Metrische Räume, Vollständigkeit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:25 Do 06.05.2004 | | Autor: | Wessel |
Hallo,
gegeben sei der Raum X=R und die Metrik d(a,b): R x R -> R mit d(a,b) = | arctan(x) - arctan(y)|. Zu zeigen ist, dass der metrische Raum (R,d) nicht vollständig ist.
Nach Definition brauche ich also nur eine konvergente Cauchy-Folge finden, deren Grenzwert aber nicht in R liegt. Wie konstruiere ich also eine Folge, deren Folgenglieder alle in R liegen, jedoch deren Grenzwert nicht in R liegt - zu mal ja R selbst vollständig ist??? Wo ist mein Widerspruch im Gedanken?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:28 Do 06.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Stefan,
> gegeben sei der Raum X=R und die Metrik d(a,b): R x R -> R
> mit d(a,b) = | arctan(x) - arctan(y)|. Zu zeigen ist, dass
> der metrische Raum (R,d) nicht vollständig ist.
> Nach Definition brauche ich also nur eine konvergente
> Cauchy-Folge finden, deren Grenzwert aber nicht in R liegt.
> Wie konstruiere ich also eine Folge, deren Folgenglieder
> alle in R liegen, jedoch deren Grenzwert nicht in R liegt -
> zu mal ja R selbst vollständig ist??? Wo ist mein
> Widerspruch im Gedanken?
die Cauchy-Eigenschaft und die Konvergenz werden ja bzgl. der gegebenen Metrik beurteilt. Die Vollständigkeit von [mm] $\IR$, [/mm] die du erwähnst, bezieht sich ja nur auf die euklidische Metrik.
Du mußt also eine Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] finden, für die folgendes gilt:
[mm] $\forall \varepsilon_1>0 \;\;\exists N_1\in\IN\;:\; d(a_n,a_m)<\varepsilon_1 \;\; \forall m,n\ge N_1$ ($(a_n)$ [/mm] ist also Cauchy-Folge)
und
[mm] $\not\exists a\in\IR\;:\;\forall \varepsilon_2>0\;\;\exists N_2\in\IN\;:\;d(a_n,a)<\varepsilon_2\;\;\forall n\ge N_2$ ($(a_n)$ [/mm] ist also nicht konvergent)
(Kompakter konnte ich es nicht aufschreiben, aber die Kriterien dürften ja klar sein  )
Probier' doch jetzt noch mal, eine solche Folge zu finden. Ich weiß auch noch keine, habe aber auch noch nicht angestrengt nachgedacht
Melde dich also einfach wieder, wenn dir keine einfällt, dann probier' ich es mal.
Viel Erfolg,
Marc
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:18 Do 06.05.2004 | | Autor: | THAR |
Versuch doch mal eine Folge zu finden, die in [mm] \IR [/mm] quer gegen unendlich konvergiert
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 16:39 Do 06.05.2004 | | Autor: | Wessel |
Was versteht man unter "quer gegen unendlich"?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:36 Do 06.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo,
> Was versteht man unter "quer gegen unendlich"?
Ich denke, THAR meinte [mm] $\overline{\IR}=\IR\cup\{\infty\}$
[/mm]
Also, eine Folge mit [mm] $\a_n\in\IR$ [/mm] mit [mm] $\limes_{n\to\infty} a_n=\infty$
[/mm]
Der Tipp ist gar nicht so schlecht...
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 19:49 Do 06.05.2004 | | Autor: | Wessel |
Jetzt mal hier meine Überlegungen:
Nehme eine Folge mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] = [mm] \infty. [/mm] Als Beispiel dachte ich da an die Folge der Partialsummen der harmonischen Reihe, also: [mm] S_{n} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] 1/n - die ist ja nun wirklich divergent 
Nun schätze ich mal ab - mit dem Gedanken, das der [mm] \arctan [/mm] ja beschränkt ist:
[mm] |\arctan(S_{n}) [/mm] - [mm] \arctan(S_{m})| \leq [/mm] | [mm] \pi/2 [/mm] - [mm] \pi/2 [/mm] | = 0 -> Cauchy geht klar.
Nun wird [mm] S_n [/mm] für [mm] n->\infty [/mm] schön groß, d.h. [mm] \arctan(S_n) [/mm] -> [mm] \pi/2 [/mm] für [mm] n->\infty. [/mm] Es gibt aber kein a [mm] \in \IR [/mm] mit [mm] \arctan(a) [/mm] = [mm] \pi/2. [/mm]
Wie argumentiere ich nun jedoch mit dem [mm] \varepsilon [/mm] -Kriterium?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:45 Do 06.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Stefan!
> Jetzt mal hier meine Überlegungen:
>
> Nehme eine Folge mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] =
> [mm] \infty. [/mm] Als Beispiel dachte ich da an die Folge der
> Partialsummen der harmonischen Reihe, also: [mm] S_{n} [/mm] =
> [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] 1/n - die ist ja nun wirklich divergent
>
> Nun schätze ich mal ab - mit dem Gedanken, das der [mm] \arctan [/mm]
> ja beschränkt ist:
>
> [mm] |\arctan(S_{n}) [/mm] - [mm] \arctan(S_{m})| \leq [/mm] | [mm] \pi/2 [/mm] - [mm] \pi/2 [/mm] | =
> 0 -> Cauchy geht klar.
Mmh.
Da wurde einmal in die falsche Richtung abgeschätzt. So wäre ja jede einseitig beschränkte Folge eine Cauchy-Folge bei dir.
