Metrik und reihe < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:45 Mi 26.04.2006 | | Autor: | AriR |
| Aufgabe | Sei X die Menge aller komplexen Zahlenfolgen. Zeigen sie, dass durch
[mm] d(a_n,b_n):=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}2^{n+1}*\bruch{|a_n-b_n|}{1+|a_n-b_n|} [/mm] , [mm] (a_n),(b_n)\in [/mm] X
eine Metrik auf X definiert wird. |
(frage zuvor nicht gestellt)
Hey Leute, irgendwie liege ich da falsch oder das ist gar keine metrik denn für eine metrik muss gelten [mm] d(a_n,b_n)=0 \gdw (a_n,b_n)=0
[/mm]
aber für [mm] a_n,b_n\not= [/mm] ist die reihe doch immer 0 oder nicht und das ist doch ein wiederspruch oder nicht?
gruß ari
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:20 Mi 26.04.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Ari,
> Sei X die Menge aller komplexen Zahlenfolgen. Zeigen sie,
> dass durch
> [mm]d(a_n,b_n):=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}2^{n+1}*\bruch{|a_n-b_n|}{1+|a_n-b_n|}[/mm]
> , [mm](a_n),(b_n)\in[/mm] X
> eine Metrik auf X definiert wird.
> (frage zuvor nicht gestellt)
>
> Hey Leute, irgendwie liege ich da falsch oder das ist gar
> keine metrik denn für eine metrik muss gelten [mm]d(a_n,b_n)=0 \gdw (a_n,b_n)=0[/mm]
>
> aber für [mm]a_n,b_n\not=[/mm]
Meinst du [mm] $a_n \not= b_n [/mm] $ ?
> ist die reihe doch immer 0 oder nicht
> und das ist doch ein wiederspruch oder nicht?
Dein Problem verstehe ich nicht so ganz. Wieso meinst du, dass die Reihe 0 ist?
Du kannst doch zeigen:
[mm] d(a_n,b_n) = 0 \gdw a_n = b_n [/mm]
$ [mm] d(a_n,b_n) [/mm] = 0 $
$ [mm] \gdw \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}2^{n+1}*\bruch{|a_n-b_n|}{1+|a_n-b_n|}=0 [/mm] $
$ [mm] \gdw \bruch{|a_n-b_n|}{1+|a_n-b_n|}=0$ [/mm] für alle $ [mm] a_n,b_n [/mm] $, da die Summanden alle nichtnegativ.
$ [mm] \gdw a_n [/mm] - [mm] b_n [/mm] = 0 $ Der Nenner kann ja nicht 0 werden.
Gruß
Sigrid
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:08 Mi 26.04.2006 | | Autor: | AriR |
ich hab irgendwas durcheinander gehauen sorry und danke für die antwort :)
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Hallo!
> ich meinte das eher so. damit d eine metrik defniert muss
> ja unter anderem gelten: [mm]d(a_n,b_n)=0 \gdw (a_n,b_n)=0[/mm]
Das stimmt leider nicht ganz. Was genau soll denn [mm] $(a_n,b_n)$ [/mm] sein?
Schau nochmal in deinem Skript nach. Es soll gelten [mm] $d(a,b)=0\gdw [/mm] a=b$. Und dann haut's ja auch hin...
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:41 Mi 26.04.2006 | | Autor: | AriR |
könntet ihr mit bitte nocheinmal helfen und zwar bin ich gerade bei dem 3.axiom mit der ungleichung: da muss man ja zeigen [mm] d(a_n,b_n)\le d(a_n,c_n)+d(c_n,b_n)
[/mm]
habe [mm] d(a_n,c_n)+d(c_n,b_n) [/mm] soweit ausgerechnet, dass ich dafür auf folgendes gekommen bin:
[mm] d(a_n,c_n)+d(c_n,b_n)=\summe_{i=0}^n\bruch{1}{2^{n+1}}*(\bruch{|a_n-c_n|}{1+|a_n-c_n|}+\bruch{|c_n-b_n|}{1+|c_n-b_n|})
[/mm]
da [mm] d(a_n,b_n)=\summe_{i=0}^n\bruch{1}{2^{n+1}}*\bruch{|a_n-b_n|}{1+|a_n-b_n|}
[/mm]
also muss ich doch "nur" noch zeigen:
[mm] \bruch{|a_n-b_n|}{1+|a_n-b_n|}\le \bruch{|a_n-c_n|}{1+|a_n-c_n|}+\bruch{|c_n-b_n|}{1+|c_n-b_n|}
[/mm]
das folgender zusammenhang gilt habe ich glaube ich geschafft zu zeigen:
[mm] \bruch{|a_n*b_n|}{1+|a_n*b_n|}\le\bruch{|a_n-c_n|}{1+|a_n-c_n|}+\bruch{|c_n-b_n|}{1+|c_n-b_n|}
[/mm]
könnte ich jetzt noch zeigen, dass
[mm] \bruch{|a_n-b_n|}{1+|a_n-b_n|}\le\bruch{|a_n*b_n|}{1+|a_n*b_n|} [/mm] dann wäre ich fertig oder?
