Metrische Räume < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:15 Fr 16.04.2010 | | Autor: | aly19 |
| Aufgabe | Sei (X,d) ein metrischer Raum.
1) z.z. [mm] d_{m}=min\{1,d(x,y)\} [/mm] ist eine Metrik.
Da fehlt mir noch der Beweis für [mm] d_{m}(x,z)\leq d_{m}(x,y)+d_{m}(y,z). [/mm] Die anderen Bedingungen konnte ich schon zeigen.
2) z.z. [mm] d_{p}(x,y)=p(d(x,y)) [/mm] ist eine Metrik, mit:
[mm] p:\IR^+ ->\IR^+ [/mm] ist eine zweimal stetig diffbare Funktion mit:
a)p(t)=0 genau dann wenn t=0
b) p' [mm] \ge [/mm] 0
c) [mm] p''\leq [/mm] 0
Da fehlt mir ebenfalls die Bedingung mit der Dreiecksungleichung. Also man kann ja schon sagen [mm] d_{p}(x,z)=p(d(x,z))\leq [/mm] p(d(x,y)+d(y,z)) wegen der Monotonie, aber weiter komm ich nicht.
3) Zwei Metriken d1 und d2 auf einer Menge X heißen topologisch äquivalent, genau dann wenn gilt: eine Folge [mm] (x_n)_{n \in \IN } \in [/mm] X konvergiert btgl. der Metrik d1 genau dann wenn sie in der Metrik d2 gegen x konvergiert.
Sind die Metriken [mm] d_m, d_p [/mm] und d äquivalent? |
So zu 3) Ich schreib einfach mal wie ich das für [mm] d_m [/mm] und d gemacht habe, bin mir aber nicht sicher ob das so geht.
Also
->
Zu jedem e>0 gibt es ein N [mm] \in \IN, [/mm] s.d. [mm] d(x,x_n)\leq [/mm] e für alle n [mm] \ge [/mm] N. O.B.d.A sei e<1 (Geht das???). Dann folgt [mm] d_m(x,y)=min\{1,d(x,y)\} \leq [/mm] min{1,e}=e für alle n [mm] \ge [/mm] N.
<-
Zu jedem e>0 gibt es ein N [mm] \in \IN, [/mm] s.d. [mm] d_m(x,x_n)\leq [/mm] e für alle n [mm] \ge [/mm] N. O.B.d.A sei e<1 (Geht das???). Dann folgt [mm] d_m(x,y)= min\{1,d(x,y)\}\leq [/mm] e und somit d(x,y) [mm] \leq [/mm] e für alle n [mm] \ge [/mm] N.
Kann man das so machen? oder lieg ich ganz falsch? Wäre super froh wenn mir jemand bei den drei Aufgaben behilflich sein kann.
Viele Grüße
|
|
| |
|
Hallo,
um die Dreiecksungleichung zu zeigen, soll man die Aufgabe etwas mehr "analysieren". Ich tue dies exemplarisch für 1) und überlass dir die anderen zwei.
Sei (X,d) ein metrischer Raum. Zeige $ [mm] d_{m}(x,y)=min\{1,d(x,y)\} [/mm] $ ist eine Metrik.
Wir nutzen jede Information in der Aufgabenstellung, vor allem, dass es sich bei $d$ um eine Metrik handelt, also es gilt die Dreiecksungleichung für $d$, also für $x, y, z [mm] \in [/mm] X$ gilt
$d(x,y) [mm] \leq [/mm] d(x,z) + d(z,y)$ (*)
(i) Ist $d(x,y) [mm] \geq [/mm] 1$, so haben wir nach (*)
$1 [mm] \leq [/mm] d(x,y) [mm] \leq [/mm] d(x,z) + d(z,y)$
Insbesondere $1 [mm] \leq [/mm] d(x,z)$ und $1 [mm] \leq [/mm] d(z,y)$, und damit
[mm] $d_{m}(x,y)=min\{1,d(x,y)\} [/mm] = 1 [mm] \leq [/mm] 1 + 1 = [mm] min\{1,d(x,z)\} [/mm] + [mm] min\{1,d(z,y)\} [/mm] = [mm] d_{m}(x,z) [/mm] + [mm] d_{m}(x,z)$
[/mm]
(ii) Ist $d(x,y) < 1$, so ist [mm] $d_{m}(x,y) [/mm] = d(x,y) < 1$ (**). Jetzt
(ii-a) Ist [mm] $d(x,z)\geq [/mm] 1$, also [mm] $d_{m}(x,z) [/mm] = 1$, so gilt wegen (**)
[mm] $d_{m}(x,y) [/mm] = d(x,y) < 1 [mm] \leq [/mm] 1 + [mm] min\{1,d(z,y)\} [/mm] = [mm] d_{m}(x,z) [/mm] + [mm] d_{m}(z,y)$
[/mm]
(ii-b) Ist [mm] $d(z,y)\geq [/mm] 1$ ... analog zu (ii-a)
(ii-c) Ist weder [mm] $d(x,z)\geq [/mm] 1$ noch [mm] $d(z,y)\geq [/mm] 1$ erfüllt, so gilt
$d(x,z) < 1$ und $d(z,y) < 1$, und die Dreiecksungleichung für [mm] $d_m$ [/mm] ist dieselbe wie für $d$.
