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| Aufgabe | (a) Sei X eine Menge, und [mm] d_{1} [/mm] : [mm] X\timesX\to\IR [/mm] durch [mm] d_{1}(x,y) =\begin{cases} 1, & \mbox{für } x\not=y \\ 0, & \mbox{für } x=y \end{cases} [/mm] definiert.
Man zeige, dass [mm] d_{1} [/mm] eine Metrik ist und bestimme die durch [mm] d_{1} [/mm] induzierten offenen Mengen.
(b) Sei (X,d) ein metrischer Raum, [mm] d_{2}:X\timesX\to\IR [/mm] durch [mm] d_{2} [/mm] =min{d(x,y),1} definiert. Man beweise oder widerlege: [mm] d_{2} [/mm] ist eine Mertik auf X.
(c) Man beweise oder widerlege: [mm] d_{3}:\IR\times\IR\to\IR, d_{3}(x,y) [/mm] = [mm] (x-y)^{2} [/mm] ist eine Metrik auf [mm] \IR
[/mm]
(d) Man beweise oder widerlege: [mm] d_{4}:\IR\times\IR\to\IR, d_{4}(x,y) [/mm] = [mm] \wurzel{|x-y|} [/mm] ist eine Metrik auf [mm] \IR [/mm] |
Hallo Zusammmen, ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich weiß das für eine Metrik folgendes gelten muss:
i) d(x,y) = d(y,x)
ii) d(x,y) = 0 genau dann, wenn x=y
iii) d(x,y) [mm] \le [/mm] d(x,z) + d(z,y) //Dreiecksungleichung
So ich habe einen Ansatz:
zu (a)
i)
[mm] d_{1}(x,y) [/mm] = [mm] d_{1}(x,y)
[/mm]
das ist ja das gleiche, denn wenn x [mm] \not= [/mm] y wird eine 1 gesetzt, somit ist
[mm] d_{1}(x,y) [/mm] = 1 und
[mm] d_{1}(y,x) [/mm] = 1.
damit ist i) wahr.
ii)
wenn x=y dann ist [mm] d_{1} [/mm] so definiert, das es 0 ergibt somit auch wahr
iii)
[mm] d_{1}(x,z) [/mm] = 1 für alle [mm] x\not=z
[/mm]
[mm] d_{1}(z,y) [/mm] = 1 für alle [mm] z\not=y
[/mm]
[mm] d_{1}(x,y) [/mm] = 1 für alle [mm] x\not=y
[/mm]
somit ist [mm] 1\le1+1, [/mm] also auch wahr. damit habe ich nachgewiesen, das es sich um einen metrischen Raum handelt oder?
Jetzt kommt mein problem bei (a) wie soll ich die durch [mm] d_{1} [/mm] induzierte offene Menge bestimmen oder besser noch was ist die induzierte offene Menge.
(b)
[mm] d_{2}(x,y) [/mm] = min{d(x,y),1}
i)
zu zeigen: [mm] d_{2}(x,y) [/mm] = [mm] d_{2}(y,x)
[/mm]
[mm] d_{2}(x,y) [/mm] = min{d(x,y),1}
[mm] d_{2}(y,x) [/mm] = min{d(y,x),1}
[mm] \Rightarrow [/mm] min{d(x,y),1} = min{d(y,x),1}
somit ist i wahr.
ii)
zz.: [mm] d_{2}(x,y) [/mm] = 0
da [mm] d_{2}(x,y) [/mm] = min{d(x,y),1} ist und d(x,y) = 0 ist wenn x=y ist auch [mm] d_{2}(x,y) [/mm] = 0 bei x=y.
iii)
[mm] d_{2}(x,z) [/mm] = min{d(x,z),1}
[mm] d_{2}(z,y) [/mm] = min{d(z,y),1}
[mm] d_{2}(x,y) [/mm] = min{d(x,y),1}
[mm] \Rightarrow d(x,y)\led(x,z)+d(z,y) [/mm] oder [mm] 1\le1+1
[/mm]
somit wahr.
aus allem folg metrischer Raum auf X. Bin mir da aber nicht sicher.
(c)
zur erinnerung: [mm] d_{3}(x,y) [/mm] = [mm] (x-y)^{2}
[/mm]
i)
[mm] d_{3}(x,y) [/mm] = [mm] d_{3}(y,x)
[/mm]
somit ist [mm] d_{3}(x,y) [/mm] = [mm] (x-y)^{2}
[/mm]
und [mm] d_{3}(x,y) [/mm] = [mm] (y-x)^{2}
[/mm]
damit ist i) erfüllt.
ii)
[mm] d_{3}(x,y) [/mm] = 0 wenn x=y
[mm] (x-y)^{2} [/mm] ist genau dann Null wenn x=y, somit auch erfüllt
iii)
[mm] d_{3}(x,z) [/mm] = [mm] (x-z)^{2}
[/mm]
[mm] d_{3}(z,y) [/mm] = [mm] (z-y)^{2}
[/mm]
[mm] d_{3}(x,y) [/mm] = [mm] (x-y)^{2}
[/mm]
somit muss ja folgendes gelten oder?
