Metrik offen & abgeschlossen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:17 Do 31.03.2011 | | Autor: | Nadia.. |
| Aufgabe | Betrachten Sie die Abbildung
$d: [mm] R^n \times R^n \to [/mm] R $
[mm] $d(x,y)=\begin{cases} 1 & \mbox{falls } x \neq y \\ 0 & \mbox{falls} x =y \end{cases}$
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass bzgl. d alle Teilmengen des [mm] $R^n$ [/mm] sowohl offen als auch abgeschlossen sind.
b) Beweisen sie, dass jede Teilmenge des metrischen Raumes [mm] $(R^n,d)$ [/mm] nur endlich viele Elemente enthält. |
Zu a.
Ich versteh nicht, was mit" bzgl. d" gemeint wird.
kann eine menge bezügliche eine Metrik d offen und bezgl. d' abgeschlossen sein?
Lg
Nadia..
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Hallo Nadia..,
> Betrachten Sie die Abbildung
> [mm]d: R^n \times R^n \to R[/mm]
> [mm]d(x,y)=\begin{cases} 1 & \mbox{falls } x \neq y \\
0 & \mbox{falls} x =y \end{cases}[/mm]
>
> a) Zeigen Sie, dass bzgl. d alle Teilmengen des [mm]R^n[/mm]
> sowohl offen als auch abgeschlossen sind.
> b) Beweisen sie, dass jede Teilmenge des metrischen Raumes
> [mm](R^n,d)[/mm] nur endlich viele Elemente enthält.
>
> Zu a.
>
> Ich versteh nicht, was mit" bzgl. d" gemeint wird.
Na, in Bezug auf die oben definierte Metrik d.
> kann eine menge bezügliche eine Metrik d offen und bezgl.
> d' abgeschlossen sein?
Natürlich, nimm etwa [mm]\IR[/mm] mit der vom "gewöhnlichen" Betrag induzierten Metrik.
Also [mm](\IR,\operatorname d)[/mm] mit [mm]\operatorname{d}:\IR\times\IR\to\IR, \ \operatorname{d}(x,y) \ = \ |x-y|[/mm]
Da sind halboffene Intervalle (etwa [mm](0,1][/mm]) weder offen noch abgeschlossen.
Es gibt sogar Mengen, die beides sind, offen und abgeschlossen.
>
>
>
> Lg
>
> Nadia..
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 01:17 Fr 01.04.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Danke für die Antwort,
Ja in Bezug auf die oben definierte Metrik , soweit verstehe ich das.
Ich kann irgendwie mit Metriken nicht Arbeiten, was muss ich machen?
Ich weiß zwar was abgeschlossen und offen ist, aber kann das auf Metriken nicht anwenden.
Eine Metrik ist doch eine Längenfunktion,Offenheit und Abgeschlossenheit beziehen sich auf Mengen und nicht Funktionen.
Wie lese ich denn die Menge der Metrik?
Wie gehe ich beim Beweis vor?
Viele Grüße
Nadia
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> Ich kann irgendwie mit Metriken nicht Arbeiten, was muss
> ich machen?
Hallo,
das "irgendwie nicht" müßtest Du genauer erklären.
Grundvoraussetzung ist, daß Du weißt, was eine Metrik ist, und zwar nicht so irgendwie wischiwaschi, sondern die Definition.
> Ich weiß zwar was abgeschlossen und offen ist, aber kann
> das auf Metriken nicht anwenden.
"Abgeschlossen und offen" wendet man ja auch nicht auf Metriken an, sondern auf Mengen.
Wie ist denn "offene Menge" definiert?
>
> Eine Metrik ist doch eine Längenfunktion,Offenheit und
> Abgeschlossenheit beziehen sich auf Mengen und nicht
> Funktionen.
Du brauchst die Definitionen.
Vorher läuft gar nichts.
> Wie lese ich denn die Menge der Metrik?
Es gibt keine Menge der Metrik, welche man lesen muß.
> Wie gehe ich beim Beweis vor?
Wenn Du die Definitionen kennst, wirst Du vermutlich eine Idee bekommen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:43 Fr 01.04.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Ich kenne die Definitionen innen und auswendig,
nur ich kann es bei der Aufgabe nicht anwenden.
Ich versuch das noch einmal.
Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum, [mm] $a\in [/mm] X$ ein Punkt und $ r>0$, dann heißt
[mm] $B_r(a) [/mm] ) [mm] \{ x \in X | d(a,x)
Jetzt zum Beweis
Sei $ A [mm] \subset R^n$ [/mm] beliebig
Sei $a [mm] \in [/mm] A$ beliebig, dann gilt $ [mm] B_r(a) [/mm] ) = [mm] \{a\} \subset [/mm] A $ für 0< r<1,weil der Abstand zweier Punkte $x [mm] \neq [/mm] y$ mindestens 1 ist.
Also ist jede Teilmenge Offen.
Abgschloossen ist sie auch.
Sei $ M [mm] \subset R^n$ [/mm] beliebig.
dann ist
$ A [mm] \setminus [/mm] M $ offen [mm] $\Rightarrow [/mm] M $ ist abgeschlossen.
Richtig?, ich habe am Anfang die Aufgabe nicht verstanden, weil ich mir die Metrik nicht vorstellen könnte, ist jetzt meine Vorstellung von der Metrik oben richtig ?
Lg
Nadia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:00 Fr 01.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ich kenne die Definitionen innen und auswendig,
> nur ich kann es bei der Aufgabe nicht anwenden.
>
> Ich versuch das noch einmal.
