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| Aufgabe | | Betrachte den metrischen Raum [mm] (\IR, [/mm] d) mit d der Euklid'schen Metrik. Zeige, dass es auf jeder offenen Teilmenge M von [mm] \IR [/mm] möglich ist, eine Metrik zu definieren, dass [mm] (M,d_m) [/mm] ein vollständiger metrischer Raum ist. |
Ich habe also eine Metrik zu finden auf den offenen Bällen in [mm] \IR [/mm] ( [mm] B(x,\delta) [/mm] mit [mm] \delta [/mm] > 0 und x [mm] \in \IR [/mm] ), dass jede Cauchy-Folge in diesen beliebigen Bällen konvergiert, denn laut Vorlesung sind diese Bälle eine Basis des Raumes [mm] (\IR,d).
[/mm]
Um in die Aufgabe reinzufinden:
Ich habe zuerst ein offenes Intervall angeschaut beispielsweise M:=(0,1) . Ich sollte erstmal eine Metrik finden, mit welcher mit der Folge [mm] x_n:=\bruch{1}{n} [/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} d_m(x_n,x)=0 [/mm] für ein x [mm] \in [/mm] M gilt.
[mm] d_m (x_n,y)=\limes_{n\rightarrow\infty} |x_n-y| [/mm]
Hat mir da bitte jmd. einen Tipp?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:44 Sa 06.10.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Betrachte den metrischen Raum [mm](\IR,[/mm] d) mit d der
> Euklid'schen Metrik. Zeige, dass es auf jeder offenen
> Teilmenge M von [mm]\IR[/mm] möglich ist, eine Metrik zu
> definieren, dass [mm](M,d_m)[/mm] ein vollständiger metrischer Raum
> ist.
> Ich habe also eine Metrik zu finden auf den offenen
> Bällen in [mm]\IR[/mm] ( [mm]B(x,\delta)[/mm] mit [mm]\delta > 0[/mm] und [mm]x \in \IR[/mm]
> ), dass jede Cauchy-Folge in diesen beliebigen Bällen
> konvergiert, denn laut Vorlesung sind diese Bälle eine
> Basis des Raumes [mm](\IR,d).[/mm]
>
> Um in die Aufgabe reinzufinden:
>
> Ich habe zuerst ein offenes Intervall angeschaut
> beispielsweise M:=(0,1) . Ich sollte erstmal eine Metrik
> finden, mit welcher mit der Folge [mm]x_n:=\bruch{1}{n}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} d_m(x_n,x)=0[/mm] für ein x [mm]\in[/mm] M
> gilt.
Damit setzt du voraus, dass diese Folge eine Cauchyfolge in [mm](M,d_m)[/mm] ist. Das ist nur eine Möglichkeit.
Eine andere Möglichkeit wäre, eine ganz andere Topologie auf M zu wählen, z.B. die diskrete Topologie.
> [mm]d_m (x_n,y)=\limes_{n\rightarrow\infty} |x_n-y|[/mm]
Diese Zeile verstehe ich überhaupt nicht.
Viele Grüße
Rainer
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Okay danke, dann ist das mal klar.
Die zweite Aufgabe aber lautet:
Zeige, dass [mm] (M,d_m) [/mm] und (M,d) die gleiche Topologie erzeugen.
Dass [mm] d_m [/mm] feiner in d ist, scheint wohl nicht schwierig zu zeigen.
Wie aber zeige ich, dass d feiner in [mm] d_m [/mm] ist?
[mm] d(x,y)<\delta [/mm] => [mm] |x-y|<\delta [/mm] aber [mm] d_m(x,y)<1 [/mm] nur wenn x=y ??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:18 Sa 06.10.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Okay danke, dann ist das mal klar.
>
> Die zweite Aufgabe aber lautet:
>
> Zeige, dass [mm](M,d_m)[/mm] und (M,d) die gleiche Topologie
> erzeugen.
Nur als Bemerkung: du kannst auch direkt zeigen, dass jede offene Menge in [mm] $(M,d_m)$ [/mm] auch eine offene Menge in $(M,d)$ ist und umgekehrt.
Viele Grüße
Rainer
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Hmm, aber wie mache ich das denn? Eine offene Menge in [mm] (M,d_m), [/mm] die durch ein [mm] \epsilon [/mm] < .5 beschränkt ist, ... ist in (M,d) doch einfach ein Punkt?