hat jemand eine idee wie ich das machen kann? ich glaube das geht gar nicht :(
Gruß Ari
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:23 Mi 26.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Ari
> könntet ihr mit bitte nocheinmal helfen und zwar bin ich
> gerade bei dem 3.axiom mit der ungleichung: da muss man ja
> zeigen [mm]d(a_n,b_n)\le d(a_n,c_n)+d(c_n,b_n)[/mm]
>
> habe [mm]d(a_n,c_n)+d(c_n,b_n)[/mm] soweit ausgerechnet, dass ich
> dafür auf folgendes gekommen bin:
>
> [mm]d(a_n,c_n)+d(c_n,b_n)=\summe_{i=0}^n\bruch{1}{2^{n+1}}*(\bruch{|a_n-c_n|}{1+|a_n-c_n|}+\bruch{|c_n-b_n|}{1+|c_n-b_n|})[/mm]
>
>
> da
> [mm]d(a_n,b_n)=\summe_{i=0}^n\bruch{1}{2^{n+1}}*\bruch{|a_n-b_n|}{1+|a_n-b_n|}[/mm]
>
> also muss ich doch "nur" noch zeigen:
>
> [mm]\bruch{|a_n-b_n|}{1+|a_n-b_n|}\le \bruch{|a_n-c_n|}{1+|a_n-c_n|}+\bruch{|c_n-b_n|}{1+|c_n-b_n|}[/mm]
>
>
> das folgender zusammenhang gilt habe ich glaube ich
> geschafft zu zeigen:
> [mm]\bruch{|a_n*b_n|}{1+|a_n*b_n|}\le\bruch{|a_n-c_n|}{1+|a_n-c_n|}+\bruch{|c_n-b_n|}{1+|c_n-b_n|}[/mm]
das ist einfach falsch! nimm an=2,bn=3 cn=1 dannsiehst dus z, Bsp. !
Du musst die Dreiecksungleichung benutzen! Wenn im Nenner 1 stünde, wärst du schon fertig, also musst du nur noch die Nenner abschätzen
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:55 Mi 26.04.2006 | | Autor: | AriR |
welche brüche meinst du denn genau und welchen nenner?
gruß ari
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:24 Mi 26.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Ari,
> welche brüche meinst du denn genau und welchen nenner?
er meint folgende Brueche: [mm] $\bruch{|a_n-b_n|}{1+|a_n-b_n|}\le \bruch{|a_n-c_n|}{1+|a_n-c_n|}+\bruch{|c_n-b_n|}{1+|c_n-b_n|}$
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:59 Mi 26.04.2006 | | Autor: | AriR |
das der zähler links kleiner ist der die zähler rechts ist mir klar nur wie kann ich das genau mit der dreiecksungleihc machen? ich müsste doch rechts alles auf den hauptnenner bringen und dann wird das ein tot gerechne was ich schon hinter mir habe und zu dem ergebnis führt, was ich in der 1. frage vorgestellt habe :(
habt ihr vielleicht noch einen tip??
gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:18 So 30.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Ari!
> das der zähler links kleiner ist der die zähler rechts ist
> mir klar nur wie kann ich das genau mit der
> dreiecksungleihc machen? ich müsste doch rechts alles auf
> den hauptnenner bringen und dann wird das ein tot gerechne
> was ich schon hinter mir habe und zu dem ergebnis führt,
> was ich in der 1. frage vorgestellt habe :(
Um das tot-rechnen zu vermeiden, definiere doch $x := [mm] |a_n [/mm] - [mm] b_n|$, [/mm] $y := [mm] |a_n [/mm] - [mm] c_n|$ [/mm] und $z := [mm] |c_n [/mm] - [mm] b_n|$. [/mm] Dann hast du $x, y, z [mm] \ge [/mm] 0$ mit $x [mm] \le [/mm] y + z$, und du willst zeigen dass [mm] $\frac{x}{1 + x} \le \frac{y}{1 + y} [/mm] + [mm] \frac{z}{1 + z}$ [/mm] ist, oder anders, dass [mm] $\frac{y}{1 + y} [/mm] + [mm] \frac{z}{1 + z} [/mm] - [mm] \frac{x}{1 + x} \ge [/mm] 0$ ist.
Multiplizier die Ungleichung mit dem Hauptnenner, fasse alles zusammen soweit es geht. Dann hast du sowas wie $y + z - x + ... [mm] \ge [/mm] 0$ da stehen, wobei das $... [mm] \ge [/mm] 0$ ist. Nun weisst du schon per Voraussetzung, dass $y + z - x [mm] \ge [/mm] 0$ ist, womit du dann fertig bist.
LG Felix
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