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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:01 So 02.12.2012 | | Autor: | arraneo |
Hi ,
Die Aufgabe lautet: Sei [mm] d:R_{\ge0} \times R_{\ge0}\to [/mm] R , [mm] (x,y)\mapsto\bruch{|x-y|}{|1+x||1+y|} [/mm]
z.z.: i) d ist eine Metrik.
ii) Betrachten Sie die Folgen [mm] (1/n)_{n\in N} [/mm] und [mm] (n)_{n\in N}. [/mm] Sind sie Cauchy-Folgen? Sind sie konvergent? Wenn, dann bestimmen Sie den Grenzwert.
Idee:
i) d(x,y)=0 [mm] \gdw [/mm] x=y , [mm] \bruch{|x-y|}{|1+x||1+y|} [/mm] = 0/1=0 für x=y.
[mm] d(x,y)\ge [/mm] 0 . Wegen des Betrags stimmt das.
d(x,y)=d(y,x) auch wegen des Betrags.
[mm] d(x,z)\le [/mm] d(x,y)+d(y,z) :
[mm] |x-z|\le [/mm] |x-y|+|y-z|
[mm] \gdw \bruch{|x-z|}{|1+x||1+z|}\le \bruch{|x-y|}{|1+x||1+z|}+\bruch{|y-z|}{|1+x||1+z|}
[/mm]
..ich komme aber nicht weiter. Ich glaube aber, dass den Weg schon falsch sein kann. Ich würde mich über ein paar Ideen freuen.
und bei ii) sollen die Folgen bezüglich dieser Metrik überprüft, ob sie Cauchy-Folgen sind, oder nicht, nicht wahr?
lg.
arraneo .
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:46 So 02.12.2012 | | Autor: | silfide |
Hallo arraneo,
Bei der Dreiecksungleichung kannst du auch zeigen, dass
d(x,z)+d(z,y) [mm] \ge [/mm] d(x,y)
indem du:
[mm] d(x,z)+d(z,y)=\bruch{|x-z|}{|1+x|*|1+z|}+\bruch{|z-y|}{|1+z|*|1+y|} \ge [/mm] | [mm] \bruch{(x-z)}{(1+x)*(1+z)}+\bruch{(z-y)}{(1+z)*(1+y)} [/mm] | = ... umformen und kürzen...=d(x,y)
zu ii)
bei 1/n kannst du auch zeigen, dass sie konvergent ist und dann daraus schließen, dass sie eine Cauchy-Folge ist. (folgt bei uns nach Skript). -- Angabe allerdings ohne Gewähr... hatte es erst gestern auch über die Metrik versucht und dann im Skript gesehen, dass es dort auch nicht direkt über die Metrik versucht wird ....
Silfide
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:18 So 02.12.2012 | | Autor: | arraneo |
Hey Silfide!
Vielen Dank für die Antwort, hier ist meine Umrechnung:
[mm] \bruch{|x-z|}{|1+x||1+z|}+\bruch{|z-y|}{|1+z||1+y|}\ge|\bruch{(x-z)}{(1+x)(1+z)}+\bruch{(z-y)}{(1+z)(1+y)}|=
[/mm]
[mm] =|\bruch{(x-z)(1+y)+(z-y)(1+x)}{(1+x)(1+y)(1+z)}|=|\bruch{x+xy-z-zy+z+zx-y-xy}{(1+x)(1+y)(1+z)}|=
[/mm]
[mm] =|\bruch{x-zy+zx-y}{(1+x)(1+y)(1+z)}|=|\bruch{x(1+z)-zy-y}{(1+x)(1+y)(1+z)}|=
[/mm]
[mm] =|\bruch{x(1+z)+y(1+z)}{(1+x)(1+y)(1+z)}|=|\bruch{(x-y)(1+z)}{(1+x)(1+y)(1+z)}|=
[/mm]
[mm] =|\bruch{x-y}{(1+x)(1+y)}|=^{?}\bruch{|x-y|}{|1+x||1+y|}=d(x,y)
[/mm]
?: gilt das? ^^
lg.
arraneo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:28 So 02.12.2012 | | Autor: | silfide |
Hey arraneo
zu ?:
Ja, hoffe ich doch. Folgt meines Wissens nach aus den Rechenregeln für Beträge (|ab|=|a||b|).
