR² [/mm] | [mm] x\ge0 [/mm] }
Und somit offen???
|
|
|
| |
|
> Also ist die Menge A [mm]\cap[/mm] B :
>
> $D:=A [mm] \cap [/mm] B = [mm] \{(x,y) \in \IR^2| x\geq 0 \}$ [/mm]
Demnach wäre doch [mm] $m:=(1,3)\in A\cap [/mm] B$!!!
Wie kann denn beides gelten [mm] $m\in A\cap [/mm] B$ und [mm] $m\not\in [/mm] B$?
>
> Und somit offen???
C ist abgeschlossen. Das wurde dir schon freundlicherweise mitgeteilt.
Vergleich doch nur mal den Aufbau von den Mengen C und D.
Ein bissel mehr Strukturgefühl!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:03 Mo 02.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
irgendwie liest du antworten nicht richtig. wir geben uns Mühe, ich hatte vor 2 antworten geschrieben, dass dein D die positive x-Achse ohne 0 ist.
danach dass die y- achse sicher nicht dazu gehört. warum ignorierst du das?
Lies bitte wirklich unsere Tips u.a. genau, und langsam, auch 2 oder 3 mal!
Was ich hier merke ist frustig.
gruss leduart
|
|
|
|
