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| Aufgabe | Welche der folgenden Mengen K des metrischen Raumes (X,d) sind kompakt?
a) [mm] \IR^2 [/mm] mit der Standartmetrik, K={(x,y) [mm] \in \IR^2, [/mm] x-y=1}
b) [mm] \IR^2 [/mm] mit der Standardmetrik, [mm] K_f=\{(x,f(x)) \in \IR^2, x\in [a,b]\}, f:[a,b]\to\IR [/mm] stetig. |
hallo,
hab leider noch einige Probleme im Umgang mit der Kompaktheit und bin mir nicht klar was bei dieser Aufgabe gefragt ist.
Im Skript lese ich:
Eine Teilmenge A [mm] \subset [/mm] X heißt kompakt, wenn es zu jeder o ffenen
Überdeckung [mm] (U_i )_{i\in I} [/mm] von A eine endliche Teilüberdeckung
[mm] (U_{i_1} ;U_{i_2} ,...,U_{i_k} [/mm] ), [mm] i_1,..., i_k \in [/mm] I , gibt.
Und nach Heine-Borel weis ich, dass eine Teilmenge [mm] A\subset [/mm] X eines metrischen Raumes X genau dann kompakt ist, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.
Aber wie hilft mir das hier weiter?
Danke für eure Unterstützung
Richard
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:25 So 16.05.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Richard!
> Welche der folgenden Mengen K des metrischen Raumes (X,d)
> sind kompakt?
>
> a) [mm]\IR^2[/mm] mit der Standartmetrik, [mm] $K=\{(x,y) \in \IR^2, x-y=1\}$
[/mm]
>
> b) [mm]\IR^2[/mm] mit der Standardmetrik, [mm]K_f=\{(x,f(x)) \in \IR^2, x\in [a,b]\}, f:[a,b]\to\IR[/mm]
> stetig.
> hallo,
>
> hab leider noch einige Probleme im Umgang mit der
> Kompaktheit und bin mir nicht klar was bei dieser Aufgabe
> gefragt ist.
>
> Im Skript lese ich:
>
> Eine Teilmenge A [mm]\subset[/mm] X heißt kompakt, wenn es zu jeder
> o ffenen berdeckung [mm](U_i )_{i\in I}[/mm] von A eine endliche
> Teilüberdeckung
> [mm](U_{i_1} ;U_{i_2} ,...,U_{i_k}[/mm] ), [mm]i_1,..., i_k \in[/mm] I ,
> gibt.
>
>
> Und nach Heine-Borel weis ich, dass eine Teilmenge [mm]A\subset X[/mm]
> eines metrischen Raumes X genau dann kompakt ist, wenn
> sie abgeschlossen und beschränkt ist.
Das stimmt so allgemein nicht. Kompakte Mengen sind immer abgeschlossen und beschränkt, aber die Umkehrung gilt nicht in beliebigen metrischen Räumen. Im [mm] $\IR^n$ [/mm] mit der Standardmetrik ist dies aber richtig.
> Aber wie hilft mir das hier weiter?
Überprüfe doch erst einmal, ob die beiden Mengen beschränkt sind. Denn, wenn sie es nicht sind, können sie auch nicht kompakt sein.
Viele Grüße
Rainer
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hallo rainer,
die menge K (also die funktion y=x-1) in aufgabe a) ist nicht beschränkt, denn sie wächst gegen unendlich
-das ist vermutlich keine mathematisch exakte argumentation
Vielleicht besser so:
Eine Menge S aus einem metrischen Raum (M, d) heißt beschränkt, wenn sie in einer Kugel mit endlichem Radius enthalten ist, d.h. wenn ein x aus M und r > 0 existieren, so dass für alle s aus S gilt: d(x, s) [mm] \le [/mm] r.
ich denke es lässt sich kein s finden, dass d(x,s) [mm] \le [/mm] r
aber wie lässt sich das mathematisch formulieren?
damit ist meine menge k nicht kompakt
in aufgabe b) ist [mm] K_f [/mm] kompakt, denn:
ich habe eine abgeschlossenes intervall [a,b]
innerhalb dieses intervalls soll f stetig sein und daraus folgt (mit dem satz von der beschränktheit) beschränktheit
ist das ok?
gruß
richard
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:28 So 16.05.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Richard!