Für die Äquivalenz der Metriken hast Du richtig erkannt, es geht mit der Wahl [mm] $\epsilon [/mm] < 1$, und damit für alle [mm] $\epsilon [/mm] > 0$, denn liegen fast alle Folgenglieder in der [mm] $\epsilon$-Umgebung [/mm] (Ball) vom Grenzwert für [mm] $\epsilon [/mm] < 1$, dann liegen mindestens so viele in einer solchen Umgebung (Ball) mit einem grösseren Radius.
Ich hoffe das hilft weiter.
|
|
|
| |
|
Hallo logarithmus,
> Hallo,
>
> um die Dreiecksungleichung zu zeigen, soll man die Aufgabe
> etwas mehr "analysieren". Ich tue dies exemplarisch für 1)
> und überlass dir die anderen zwei.
>
> Sei (X,d) ein metrischer Raum. Zeige
> [mm]d_{m}(x,y)=min\{1,d(x,y)\}[/mm] ist eine Metrik.
> Wir nutzen jede Information in der Aufgabenstellung, vor
> allem, dass es sich bei [mm]d[/mm] um eine Metrik handelt, also es
> gilt die Dreiecksungleichung für [mm]d[/mm], also für [mm]x, y, z \in X[/mm]
> gilt
> [mm]d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y)[/mm] (*)
> (i) Ist [mm]d(x,y) \geq 1[/mm], so haben wir nach (*)
> [mm]1 \leq d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y)[/mm]
> Insbesondere [mm]1 \leq d(x,z)[/mm]
Wieso gilt das? Oder reiße ich irgendwas aus dem Zusammenhang?
Evtl. kürzer:
Zu zeigen ist
[mm] $\min\{1,d(x,z)\} \le \min\{1,d(x,y)\} [/mm] + [mm] \min\{1,d(y,z)\}$.
[/mm]
Beweis:
[mm] $\min\{1,d(x,z)\} \le \min\{1,d(x,y) + d(y,z)\}$
[/mm]
(Warum gilt das: Da d Metrik, gilt die Dreiecksungleichung für d. Wir vergrößern jetzt ein Element in der Menge, von der das Minimum gebildet wird. Dadurch wird natürlich auch das Minimum der Menge größer oder bleibt gleich).
Für den nächsten Schritt brauchen wir durchaus eine Fallunterscheidung:
1. Es gilt $d(x,y) [mm] \ge [/mm] 1$ oder $d(y,z) [mm] \ge [/mm] 1$: Dann ist
[mm] $\min\{1,d(x,y) + d(y,z)\} [/mm] = 1 [mm] \le \min\{1,d(x,y)\} [/mm] + [mm] \min\{1,d(y,z)\}$,
[/mm]
weil mindestens eines der beiden Minima den Wert "1" annimmt (siehe Voraussetzung der Fallunterscheidung).
2. Es gilt $d(x,y), d(y,z) < 1$: Dann ist
[mm] $\min\{1,d(x,y) + d(y,z)\} \le [/mm] d(x,y) + d(y,z) = [mm] \min\{1,d(x,y)\} [/mm] + [mm] \min\{1,d(y,z)\}$.
[/mm]
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:45 Fr 16.04.2010 | | Autor: | aly19 |
Danke für die Antwort.
Also den ersten Schritt verstehe ich, aber unter 2) müsste es da nicht heißen d(x,y)+d(y,z)<1, weil wenn die jeweils einzeln kleiner 1 sind, kann die summe ja immer noch größer 1 sien oder?
und dann wäre das doch
[mm] min\{1, d(x,y)+d(y,z)\}=d(x,y)+d(y,z) [/mm] und nicht kleiner gleich oder?
Und dann gilt ja trotzdem [mm] d(x,y)+d(y,z)=d_m(x,y)+d_m(y,x) [/mm] oder? Dann gilt jedoch gleich und nicht kleiner gleich.
Kann man das so machen?
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
Hallo!