[mm] |(x-y)^{2}|\le|(x-z)^{2}|+|(z-y)^{2}|
[/mm]
[mm] \gdw |(x)^{2}-2*xy+(y)^{2}|\le|(x)^{2}-2*xz+(z)^{2}|+|(z)^{2}-2*zy+(y)^{2}|
[/mm]
[mm] \dgw [/mm] |-2*xy| [mm] \le [/mm] |2*z(z-x-y)|
das müsste doch eigentlich auch wahr sein oder? somit ist das doch auch ein metrischer Raum.
(d)
zur erinnerung [mm] d_{4}(x,y) [/mm] = [mm] \wurzel{|x-y|}
[/mm]
i)
[mm] d_{4}(x,y) [/mm] = [mm] \wurzel{|x-y|}
[/mm]
[mm] d_{4}(y,x) [/mm] = [mm] \wurzel{|y-x|}
[/mm]
da ich den betrag der differenz zwischen x und y nehme kann ich das kommutativ-gesetz anwenden. Stimmt das?
ii)
[mm] d_{4}(x,y) [/mm] = [mm] \wurzel{|x-y|}
[/mm]
[mm] \wurzel{|x-y|} [/mm] = 0 genau dann wenn x=y da dann [mm] \wurzel{|0|} [/mm] gezogen wird.
iii)
bei dem Punkt komme ich nicht so wirklich weiter
habe mir das so gedacht:
[mm] \wurzel{|x-y|} \le \wurzel{|x-z|} [/mm] + [mm] \wurzel{|z-y|} [/mm] alles hoch 2 um die Wurzel zu entfernen
dann habe ich:
[mm] |x-y|\le|x-z|+|z-y|
[/mm]
und das wäre meiner meinung nach wieder erfüllt. Also ist acuh [mm] d_{4} [/mm] ein metrischer Raum.
Stimmt das alles was ich gemacht habe oder habe ich irgendwo einen denkfehler und den dann kontinuierlich fortgeführt?
Vielen Danke nochmal für die Antwort.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:52 So 15.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
>> (a) Sei X eine Menge, und [mm]d_{1}[/mm] : [mm]X\timesX\to\IR[/mm] durch
> [mm]d_{1}(x,y) =\begin{cases} 1, & \mbox{für } x\not=y \\ 0, & \mbox{für } x=y \end{cases}[/mm]
> definiert.
> Man zeige, dass [mm]d_{1}[/mm] eine Metrik ist und bestimme die
> durch [mm]d_{1}[/mm] induzierten offenen Mengen.
>
> (b) Sei (X,d) ein metrischer Raum, [mm]d_{2}:X\timesX\to\IR[/mm]
> durch [mm]d_{2} =\min\{d(x,y),1\}[/mm] definiert. Man beweise oder
> widerlege: [mm]d_{2}[/mm] ist eine Mertik auf X.
>
> (c) Man beweise oder widerlege: [mm]d_{3}:\IR\times\IR\to\IR, d_{3}(x,y)[/mm]
> = [mm](x-y)^{2}[/mm] ist eine Metrik auf [mm]\IR[/mm]
>
> (d) Man beweise oder widerlege: [mm]d_{4}:\IR\times\IR\to\IR, d_{4}(x,y)[/mm]
> = [mm]\wurzel{|x-y|}[/mm] ist eine Metrik auf [mm]\IR[/mm]
> Ich weiß das für eine Metrik folgendes gelten muss:
>
> i) $d(x,y) = d(y,x)$
> ii) $d(x,y) = 0$ genau dann, wenn x=y
> iii) [mm]d(x,y) \le d(x,z) + d(z,y)[/mm] //Dreiecksungleichung
>
> So ich habe einen Ansatz:
>
> zu (a)
> i)
> [mm]d_{1}(x,y)[/mm] = [mm]d_{1}(x,y)[/mm]
> das ist ja das gleiche, denn wenn [mm]x \not= y[/mm] wird eine 1
> gesetzt, somit ist
> [mm]d_{1}(x,y) = 1[/mm] und
> [mm]d_{1}(y,x) = 1[/mm].
> damit ist i) wahr.