> hallo rainer,
>
> die menge K (also die funktion y=x-1) in aufgabe a) ist
> nicht beschränkt, denn sie wächst gegen unendlich
> -das ist vermutlich keine mathematisch exakte
> argumentation
>
> Vielleicht besser so:
>
> Eine Menge S aus einem metrischen Raum (M, d) heißt
> beschränkt, wenn sie in einer Kugel mit endlichem Radius
> enthalten ist, d.h. wenn ein x aus M und $r > 0$ existieren,
> so dass für alle s aus S gilt: [mm]d(x, s) \le r[/mm].
>
> ich denke es lässt sich kein s finden, dass [mm]d(x,s) \le r[/mm]
> aber wie lässt sich das mathematisch formulieren?
Die Menge ist eine Gerade. Es gibt keine endliche Kugel, die eine ganze Gerade enthält, denn zu jedem s und zu jedem r gibt es Punkte auf der Geraden, die außerhalb der Kugel liegen (musst ja nur [mm] $x=\|s\|+r+2 [/mm] $ und $y= [mm] \|s\|+r+1 [/mm] $ wählen).
>
> damit ist meine menge k nicht kompakt
Richtig.
>
> in aufgabe b) ist [mm]K_f[/mm] kompakt, denn:
> ich habe eine abgeschlossenes intervall [a,b]
> innerhalb dieses intervalls soll f stetig sein und daraus
> folgt (mit dem satz von der beschränktheit)
> beschränktheit
Beschränktheit ja, aber du hast noch nicht gezeigt, dass der Graph [mm] $K_f$ [/mm] der Funktion f abgeschlossen ist.
Tipp: betrachte eine Folge [mm] $x_n\in K_f$, [/mm] die in [mm] $\IR^2$ [/mm] konvergiert und zeige, dass der Grenzwert in [mm] $K_f$ [/mm] liegt.
Viele Grüße
Rainer
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hallo rainer,
kann ich irgendeine folge nehmen?
so z.B. [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
die konvergiert in [mm] \IR^2 [/mm] gegen Null
aber wie zeige ich, dass der Grenzwert Null in [mm] K_f [/mm] liegt?
richard
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:47 Di 18.05.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Richard!
> hallo rainer,
>
> kann ich irgendeine folge nehmen?
Nein, du musst es für jede Folge zeigen.
> so z.B. [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
>
> die konvergiert in [mm]\IR^2[/mm] gegen Null
Die besteht aus Elementen von [mm] $\IR$, [/mm] nicht aus Elementen von [mm] $\IR^2$. [/mm] Du brauchst eine beliebige Folge mit Elementen aus [mm] $K_f$. [/mm]
Angenommen du hättest eine Folge von Punkten [mm] $z_n\in\IR^2$, $z_n=(x_n,y_n)$. [/mm] Welche Bedingung muss gelten, damit [mm] $z_n\in K_f$ [/mm] ist?
> aber wie zeige ich, dass der Grenzwert Null in [mm]K_f[/mm] liegt?
Dann nimmst du an, es handle sich bei [mm] $(z_n)$ [/mm] um eine in [mm] $\IR^2$ [/mm] konvergente Folge. Überleg dir, was das für die Folge [mm] $(x_n)$ [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm] und ihren Grenzwert bedeutet.
Viele Grüße
Rainer
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Angenommen du hättest eine Folge von Punkten [mm] $z_n\in\IR^2$, $z_n=(x_n,y_n)$. [/mm] Welche Bedingung muss gelten, damit [mm] $z_n\in K_f$ [/mm] ist?