Und in (M,d) ist jeder offene Ball einfach in der ganzen offenen Menge M mit [mm] d_m [/mm] enthalten? Dann ist M der kleinste offene Ball in [mm] (M,d_m) [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:19 Sa 06.10.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hmm, aber wie mache ich das denn? Eine offene Menge in
> [mm](M,d_m),[/mm] die durch ein [mm]\epsilon[/mm] < .5 beschränkt ist, ...
> ist in (M,d) doch einfach ein Punkt?
Ja.
>
> Und in (M,d) ist jeder offene Ball einfach in der ganzen
> offenen Menge M mit [mm]d_m[/mm] enthalten? Dann ist M der kleinste
> offene Ball in [mm](M,d_m)[/mm] ?
Nein, der kleinste offene Ball, der mehr als einen Punkt enthält.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:17 Sa 06.10.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Okay danke, dann ist das mal klar.
>
> Die zweite Aufgabe aber lautet:
>
> Zeige, dass [mm](M,d_m)[/mm] und (M,d) die gleiche Topologie
> erzeugen.
>
> Dass [mm]d_m[/mm] feiner in d ist, scheint wohl nicht schwierig zu
> zeigen.
>
> Wie aber zeige ich, dass d feiner in [mm]d_m[/mm] ist?
>
> [mm]d(x,y)<\delta[/mm] => [mm]|x-y|<\delta[/mm] aber [mm]d_m(x,y)<1[/mm] nur wenn x=y
> ??
Mir fällt eben erst auf, dass das so nicht geht: die diskrete Topologie ist definitiv eine andere, denn da ist jede Teilmenge von M offen, was in $(M,d)$ definitiv nicht der Fall ist.
Also ist in der Aufgabe eine andere als die diskrete Metrik gesucht, obwohl das aus der Aufgabenstellung nicht hervorgeht.
![[]](/images/popup.gif) Hier findest du ein Beispiel einer Metrik, die die gleiche Topologie auf $(0,1)$ erzeugt wie d. (Wie man darauf allerdings os einfach kommen soll.....)
Viele Grüße
Rainer
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Du meinst mit d(x,y)= [mm] |x-y|+\bruch{1}{x}+\bruch{1}{y}+\bruch{1}{1-x}+\bruch{1}{1-y}
[/mm]
Wie würdest du dann [mm] d(\bruch{1}{n},0) [/mm] berechnen??? Da teilt man doch durch 0 ??
Und gilt die Metrik für alle offenen Mengen aus [mm] \IR [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:45 Sa 06.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Du meinst mit d(x,y)=
> [mm]|x-y|+\bruch{1}{x}+\bruch{1}{y}+\bruch{1}{1-x}+\bruch{1}{1-y}[/mm]
>
> Wie würdest du dann [mm]d(\bruch{1}{n},0)[/mm] berechnen??? Da
> teilt man doch durch 0 ??
ich würde [mm] $d(1/n,\;0)$ [/mm] gar nicht berechnen:
> vollständige Metriken auf (0,1), die dieselbe Topologie wie die
> Betragsmetrik erzeugen, zum Beispiel
> $d(x,y):= |x-y| + [mm] \frac1x [/mm] + [mm] \frac1y [/mm] + [mm] \frac1{1-x}+ \frac1{1-y}$ [/mm] für
[mm] $x\not=y.$
[/mm]
immerhin ist $0 [mm] \red{\;\notin\;}(0,1)\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Ok, ich kann zeigen, dass es ein metrischer Raum ist. Aber ist es das für ALLE offenen Mengen? Ich glaube nicht...
Ich muss ja eine finden für ALLE offenen Mengen in [mm] \IR [/mm] ? Wie geht das?
Funktioniert das dann mit
$ [mm] |x-y|+\bruch{1}{a+x}+\bruch{1}{a+y}+\bruch{1}{b-x}+\bruch{1}{b-y} [/mm] $
auf dem Intervall (a,b)? Ist das schon der korrekte allg. Fall?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:06 Sa 06.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ok, ich kann zeigen, dass es ein metrischer Raum ist.
es wäre schön, wenn Du nicht von "es" sprichst: Das
hier ist "Es" für mich. Du kannst genau benennen, von was Du
zeigen kannst (oder glaubst, zeigen zu können), dass es ein metrischer
Raum ist.
> Aber
> ist es das für ALLE offenen Mengen? Ich glaube nicht...