>
> Sei [mm](X,d)[/mm] ein metrischer Raum, [mm]a\in X[/mm] ein Punkt und [mm]r>0[/mm],
> dann heißt
> [mm]B_r(a) ) \{ x \in X | d(a,x)
>
> Jetzt zum Beweis
> Sei [mm]A \subset R^n[/mm] beliebig
> Sei [mm]a \in A[/mm] beliebig, dann gilt [mm]B_r(a) ) = \{a\} \subset A[/mm]
> für 0< r<1,weil der Abstand zweier Punkte [mm]x \neq y[/mm]
> mindestens 1 ist.
>
> Also ist jede Teilmenge Offen.
O.K.
>
> Abgschloossen ist sie auch.
>
> Sei [mm]M \subset R^n[/mm] beliebig.
> dann ist
> [mm]A \setminus M[/mm] offen [mm]\Rightarrow M[/mm] ist abgeschlossen.
Hier soll es wohl lauten: [mm]X \setminus M[/mm] offen [mm]\Rightarrow M[/mm] ist abgeschlossen.
FRED
>
> Richtig?, ich habe am Anfang die Aufgabe nicht verstanden,
> weil ich mir die Metrik nicht vorstellen könnte, ist jetzt
> meine Vorstellung von der Metrik oben richtig ?
>
> Lg
>
> Nadia
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 Fr 01.04.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Wieso $ X [mm] \setminus [/mm] M $ und nicht $ A [mm] \setminus [/mm] M $.
Lg
Nadia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:51 Fr 01.04.2011 | | Autor: | rrgg |
Es ist das Komplement gemeint.
D.h. wenn (X,d) dein metrischer Raum ist gilt:
Eine Menge A [mm] \subset [/mm] X ist abgeschlossen wenn X \ A (also das Komplement) offen ist.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:15 Sa 02.04.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Ja danke, das weiß ich soweit.
Meine Frage ist,
1.
Wenn ich gezeigt habe dass A bzgl d eine offene Menge ist, kann ich dann die Abgeschlossenheit so zeigen $M [mm] \subset [/mm] A$, da A offen ist,
[mm] $\Rightarrow $M\setminus [/mm] A [mm] \subset R^n [/mm] $ oder [mm] $A\setminus [/mm] M [mm] \subset R^n [/mm] $ ist abgeschlossen, M bzw. A sind Teilmenge des [mm] $R^n$
[/mm]
2.
Oder muss ich unbedingt so anfangen,sei $M [mm] \subset R^n$
[/mm]
und da [mm] $R^n [/mm] $ \ $ M$ offen ist,folgt per Definition, dass M abgeschlossen ist.
3.
Außer dem beschäftigt mich die Frage: wenn ich für ein beliebiges $A [mm] \subset R^n$ [/mm] die Offenheit zeige, dann kann ich doch sagen, dass [mm] $R^n\setminus [/mm] A [mm] \subset [/mm] R$ ist abgeschlossen .
Scheint mir zu kurz und knapp zu sein.
Also mir scheint die Idee (1) falsch zu sein, weil ich die Abgeschlossenheit nur für eine spezielle Menge zeige und nicht für eine beliebige.
Lg
Nadia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:20 Sa 02.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ja danke, das weiß ich soweit.
>
> Meine Frage ist,
> 1.
> Wenn ich gezeigt habe dass A bzgl d eine offene Menge ist,
> kann ich dann die Abgeschlossenheit so zeigen [mm]M \subset A[/mm],
> da A offen ist,
> [mm]$\Rightarrow $M\setminus[/mm] A [mm]\subset R^n[/mm] $ oder [mm]$A\setminus[/mm]
> M [mm]\subset R^n[/mm] $ ist abgeschlossen, M bzw. A sind Teilmenge
> des [mm]$R^n$[/mm]
Mein Gott, ist das ein Chaos !
>
> 2.
> Oder muss ich unbedingt so anfangen,sei [mm]M \subset R^n[/mm]
> und
> da [mm]R^n [/mm] \ [mm]M[/mm] offen ist,folgt per Definition, dass M
> abgeschlossen ist.
[mm] \IR^n [/mm] ???????????????????????
>
> 3.
> Außer dem beschäftigt mich die Frage: wenn ich für ein
> beliebiges [mm]A \subset R^n[/mm] die Offenheit zeige, dann kann ich
> doch sagen, dass [mm]R^n\setminus A \subset R[/mm] ist abgeschlossen
> .
> Scheint mir zu kurz und knapp zu sein.
>
> Also mir scheint die Idee (1) falsch zu sein, weil ich die
> Abgeschlossenheit nur für eine spezielle Menge zeige und
> nicht für eine beliebige.
>
> Lg
>
> Nadia
>
>
Was soll der [mm] \IR^n [/mm] hier ??? Du bist in einem metrischen Raum X mit der diskreten Metrik d.
Gezeigt ist schon: jede Teilmeneg von X ist offen.
Ist A eine Teilmenge von X, so ist nach dem oben Gesagten die Menge X \ A offen. Damit ist A abgeschlossen.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:45 Sa 02.04.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Mit [mm] $R^n$ [/mm] meinte ich $ [mm] (R^n,d) [/mm] $.
Lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:24 Fr 01.04.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Nadia,
> b) Beweisen sie, dass jede Teilmenge des metrischen Raumes
> [mm](R^n,d)[/mm] nur endlich viele Elemente enthält.
kann es sein, dass hier das Wort "kompakt" fehlt?
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:45 Fr 01.04.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Oh, entschuldige,Du hast Recht.
Die Aufgabe lautet.
Beweisen Sie, dass jede kompakte Teilmenge des metrischen Raums $ [mm] R^n,d$ [/mm] nur endlich viele Elemente enthält.
Lg
Nadia
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