> Danke für die Antwort.
> Also den ersten Schritt verstehe ich, aber unter 2)
> müsste es da nicht heißen d(x,y)+d(y,z)<1, weil wenn die
> jeweils einzeln kleiner 1 sind, kann die summe ja immer
> noch größer 1 sien oder?
Das stimmt schon so, wie es dasteht.
[mm] $\min\{1, d(x,y) + d(y,z)\} \le [/mm] d(x,y)+d(y,z)$
gilt immer, denn das Minimum zweier Werte ist immer kleiner gleich einem der Werte. Denk' mal drüber nach. Und weil d(x,y) < 1, folgt dann der Rest so wie oben beschrieben.
Anmerkung: Wenn du genau drüber nachdenkst, kannst du statt d(x,y), d(y,z) < 1 auch schreiben: d(x,y) + d(y,z) < 1; das bedeutet wegen [mm] $d(x,y),d(y,z)\ge [/mm] 0$ ja dasselbe.
Trotzdem wird die Fallunterscheidung klarer, wenn man d(x,y), d(y,z) < 1 schreibt.
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:48 Fr 16.04.2010 | | Autor: | aly19 |
Vielen Dank für deine Antwort.
Der Einwand von Stefan stimmt schon oder?
Also nur weil [mm] d(x,y)+d(y,z)\ge [/mm] 1 gilt, müssen ja nicht beide Summanden größer gleich 1 sein oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:58 Fr 16.04.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Aly!
> Also nur weil [mm]d(x,y)+d(y,z)\ge[/mm] 1 gilt, müssen ja nicht
> beide Summanden größer gleich 1 sein oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Richtig. Nimm Dir einfach das Beispiel: beide Summanden haben den Wert 0,60.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Ooops!
Ich muss im Gedanken woanders gewesen sein, als ich die Antwort geschrieben habe. Danke für die Hinweise. Der Fehler ist dann mit der Antwort von steppenbahn korrigiert worden.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:19 Fr 16.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Da fehlt mir ebenfalls die Bedingung mit der
> Dreiecksungleichung. Also man kann ja schon sagen
> [mm]d_{p}(x,z)=p(d(x,z))\leq[/mm] p(d(x,y)+d(y,z)) wegen der
> Monotonie, aber weiter komm ich nicht.
Die Bedingung für [m]p''[/m] impliziert Konvexität. Damit musst du arbeiten.
> Kann man das so machen?
Ja, also wenn Punkte jeweils "nah" sind (also e < 1), dann sind die Metriken gleich. Also folgt alles.
Die letzte ist auch topol. Äquivalent. Die eine Richtung folgt sofort aus der Stetigkeit von p, für die Umkehrung ist mehr zu tun, aber du hast gewisse Monotonieeigesnchaften, die ausnutzen kannst.
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 00:05 Sa 17.04.2010 | | Autor: | aly19 |
Danke für deine Antwort. Ich kann irgendwie ncihts damit anfangen, dass es rechtsgekrümmt ist. Was folgt denn daraus?
Zu der topologischen Äquivalenz:
Ist das denn so wie ich das für den 1. Fall aufgeschrieben habe ok, oder muss ich das anders schreiben?
Zum 2. Fall habe ich das so gemacht:
->
Zu jedem e>0 gibt es ein N [mm] \in \IN, [/mm] s.d. [mm] d(x,x_n) \leq [/mm] e für alle [mm] n\ge [/mm] N.
Daraus folgt:
[mm] d_p(x,x_n)=p(d(x,x_n)) \leq [/mm] p(e) wegen der Monotonie und somit p(e)>0, da e>0 und [mm] d_p(x,x:_n) \leq [/mm] p(e) für alle n [mm] \ge [/mm] N. Also KOnvergenz.
<-
Zu jedem e>0 gibt es ein N [mm] \in \IN, [/mm] s.d. [mm] d_p(x,x_n) \leq [/mm] e für alle [mm] n\ge [/mm] N.
Daraus folgt [mm] p(d(x,x_n)) \leq [/mm] e und da p monoton ist, gibt es ein d>0, sodass [mm] d(x,x_n) \leq [/mm] d für alle n [mm] \ge [/mm] N.
Ist das so möglich?
Und wenn ich diese beiden Äquivalenzen gezeigt habe, dann sind ja alle drei topologisch äquivalent.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Mo 19.04.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:48 Mi 21.04.2010 | | Autor: | aly19 |
Hey, kann sich vielleicht jemand nochmal meine Frage hierzu angucken? Ich komm da einfach nicht weiter und wäre sehr froh über einen Tipp.
Viele Grüße
|
|
|
|