Wie gesagt: Dann schreibe mal auf, von was Du wissen willst, ob es
für jede offene Menge einen metrischen Raum definiert:
Ist $O [mm] \subseteq \IR$ [/mm] bzgl. der euklidischen Metrik, dann definiere
[mm] $$d=d_O: [/mm] O [mm] \to \IR$$
[/mm]
durch was? (Vielleicht hilft Dir die Erkenntnis/das Wissen, dass man jede
offene Menge in [mm] $\IR$ [/mm] als beliebige Vereinigung (durchschnittsfremder)
offener Intervalle darstellen kann. Wenn das hilft, müsste man sich
vielleicht überlegen, ob man Fallunterscheidungen treffen muss: [mm] $O\,$ [/mm] ist
beschränkt - [mm] $O\,$ [/mm] ist nach unten unbeschränkt - [mm] $O\,$ [/mm] ist nach oben
unbeschränkt - .... Aber: Ich habe mir eigentlich noch keine Gedanken über
die Aufgabe gemacht. Daher sind das keine Tipps zur Lösung, sondern
maximal Denkanstöße, die Dir beim Lösen der Aufgabe VIELLEICHT helfen
KÖNNTEN!)
> Ich muss ja eine finden für ALLE offenen Mengen in [mm]\IR[/mm] ?
> Wie geht das?
Meist hilft suchen. Ist nicht böse gemeint, aber wenn man Dir die
Musterlösung einfach hinschreiben würde, wäre doch auch für Dich
der Reiz, sich weiter mit der Aufgabe zu beschäftigen, irgendwo
eingedämmt. Außerdem musst du nicht eine Metrik für alle offenen
Mengen finden, sondern Du musst für alle offenen Mengen eine
Metrik finden. Das ist etwas anderes: Bei der ersten Formulierung
würdest Du eine universelle Metrik definieren, die für alle offenen
Mengen eine gewisse Eigenschaft hat, und diese Metrik dürftest
Du nicht mehr mit der offenen Menge ändern. Die zweite Formulierung
läßt dies aber zu: Deswegen steht da auch [mm] $d_M$ [/mm] (ich nehme an,
dass Dein [mm] $d_m$ [/mm] eigentlich [mm] $d_M$ [/mm] meint - sonst ist das irgendwie
sinnlos, da ein [mm] $m\,$ [/mm] mitzuschleppen).
> Funktioniert das dann mit
>
> [mm]|x-y|+\bruch{1}{a+x}+\bruch{1}{a+y}+\bruch{1}{b-x}+\bruch{1}{b-y}[/mm]
>
> auf dem Intervall (a,b)? Ist das schon der korrekte allg.
> Fall?
Ne. Ich kann Dir, auch ehrlich gesagt, die Lösung der Aufgabe nicht sagen,
weil ich sie zum einen nicht kenne, und zum anderen mir sie auch noch
nicht selbst zurechtgebastelt habe. Ich fänd's auch gar nicht so blöd',
einfach mal in ein Funktionalanalysis-Buch zu gucken und zu schauen,
was es da alles gibt. Oder vielleicht sogar noch besser in ein
Topologie-Buch. Ich glaube nämlich, mich vage zu erinnern, dass es
sowas gibt (eigentlich bin ich mir sogar ziemlich sicher):
Sind [mm] $(X,d_n)$ [/mm] und [mm] $(X,d_N)$ [/mm] zwei metrische Räume auf [mm] $X\,,$ [/mm] wobei
[mm] $d_n$ [/mm] bzw. [mm] $d_N$ [/mm] von einer Norm [mm] $n\,$ [/mm] bzw. [mm] $N\,$ [/mm] auf [mm] $X\,$ [/mm] induziert
sind, so gilt:
Ist [mm] $(X,d_n)$ [/mm] vollständig und sind die Normen [mm] $n,N\,$ [/mm] äquivalent, so ist
auch [mm] $(X,d_N)$ [/mm] vollständig. (Wenn Du's nicht weißt, dann schlage nach,
was die Aussage, dass Normen äquivalent sind, bedeutet. Etwa mit dem
Stichwort "äquivalente Normen"!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:27 Mo 08.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> > Ok, ich kann zeigen, dass es ein metrischer Raum ist.
>
> es wäre schön, wenn Du nicht von "es" sprichst: Das
> hier ist "Es"
> für mich.
>
..... und für mich das:
http://plz-de.com/kfz-laenderkennzeichen/el-salvador/
Gruß FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Mo 08.10.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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