>
> ii)
> wenn x=y dann ist [mm]d_{1}[/mm] so definiert, das es 0 ergibt
> somit auch wahr
Das ist nur die Richtung $x=y [mm] \implies [/mm] d(x,y)=0$.
Du sollst die Äquivalenz
[mm] x=y \gdw d(x,y)=0 [/mm]
zeigen. Daher musst du auch noch die Umkehrung $d(x,y)=0 [mm] \implies [/mm] x=y$ zeigen.
> iii)
> [mm]d_{1}(x,z) = 1[/mm] für alle [mm]x\not=z[/mm]
> [mm]d_{1}(z,y) = 1[/mm] für alle [mm]z\not=y[/mm]
> [mm]d_{1}(x,y) = 1[/mm] für alle [mm]x\not=y[/mm]
>
> somit ist [mm]1\le1+1,[/mm] also auch wahr.
Damit hast du ein paar Fälle weggelassen, nämlich die, in denen x,y,z nicht alle verschieden sind? Das musst du auch nachweisen!
> damit habe ich
> nachgewiesen, das es sich um einen metrischen Raum handelt
> oder?
Wenn du die Lücken noch füllst, ja.
> Jetzt kommt mein problem bei (a) wie soll ich die durch
> [mm]d_{1}[/mm] induzierte offene Menge bestimmen oder besser noch
> was ist die induzierte offene Menge.
Die induzierte Topologie. Mit der Metrik $d(x,y)$ hast du die Definition der offenen Kugeln vom Radius $r$:
[mm] K_r(x) = \{y\mid d(x,y)
Diese bilden eine Basis der Topologie, das heisst, jede offene Menge lässt sich als (eventuell unendliche) Vereinigung offener Kugeln darstellen.
Bestimme also zuerst die offenen Kugeln! Unterscheide dabei $r<1$ und [mm] $r\ge [/mm] 1$! Der Rest ergibt sich dann fast von selbst.
> (b) [mm]d_{2}(x,y) = \min\{d(x,y),1\}[/mm]
>
> i)
> zu zeigen: [mm]d_{2}(x,y) = d_{2}(y,x)[/mm]
> [mm]d_{2}(x,y) = \min\{d(x,y),1\}[/mm]
> [mm]d_{2}(y,x) = \min\{d(y,x),1\}[/mm]
> [mm]\Rightarrow \min\{d(x,y),1\} = \min\{d(y,x),1\}[/mm]
Da schließt du aber in die falsche Richtung. Die Voraussetzung ist $d(x,y)=d(y,x)$ und die Folgerung
[mm] \implies \min\{d(x,y),1\} = \min\{d(y,x),1\} \implies d_{2}(x,y) = d_{2}(y,x)[/mm]
> somit ist i wahr.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> ii)
> zz.: [mm]d_{2}(x,y) = 0[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Zz: [mm] x=y \gdw d_{2}(x,y) = 0[/mm] !
> da [mm]d_{2}(x,y) = \min\{d(x,y),1\}[/mm] ist und $d(x,y) = 0$ ist wenn
> x=y ist auch [mm]d_{2}(x,y) = 0[/mm] bei $x=y$.
Wieder fehlt die Rückwärtsrichtung, du musst noch zeigen, dass aus [mm]d_{2}(x,y) =0[/mm] die Aussage $x=y$ folgt.
> iii)
> [mm]d_{2}(x,z) = \min\{d(x,z),1\}[/mm]
> [mm]d_{2}(z,y) = \min\{d(z,y),1\}[/mm]
> [mm]d_{2}(x,y) = \min\{d(x,y),1\}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow d(x,y)\led(x,z)+d(z,y)[/mm] oder [mm]1\le1+1[/mm]
> somit wahr.
Das sind einige Spezialfälle, kein allgemeiner Beweis. Was passiert denn, wenn $d(x,z)<1$, aber $d(z,y)>1$ ist?
> (c)
> zur erinnerung: [mm]d_{3}(x,y)[/mm] = [mm](x-y)^{2}[/mm]
> i)
> [mm]d_{3}(x,y)[/mm] = [mm]d_{3}(y,x)[/mm]
> somit ist [mm]d_{3}(x,y)[/mm] = [mm](x-y)^{2}[/mm]
> und [mm]d_{3}(x,y)[/mm] = [mm](y-x)^{2}[/mm]
> damit ist i) erfüllt.
> ii)
> [mm]d_{3}(x,y)[/mm] = 0 wenn x=y
> [mm](x-y)^{2}[/mm] ist genau dann Null wenn x=y, somit auch
> erfüllt
> iii)
> [mm]d_{3}(x,z) = (x-z)^{2}[/mm]
> [mm]d_{3}(z,y) = (z-y)^{2}[/mm]
> [mm]d_{3}(x,y) = (x-y)^{2}[/mm]
>
> somit muss ja folgendes gelten oder?