> Nun wird [mm] S_n [/mm] für [mm] n->\infty [/mm] schön groß, d.h. [mm] \arctan(S_n) [/mm] ->
> [mm] \pi/2 [/mm] für [mm] n->\infty. [/mm] Es gibt aber kein a [mm] \in \IR [/mm] mit
> [mm] \arctan(a) [/mm] = [mm] \pi/2. [/mm]
>
> Wie argumentiere ich nun jedoch mit dem [mm] \varepsilon [/mm]
> -Kriterium?
Es könnte so funktionieren (dies soll kein Beweis sein):
Ich nehme [mm] $a_n:=n$
[/mm]
[mm] $(a_n)$ [/mm] ist eine Cauchy-Folge (das müßte man noch zeigen).
Angenommen, es gäbe ein [mm] $a\in\IR$ [/mm] und für beliebiges [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ein [mm] $N\in\IN$ [/mm] mit
[mm] $|\arctan(a_n)-\arctan(a)|<\varepsilon$ [/mm] für alle [mm] $n\ge\IN$.
[/mm]
(Da [mm] $\arctan$ [/mm] monoton wachsend ist: [mm] $\arctan(a_n)-\arctan(a)<\varepsilon$
[/mm]
Dann sei $M$ derjenige Index, so dass [mm] $a_{M-1}\le a
Nun wähle ich [mm] $\varepsilon:=\arctan(a_{M})-\arctan(a)$
[/mm]
Die Behauptung ist ja nun, dass es ein [mm] $N\in\IN$ [/mm] gibt mit [mm] $\arctan(a_n)-\arctan(a)<\varepsilon$ [/mm] für alle [mm] $n\ge [/mm] N$.
[mm] $\arctan(a_n)-\arctan(a)<\underbrace{\arctan(a_{M})-\arctan(a)}_{=\varepsilon}$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $\arctan(a_n)<\arctan(a_M)$
[/mm]
Das ist ein Widerspruch, da [mm] $\arctan$, $(a_n)$ [/mm] und damit [mm] $\arctan a_n$ [/mm] monoton wachsend ist.
Es also nur noch der Nachweis, dass [mm] $(a_n)$ [/mm] eine Cauchy-Folge ist.
Das dürfte aber nicht mehr so schwierig sein, ich habe es aber noch nicht versucht (da ich den Nachweis der Divergenz schwieriger fand...)
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:31 Fr 07.05.2004 | | Autor: | Wessel |
Hallo Marc,
> Hallo Stefan!
>
> > Jetzt mal hier meine Überlegungen:
> >
> > Nehme eine Folge mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm]
> =
> > [mm] \infty. [/mm] Als Beispiel dachte ich da an die Folge der
> > Partialsummen der harmonischen Reihe, also: [mm] S_{n} [/mm] =
> > [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] 1/n - die ist ja nun wirklich divergent
>
> >
> > Nun schätze ich mal ab - mit dem Gedanken, das der
> [mm] \arctan [/mm]
> > ja beschränkt ist:
> >
> > [mm] |\arctan(S_{n}) [/mm] - [mm] \arctan(S_{m})| \leq [/mm] | [mm] \pi/2 [/mm] - [mm] \pi/2 [/mm] |
> =
> > 0 -> Cauchy geht klar.
>
> Mmh.
> Da wurde einmal in die falsche Richtung abgeschätzt. So
> wäre ja jede einseitig beschränkte Folge eine Cauchy-Folge
> bei dir.
Gestehe, dass ich hier nun wirklich zu blöd war!
Zur Vollständigkeit der Diskussion vesuche ich eine Abschätzung mit Deiner Folge.
> Ich nehme [mm] $a_n:=n$
[/mm]
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 beliebig vorgegeben. Wähle [mm] N_0 \in \IN [/mm] so, dass
[mm] |\pi/2-\arctan(a_{N_0}) [/mm] | < [mm] \varepsilon. [/mm] Da [mm] (a_n) [/mm] und [mm] \arctan [/mm] streng monoton wachsend sind, sowie [mm] \arctan [/mm] beschränkt durch [mm] \pi/2 [/mm] gilt nun für alle weiteren m,n [mm] \in \IN [/mm] mit m > n [mm] \ge N_0:
[/mm]
[mm] \pi/2 [/mm] > [mm] \arctan(a_m) [/mm] > [mm] \arctan(a_n) \ge \arctan(a_N) [/mm] und demnach:
[mm] |\arctan(a_m) [/mm] - [mm] \arctan(a_n)| [/mm] < [mm] \varepsilon.
[/mm]
Da [mm] \varepsilon [/mm] bel., folgt unmittelbar, dass [mm] (a_n) [/mm] Cauchy-folge ist.
Grüße,
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:43 Fr 07.05.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Stefan!
Ja, so geht es (umständlich) auch, ist aber überflüssig.
Oder habt ihr in der Vorlesung nicht gezeigt, dass konvergente Folgen Cauchy-Folgen sind?
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:49 Fr 07.05.2004 | | Autor: | Wessel |
Hallo Julius,
> Hallo Stefan!
>
> Ja, so geht es (umständlich) auch, ist aber überflüssig.
>
> Oder habt ihr in der Vorlesung nicht gezeigt, dass
> konvergente Folgen Cauchy-Folgen sind?
Doch, doch... Aber manchmal stehen lauter Bäume vor dem Wald.
Grüße,
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:21 Fr 07.05.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo,
der Nachweis der Cauchyfolgen-Eigenschaft folgt natürlich sofort aus der Tatsache, dass [mm](\arctan(n))_{n \in \IN}[/mm] gegen [mm]\frac{\pi}{2}[/mm] konvergiert und jede konvergente Folge eine Cauchy-Folge ist. Da gibt es also nichts zu zeigen.
Viele Grüße
Julius
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