<<
tut mir leid, aber ich habe keine Idee, welche bedingung du meinst
zur Orientierung:
es geht doch um den satz:
Für eine Teilmenge [mm] A\subset [/mm] X eines metrischen Raumes X gilt:
A ist abgeschlossen
[mm] \gdw
[/mm]
Für alle [mm] x\in [/mm] X gilt: Wenn [mm] x\in [/mm] X Grenzwert einer konvergenten Folge von Elementen von A ist, so gilt [mm] x\in [/mm] A
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:27 Di 18.05.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> <<
> Angenommen du hättest eine Folge von Punkten [mm]z_n\in\IR^2[/mm],
> [mm]z_n=(x_n,y_n)[/mm]. Welche Bedingung muss gelten, damit [mm]z_n\in K_f[/mm]
> ist?
> <<
>
> tut mir leid, aber ich habe keine Idee, welche bedingung du
> meinst
Setze die Definition von [mm] $K_f$ [/mm] ein: [mm] $(x_n,y_n) [/mm] = [mm] (x_n,f(x_n))$.
[/mm]
>
> zur Orientierung:
> es geht doch um den satz:
> Für eine Teilmenge [mm]A\subset X[/mm] eines metrischen Raumes X
> gilt:
> A ist abgeschlossen
> [mm]\gdw[/mm]
> Für alle [mm]x\in X[/mm] gilt: Wenn [mm]x\in X[/mm] Grenzwert einer
> konvergenten Folge von Elementen von A ist, so gilt [mm]x\in A[/mm]
Ja.
Viele Grüße
Rainer
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ok, jetzt habe ich irgendein folge [mm] z_n \in K_f
[/mm]
was mach ich damit?
[mm] z_n [/mm] muss in [mm] K_f [/mm] konvergieren, dann gibt es auch in [mm] \IR^2 [/mm] einen Grenzwert
und [mm] K_f [/mm] ist abgeschlossen
muss ich denn jetzt zeigen, dass [mm] z_n [/mm] konvergiert? oder kann ich das annehmen?
wie formuliere ich denn das vernünftig?
könntest du mir das vielleicht einmal stichpunktartig notieren?
danke
richard
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:38 Mi 19.05.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ok, jetzt habe ich irgendein folge [mm]z_n \in K_f[/mm]
>
> was mach ich damit?
>
> [mm]z_n[/mm] muss in [mm]K_f[/mm] konvergieren, dann gibt es auch in [mm]\IR^2[/mm]
> einen Grenzwert
> und [mm]K_f[/mm] ist abgeschlossen
nein.
Ich formuliere den von Dir erwähnten Satz nochmal:
[mm] $(\*)$ [/mm] Satz: Eine Menge $M [mm] \subseteq [/mm] X$ eines metrischen Raumes [mm] $(X,d)\,$ [/mm] ist genau dann abgeschlossen, wenn für jede Folge [mm] $(z_n)_n$ [/mm] in [mm] $M\,$, [/mm] die (in [mm] $X\,$) [/mm] konvergiert, schon gilt, dass der Grenzwert zu [mm] $M\,$ [/mm] gehört.
(D.h. ist [mm] $(z_n)_n$ [/mm] irgendeine Folge mit [mm] $z_n \in [/mm] M$ ($n [mm] \in \IN$) [/mm] und so, dass ein $z [mm] \in [/mm] X$ existiert mit [mm] $z_n \to [/mm] z$ ($n [mm] \to \infty$), [/mm] dann gilt schon $z [mm] \in M\,.$)
[/mm]
Oben:
Wir nehmen nun (irgend-)eine solche Folge [mm] $(z_n)_n$ [/mm] in [mm] $K_f$ [/mm] her, die in [mm] $\IR^2$ [/mm] mit der Standardmetrik gegen ein $z [mm] \in \IR^2$ [/mm] konvergiert. Wir können daher nun $z=(x,y)$ mit $x,y [mm] \in \IR$ [/mm] schreiben.