>
> [mm]|(x-y)^{2}|\le|(x-z)^{2}|+|(z-y)^{2}|\gdw |(x)^{2}-2*xy+(y)^{2}|\le|(x)^{2}-2*xz+(z)^{2}|+|(z)^{2}-2*zy+(y)^{2}|[/mm]
Soweit ok.
>
> [mm]\dgw[/mm] |-2*xy| [mm] \le [/mm] |2*z(z-x-y)|
Das ist falsch, du kannst doch nicht einfach eine Summe aus ddem Betrag herausziehen.
Beachte, dass alle Terme der Form [mm] (x-y)^2 [/mm] nichtnegativ sind, du also die Betragstriche einfach weglassen kannst. Daher musst du entweder zeigen, dass
[mm] -2xy \le 2z(z-x-y) [/mm] für beliebige Werte von x,y,z
gilt, oder ein Gegenbeispiel angeben.
> (d)
> zur erinnerung [mm]d_{4}(x,y)[/mm] = [mm]\wurzel{|x-y|}[/mm]
> i)
> [mm]d_{4}(x,y)[/mm] = [mm]\wurzel{|x-y|}[/mm]
> [mm]d_{4}(y,x)[/mm] = [mm]\wurzel{|y-x|}[/mm]
> da ich den betrag der differenz zwischen x und y nehme
> kann ich das kommutativ-gesetz anwenden. Stimmt das?
Du meinst $|x-y|=|y-x|$, aber mit dem Kommutativgesetz hat das nichts zu tun.
> ii)
> [mm]d_{4}(x,y)[/mm] = [mm]\wurzel{|x-y|}[/mm]
> [mm]\wurzel{|x-y|}[/mm] = 0 genau dann wenn x=y da dann
> [mm]\wurzel{|0|}[/mm] gezogen wird.
Wieder nur eine Richtung: du musst auch zeigen, dass aus [mm] $\wurzel{|x-y|}=0$ [/mm] die Aussage $x=y$ folgt.
> iii)
> bei dem Punkt komme ich nicht so wirklich weiter
>
> habe mir das so gedacht:
> [mm]\wurzel{|x-y|} \le \wurzel{|x-z|} + \wurzel{|z-y|}[/mm] alles
> hoch 2 um die Wurzel zu entfernen
Guter Ansatz
>
> dann habe ich:
> [mm]|x-y|\le|x-z|+|z-y|[/mm]
Richtig:
[mm] (\wurzel{|x-z|} + \wurzel{|z-y|})^2 = |x-z|+|z-y|+2\wurzel{|x-z|}\wurzel{|z-y|} [/mm]
Was sagt nun die Dreiecksungleichung über $|x-z|+|z-y|$ aus?
Viele Grüße
Rainer
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> > Jetzt kommt mein problem bei (a) wie soll ich die durch
> > [mm]d_{1}[/mm] induzierte offene Menge bestimmen oder besser noch
> > was ist die induzierte offene Menge.
>
> Die induzierte Topologie. Mit der Metrik [mm]d(x,y)[/mm] hast du
> die Definition der offenen Kugeln vom Radius [mm]r[/mm]:
>
> [mm]K_r(x) = \{y\mid d(x,y)
>
> Diese bilden eine Basis der Topologie, das heisst, jede
> offene Menge lässt sich als (eventuell unendliche)
> Vereinigung offener Kugeln darstellen.
>
> Bestimme also zuerst die offenen Kugeln! Unterscheide dabei
> [mm]r<1[/mm] und [mm]r\ge 1[/mm]! Der Rest ergibt sich dann fast von selbst.
>
DANKE FÜR DEINE HILFE 
habe den Rest denke ich, jetzt verstanden.
Nur mit dem [mm] K_r(x) [/mm] = [mm] \{y\mid d(x,y)
Wir haben das schon durchgesprochen in der Uni allerdings komme ich leider trotzdem nicht weiter.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:00 Mo 16.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Nur mit dem [mm]K_r(x)[/mm] = [mm]\{y\mid d(x,y)
> weiter.
>
> Wir haben das schon durchgesprochen in der Uni allerdings
> komme ich leider trotzdem nicht weiter.
Na, überleg dir doch mal, was es bedeutet, dass die Metrik d nur die Werte 0 oder 1 annehmen kann. Was ist also die Menge
[mm] K_1(x) = \{y\mid d(x,y)<1\} [/mm] ?
Viele Grüße
Rainer
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