Allerding:
> [mm][mm] =|\bruch{x(1+z) [red] -[/red] y(1+z)}{(1+x)(1+y)(1+z)}|
[/mm]
>
>
> [mm]=|\bruch{x-y}{(1+x)(1+y)}|=^{?}\bruch{|x-y|}{|1+x||1+y|}=d(x,y)[/mm]
>
Silfide
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Hiho,
silfide hat ja schon einiges dazu geschrieben.
Hier noch ein paar Anmerkungen:
> Idee:
> i) d(x,y)=0 [mm]\gdw[/mm] x=y , [mm]\bruch{|x-y|}{|1+x||1+y|}[/mm] = 0/1=0 für x=y.
Hier fehlt mir noch ein bisschen die Ausführung von [mm] $\Rightarrow$.
[/mm]
Warum folgt aus $d(x,y)=0$ nun $x=y$ ?
Bisher steht da nur $x=y [mm] \Rightarrow [/mm] d(x,y)=0$
> d(x,y)=d(y,x) auch wegen des Betrags
nicht ausschließlich. Du benötigst formal noch die Kommutativität der Multiplikation. Mach dir klar, warum!
> und bei ii) sollen die Folgen bezüglich dieser Metrik überprüft, ob sie Cauchy-Folgen sind, oder nicht, nicht wahr?
Ja. Als Tipp für die zweite: Nimm oBdA [mm] $m\ge [/mm] n$ an und betrachte dann [mm] $m\to\infty$
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:00 So 02.12.2012 | | Autor: | arraneo |
Hey Gono,
Ja Silfide hat es ganz klar ausgedruckt und jetzt bin ich auch mit der Umrechnung klar gekommen.
zu: d(x,y)=0 [mm] \gdw [/mm] x=y, dachte ich mir, dass es offensichtlich wäre.
wenn nicht, dann:
[mm] ''\Rightarrow'': d(x,y)=\bruch{|x-y|}{|1+x||1+y|}=0
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] |x-y|=0 , da |1+x| * |1+y| [mm] \not=0 [/mm] , [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] R
[mm] \gdw [/mm] x=y . (Per Definition des Betrags)
[mm] ''\Leftarrow'': [/mm] x=y [mm] \gdw [/mm] |x-y|=0 und da, |1+x| * |1+y| [mm] \not=0 [/mm] , [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] R gilt:
[mm] \bruch{|x-y|}{|1+x||1+y|}=0=d(x,y) [/mm] .
nun ist das ausführlich bewiesen, oder?
Bei ii) bin ich aber immer noch etwa verwirrt, da ich sowieso diese Norm benutzen muss, auch wenn ich nur die Konvergenz zeigen will.
Es soll also gelten: [mm] d(a_n,a)<\varepsilon [/mm] , [mm] \forall \varepsilon>0 [/mm] , für eine Folge [mm] a_n [/mm] und deren Grenzwert a.
An der Stelle sieht das dann so aus: [mm] d(\bruch{1}{n},0)<\varepsilon
[/mm]
Sei also [mm] \varepsilon>0 [/mm] .
[mm] d(\bruch{1}{n},0)=\bruch{|\bruch{1}{n}-0|}{|1+\bruch{1}{n}||1+0|}=\bruch{|\bruch{1}{n}|}{|1+\bruch{1}{n}|}=|\bruch{1}{n}*\bruch{n}{n+1}|=|\bruch{1}{n+1}|<\varepsilon [/mm] (Nach dem archimedichen Axiom)
[mm] \Rightarrow \exists n_0\in [/mm] N wofür es gilt: [mm] d(\bruch{1}{n},0)<\varepsilon [/mm] , [mm] \forall n\ge n_0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] die Folge konvergiert und daher sollte sie auch eine Cauchy-Folge sein.
Jetzt fällt mir aber die Frage ein: Bildet R mit allen Metriken ein vollständiger Raum, oder soll das auch bewiesen werden?
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Hiho,
> nun ist das ausführlich bewiesen, oder?
Ja, so ist besser 
> [mm]\Rightarrow[/mm] die Folge konvergiert und daher sollte sie auch eine Cauchy-Folge sein.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Sollte nicht nur, sondern IST.
> Jetzt fällt mir aber die Frage ein: Bildet R mit allen Metriken ein vollständiger Raum, oder soll das auch bewiesen werden?
Das kannst du nicht als gegeben voraussetzen, d.h. du weißt nicht, ob dein Raum vollständig ist.
Brauchst du aber für die Lösung der Aufgabe gar nicht.
MFG,
Gono.
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