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| Aufgabe | a.) Sei (X,d) ein metrischer Raum mit [mm] a\in [/mm] X ein isolierter Punkt von X, d.h. es gibt eine [mm] \delta-Umgebung [/mm] U von a, die als einziges Element a enthält.Dann ist jede Funktion [mm] f:X\to\IR [/mm] in a stetig.Dies ist zu beweisen.
b.) Sei [mm] X:=\IN, d(m,n):=|\bruch{1}{m}-\bruch{1}{n}| (m,n\in\IN). [/mm] Geben sie die Menge aller stetigen Funktionen [mm] f:\IN\to\IR [/mm] an.
c.) Wir erweitern den metrischen Raum aus b) durch [mm] X:=\IN \cup{w} [/mm] und [mm] d(w,w)=0,d(m,w)=d(w,m):=\bruch{1}{m} (m\in\IN). [/mm] Warum erfüllt die erweiterte Metrik die Dreiecksungleichung?
d.) Wie sehen die stetigen reellwertigen Funktionen auf dem erweiterten metrischen Raum aus c) aus? |
Hallo zusammen,
ich hab ein bißchen Schwierigkeiten mit diesen Aufgaben. Kann mir irgendjemand helfen oder einfach ein paar Tipps geben wie ich am besten an diese Aufgaben rangehe??????
Danke im Voraus!
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Hallo Cosmos,
> a.) Sei (X,d) ein metrischer Raum mit [mm]a\in[/mm] X ein isolierter
> Punkt von X, d.h. es gibt eine [mm]\delta-Umgebung[/mm] U von a, die
> als einziges Element a enthält.Dann ist jede Funktion
> [mm]f:X\to\IR[/mm] in a stetig.Dies ist zu beweisen.
Such mal ein wenig im forum, die gleiche frage habe ich heute oder gestern schon einmal diskutiert. (ich glaube mit max)
>
> b.) Sei [mm]X:=\IN, d(m,n):=|\bruch{1}{m}-\bruch{1}{n}| (m,n\in\IN).[/mm]
> Geben sie die Menge aller stetigen Funktionen [mm]f:\IN\to\IR[/mm]
> an.
>
Nimm dir doch mal ein paar beispiele und schau dir an, wie die distanzen bzw. die umgebungen ausehen. halte zB. m=10 fest und berechne d(10,i) für 1<=i<=20. tip: danach kannst du aufgabe a) anwenden....
Gruß
Matthias
> c.) Wir erweitern den metrischen Raum aus b) durch [mm]X:=\IN \cup{w}[/mm]
> und [mm]d(w,w)=0,d(m,w)=d(w,m):=\bruch{1}{m} (m\in\IN).[/mm] Warum
> erfüllt die erweiterte Metrik die Dreiecksungleichung?
>
> d.) Wie sehen die stetigen reellwertigen Funktionen auf dem
> erweiterten metrischen Raum aus c) aus?
> Hallo zusammen,
>
> ich hab ein bißchen Schwierigkeiten mit diesen Aufgaben.
> Kann mir irgendjemand helfen oder einfach ein paar Tipps
> geben wie ich am besten an diese Aufgaben rangehe??????
>
> Danke im Voraus!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mi 13.12.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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