Wegen [mm] $z_n \in K_f$ [/mm] existiert zu jedem $n [mm] \in \IN$ [/mm] ein [mm] $x_n \in [/mm] [a,b]$ mit [mm] $z_n=(x_n,f(x_n))\,.$ [/mm] Wegen ![[]](/images/popup.gif) Bemerkung 8.17 erhalten wir aus
[mm] $$z_n \to [/mm] z$$
[mm] $$\gdw (x_n,f(x_n)) \to (x,y)\,,$$
[/mm]
dass nun
[mm] $$x_n \to x\;\;\text{ (beachte: }(x_n)_n \text{ ist Folge in }\IR\text{!)}$$ [/mm]
und
[mm] $$f(x_n) \to [/mm] y$$
gelten.
Wenn man nun in den Satz [mm] $(\*)$ [/mm] von oben guckt, so liefert dieser bei der Richtung [mm] "$\Leftarrow$", [/mm] dass [mm] $K_f$ [/mm] abgeschlossen ist, sofern wir nun zeigen, dass in der Tat oben $(x,y) [mm] \in K_f$ [/mm] gilt. Mit anderen Worten (das ist nun Deine noch zu erledigende Aufgabe):
1.) Mithilfe von [mm] $x_n \to [/mm] x$ haben wir (kurz) zu begründen, dass auch $x [mm] \in [/mm] [a,b]$ ist. (Beachte dabei: [mm] $x_n \in [/mm] [a,b]$ und $[a,b] [mm] \subseteq \IR$ [/mm] ist abgeschlossen.)
2.) Mithilfe von [mm] $f(x_n) \to [/mm] y$ haben wir zu begründen, dass ein $p [mm] \in [/mm] [a,b]$ existiert, so dass wir $y=f(p)$ schreiben können.
Zu 2.): Benutze dabei 1.), um $p:=x$ wählen zu dürfen, und benutze die Stetigkeit von [mm] $f\,$ [/mm] (insbesondere ist [mm] $f\,$ [/mm] stetig an der Stelle [mm] $x\,$), [/mm] um $y=f(p)=f(x)$ einzusehen.
Der Übersicht wegen nochmal eine kurze Zusammenfassung, was Du hier zu tun hast:
Zu zeigen ist:
Wenn man irgendeine Folge [mm] $(z_n)_n$ [/mm] in [mm] $K_f$ [/mm] wählt, so dass diese dann die Eigenschaft hat, im [mm] $\IR^2$ [/mm] gegen ein $z [mm] \in \IR^2$ [/mm] zu konvergieren, so ist zu zeigen, dass dann schon $z [mm] \in K_f$ [/mm] folgt.
Beste Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:19 Mi 19.05.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo Richard,
> hallo rainer,
>
> die menge K (also die funktion y=x-1) in aufgabe a) ist
> nicht beschränkt, denn sie wächst gegen unendlich
> -das ist vermutlich keine mathematisch exakte
> argumentation
>
> Vielleicht besser so:
>
> Eine Menge S aus einem metrischen Raum (M, d) heißt
> beschränkt, wenn sie in einer Kugel mit endlichem Radius
> enthalten ist, d.h. wenn ein x aus M und r > 0 existieren,
> so dass für alle s aus S gilt: d(x, s) [mm]\le[/mm] r.
>
> ich denke es lässt sich kein s finden, dass d(x,s) [mm]\le[/mm] r
> aber wie lässt sich das mathematisch formulieren?
Deine Verneinung hier ist leider alles andere als exakt. Was Du hier zu zeigen hast/hättest:
Es gibt keinen Punkt $x [mm] \in [/mm] M$ und auch keine Zahl $r > 0$ derart, dass für jedes $s [mm] \in [/mm] S$ auch $d(x,s) [mm] \le [/mm] r$ folgt.
