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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:56 So 02.09.2007 | | Autor: | Danielita |
Ich schreibe zur Zeit an meiner Diplomarbeit über Universelle Funktionen und stehe vor folgendem Problem:
Gegeben hab ich den Raum GB aller ganzen Funktionen, die auf jeder Geraden beschränkt sind. (beziehungsweise GB*, bei dessen Elementen diese Beschränkung auf jeder Geraden auch noch für alle Ableitungen gilt.). Nun bräuchte ich eine Metrik auf dieser Menge, so dass sie zu einem vollständigen metrischen Raum wird. Hat jemand eine Idee, wie ich auf so eine kommen könnte? Vielleicht klappt es, in dem man eine Folge von Halbnormen konstruiert, die dann eine Metrik mit gewünschter Eigenschaft induziert... Nur habe ich bis jetzt keine solche Folge gefunden.... Über Ideen und Vorschläge wäre ich sehr dankbar....
(bis jetzt weiss ich über GB, dass er dicht, aber nicht residual im Raum der ganzen Funktionen versehen mit der lokal glm Topologie liegt und keine inneren Punkte hat, falls das jemandem weiterhilft!)
Auch bin ich mir im Moment noch nicht ganz klar, ob GB=GB* gilt... Auch hier wäre ich über Beweisideen bzw Gegenbsps froh!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:16 So 02.09.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ich schreibe zur Zeit an meiner Diplomarbeit über
> Universelle Funktionen und stehe vor folgendem Problem:
>
> Gegeben hab ich den Raum GB aller ganzen Funktionen, die
> auf jeder Geraden beschränkt sind. (beziehungsweise GB*,
> bei dessen Elementen diese Beschränkung auf jeder Geraden
> auch noch für alle Ableitungen gilt.). Nun bräuchte ich
> eine Metrik auf dieser Menge, so dass sie zu einem
> vollständigen metrischen Raum wird. Hat jemand eine Idee,
> wie ich auf so eine kommen könnte?
Eine spontane Idee waere, die Supremums-Metrik auf der Geraden zu verwenden, also wen $G$ die Gerade ist, dann ist fuer $f, g [mm] \in [/mm] GB$: $d(f, g) := [mm] \sup_{z \in G} [/mm] |f(z) - g(z)|$. Wegen des Identitaetssatzes ist dies eine Metrik. Allerdings bin ich mir grad nicht sicher, ob der so entstehende Raum vollstaendig ist; vielleicht macht die Funktionenfolge ausserhalb der Gerade ja furchtbare Sachen und konvergiert `global' nicht gegen eine ganze Funktion.
> Auch bin ich mir im Moment noch nicht ganz klar, ob GB=GB*
> gilt... Auch hier wäre ich über Beweisideen bzw Gegenbsps
> froh!
Wie waer es hiermit: Betrachte die Funktion $f(z) = [mm] \sin(z^2)$ [/mm] und die Gerade [mm] $\IR$. [/mm] Dann ist $f$ auf [mm] $\IR$ [/mm] beschraenkt, die Ableitung $f'(z) = 2 z [mm] \cos(z^2)$ [/mm] ist jedoch auf [mm] $\IR$ [/mm] nicht beschraenkt.
LG Felix
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Schon mal vielen Dank für deine Antwort, aber das Problem ist, dass die Funktionen aus GB nicht nur auf EINER Geraden, sondern auf ALLEN Geraden beschr"ankt sind. Fällt dir dazu auch was ein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:26 So 02.09.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Schon mal vielen Dank für deine Antwort, aber das Problem
> ist, dass die Funktionen aus GB nicht nur auf EINER
> Geraden, sondern auf ALLEN Geraden beschr"ankt sind. Fällt
> dir dazu auch was ein?
Sorry, da hab ich mich ziemlich verlesen... :) Allerdings hab ich auch hierfuer eine Idee: du kannst ja die Menge aller Geraden nehmen, die mit rationalen Zahlen beschreibbar sind (sprich: Aufhaengepunkt und Richtungsvektor haben rationale Koeffizienten). Diese Menge ist abzaehlbar und liegt `dicht' in der Menge aller Geraden (was auch immer das dicht dann hier bedeuten mag). Fuer jede dieser Geraden hast du die Supremumsmetrik, womit du eine abzaehlbare Familie von Metriken bekommst. Aus dieser bekommst du dann eine Metrik.
Und mich wuerde es nicht ueberraschen, wenn der Raum bzgl. dieser Metrik dann vollstaendig ist.
LG Felix
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