Formulierst Du das um, so hättest Du zu zeigen:
Für jeden Punkt $x [mm] \in [/mm] M$ und für jede beliebige Zahl $r > [mm] 0\,$ [/mm] findet man ein Element $s=s(x,r) [mm] \in [/mm] S$ (das [mm] $s\,$ [/mm] darf und wird also i.a. sowohl von [mm] $x\,$ [/mm] als auch von [mm] $r\,$ [/mm] abhängig sein) mit $d(x,s) > [mm] r\,.$
[/mm]
Nochmal anders formuliert:
Ist $x [mm] \in [/mm] M$ beliebig, aber fest und ist zudem $r > [mm] 0\,$ [/mm] beliebig, aber fest, so existiert ein Element $s=s(x,r) [mm] \in [/mm] S$ mit $d(x,s) > [mm] r\,.$
[/mm]
> damit ist meine menge k nicht kompakt
Ja, und zwar, weil folgendes in metrischen Räumen gilt (es gilt sogar noch allgemeiner):
Eine jede kompakte Teilmenge eines metrischen Raumes ist beschränkt.
D.h., kurz formuliert:
Sei $(X,d)$ metrischer Raum.
(I) Ist $K [mm] \subseteq [/mm] X$ kompakt [mm] $\Rightarrow$ $K\,$ [/mm] ist beschränkt.
Die Kontraposition von (I) lautet dann
(II) Ist $K [mm] \subseteq [/mm] X$ nicht beschränkt [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $K [mm] \subseteq [/mm] X$ ist nicht kompakt.
Da die Kontraposition einer Aussage bekanntlich zu dieser äquivalent ist, ist es oben eigentlich in der Tat die Kontraposition der Aussage (I), die Dir Dein Ergebnis liefert.
> in aufgabe b) ist [mm]K_f[/mm] kompakt, denn:
> ich habe eine abgeschlossenes intervall [a,b]
> innerhalb dieses intervalls soll f stetig sein und daraus
> folgt (mit dem satz von der beschränktheit)
> beschränktheit
>
> ist das ok?
Das wäre nicht ok. Denn (I) bzw. (II) machen keine Aussage darüber, was ist, wenn eine Menge beschränkt ist. Dort steht nur, dass die Beschränktheit für die Kompaktheit notwendig ist. Sie ist aber nicht hinreichend.
P.S.:
Diese Ergänzungen habe ich deshalb nochmal gemacht, weil solche elementaren Dinge - wie die Kontraposition - eigentlich ständig gebraucht werden und es aber leider oft nur "nebenbei" erwähnt wird, oder aber im Laufe der Zeit wieder vergessen wird. Z.B. erlebe ich es häufig, dass manche Leute bei einem Äquivalenzbeweis
$$A [mm] \gdw [/mm] B$$
nicht verstehen, warum da nun "$A [mm] \Rightarrow [/mm] B$" und [mm] "$(\neg [/mm] A) [mm] \Rightarrow (\neg [/mm] B)$" bewiesen wird. Dabei ist die Erklärung wegen der Kontraposition sehr simpel:
[mm] $$(\neg [/mm] A) [mm] \Rightarrow (\neg [/mm] B)$$
[mm] $$\gdw$$ [/mm]
[mm] $$(\neg (\neg [/mm] B)) [mm] \Rightarrow (\neg (\neg [/mm] A))$$
[mm] $$\gdw$$ [/mm]
$$B [mm] \Rightarrow A\,.$$
[/mm]
D.h. die Beweisrichtung "$B [mm] \Rightarrow [/mm] A$" wird hier nur mithilfe der Kontraposition [mm] $(\neg [/mm] A) [mm] \Rightarrow (\neg [/mm] B)$" geführt.
Und auch die Verneinung von Aussagen mittels aussagenlogischer Symbole sollte oft nochmal wiederholt werden. Denn wirklich "Sitzen", d.h. das jmd. sofort in Sätzen Verneinungen von mathematischen Definitionen/Sätzen... (z.B. die Verneinung der glm. Stetigkeit) "ausspucken" kann, tun diese Dinge bei den meisten Menschen eigentlich erst, wenn man sie "bis zum Erbrechen" geübt hat. Damit man ein Mathestudium vernünftig absolvieren kann sind aber solche elementaren Dinge wirklich auch von Bedeutung. Ehrlich gesagt wundert es mich manchmal sogar, dass sogar manche Leute aus den höheren Semestern diese anscheinend immer noch nicht richtig "intus" haben und manchmal frage ich mich, wie die es trotzdem soweit gebracht haben? Und das meine ich jetzt nicht abwertend. Nur meiner Meinung nach ist es eigentlich notwendig, dass man diese elementaren Grundlagen wirklich verstanden hat, damit man überhaupt versteht, was in den Vorlesungen da wann und warum gemacht wird...
Aber komischerweise begegnen mir immer mal wieder "Gegenbeweise". Und - wie gesagt - ich zweifle weder an deren Intelligenz noch an deren mathematischen Fähigkeiten (insbesondere nicht an Deinen) - nur verwundert es mich trotzdem eigentlich jedes Mal. 
Beste Grüße,
Marcel
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Vielen Dank für deine sehr ausführlichen Erläuterungen!
gruß
richard
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hallo,
ich habe noch probleme bei aufgabe b) die abgeschlossenheit zu zeigen.
rainer hatte mir den hinweis gegeben, dass ich eine folge [mm] x_n [/mm] finden soll
die in [mm] \IR^2 [/mm] konvergiert und der grenzwert zu [mm] K_f [/mm] gehört.
Leider ist mir unklar wie ich so eine folge konstruieren , bzw. zeigen kann,dass sie auch in [mm] K_f [/mm] konvergiert
noch eine andere idee:
laut def. des metrischen raumes ist [mm] A\subset [/mm] X dann abgeschlossen, wenn
[mm] X\A [/mm] offen ist
und jetzt betrachte ich mein Intervall [a,b] mit [mm] a\le [/mm] b; [mm] a,b\in \IR^2
[/mm]
und behaupte es ist abgeschlossen,denn sein komplement
[mm] \IR^2 [/mm] \ [mm] [a,b]=]-\infty,a [\cup] b,\infty[
[/mm]
ist offen
wäre das eine gültige argumentation?
oder ist der weg über die folge [mm] x_n [/mm] die bessere variante?
gruß
richard
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:41 Di 18.05.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> hallo,
>
> ich habe noch probleme bei aufgabe b) die abgeschlossenheit
> zu zeigen.
> rainer hatte mir den hinweis gegeben, dass ich eine folge
> [mm]x_n[/mm] finden soll
> die in [mm]\IR^2[/mm] konvergiert und der grenzwert zu [mm]K_f[/mm]
> gehört.
>
> Leider ist mir unklar wie ich so eine folge konstruieren ,
> bzw. zeigen kann,dass sie auch in [mm]K_f[/mm] konvergiert
>
> noch eine andere idee:
> laut def. des metrischen raumes ist [mm]A\subset X[/mm] dann
> abgeschlossen, wenn
> [mm]X\A[/mm] offen ist
>
> und jetzt betrachte ich mein Intervall [a,b] mit [mm]a\le b[/mm];
> [mm]a,b\in \IR^2[/mm]
Das ergibt doch keinen Sinn: für eine Intervall sind a und b reelle Zahlen.
> und behaupte es ist abgeschlossen,denn sein
> komplement
>
> [mm]\IR^2[/mm] \ [mm][a,b]=]-\infty,a [\cup] b,\infty[[/mm]
>
> ist offen
>
> wäre das eine gültige argumentation?
Nein. Du willst doch nicht zeigen, dass das Intervall $[a,b]$ abgeschlossen ist, sondern dass [mm] $K_f$ [/mm] abgeschlossen ist. Also musst du nachweisen, dass [mm] $\IR^2\setminus K_f$ [/mm] offen ist.
Viele Grüße
Rainer
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