MiniMax-Aufgabe < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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.B
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G3 | |
| | 45m
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g ___________________________|___
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G2 | | 35m
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h ___________________________|___
| | 25m
A. G1 | |
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100m
Im Gebiet G1 und G3 läuft ein Mann mit v= 20 m/s
Im Gebiet G2 dagegen läuft er mit v= 5 m/s
Die Strecke von A bis zur Geraden h beträgt 25m.
Die Strecke von der Geraden h bis zur Geraden g beträgt 35m.
Die Strecke von der Geraden g bis zum Punkt B beträgt 45m.
Man soll den schnellst möglichen Weg von A nach B finden.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen???
mfg
MatheNoob
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:00 So 29.04.2007 | | Autor: | chrisno |
Hallo MatheNoob,
ohne Trick ist das für den 11. Jahrgang etwas schwer. Also, mit etwas Nachdenken kommt man darauf, dass die Richtung des Wegs in G1 und G3 die gleiche sein muss (sonst könnte man einen noch schnelleren Weg finden).
Setze nun einen Punkt P auf h. Berechne die Weglänge AP. Berechne die Zeit für AP.
Aus der obigen Überlegung ergibt sich die Lage des entsprechenden Punkts Q auf g. Berechne QB, die Zeit für QB, PQ, die Zeit für PQ.
Addiere alle drei Zeiten, und suche das Minmum in Abhängigkeit von der Lage von P.
Die Lage von P würde ich durch den Abstand vom Fußpunkt des Lots von A auf h beschreiben.
Die Analogie in der Physik ist der Druchgang eines Lichtstrahls durch eine planparallele Platte.
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> Hallo MatheNoob,
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> ohne Trick ist das für den 11. Jahrgang etwas schwer. Also,
> mit etwas Nachdenken kommt man darauf, dass die Richtung
> des Wegs in G1 und G3 die gleiche sein muss (sonst könnte
> man einen noch schnelleren Weg finden).
das heisst also, dass die Winkel bei A und Q gleich sind?...
> Setze nun einen Punkt P auf h. Berechne die Weglänge AP.
> Berechne die Zeit für AP.
das habe ich gemacht in dem ich für die Strecke PC ( C liegt orthogonal zu A auf h ) eine Variable X eingesetzt habe und dann rausbekommen habe: [mm] \overline{AP} [/mm] = [mm] \wurzel{x²+400}
[/mm]
> Aus der obigen Überlegung ergibt sich die Lage des
> entsprechenden Punkts Q auf g. Berechne QB, die Zeit für
> QB, PQ, die Zeit für PQ.
Liegt Der Punkt Q auf einer Gerade durch den Punkt P die orthogonal zu den Geraden h und g sind???...
> Addiere alle drei Zeiten, und suche das Minmum in
> Abhängigkeit von der Lage von P.
> Die Lage von P würde ich durch den Abstand vom Fußpunkt
> des Lots von A auf h beschreiben.
> Die Analogie in der Physik ist der Druchgang eines
> Lichtstrahls durch eine planparallele Platte.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Do 03.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Di 01.05.2007 | | Autor: | rabilein1 |
mit etwas Nachdenken kommt man darauf, dass die Richtung des Wegs in G1 und G3 die gleiche sein muss
Stimmt. Allerdings bist du auf einem anderen Weg als ich zu diesem Ergebnis gekommen (vermutlich aufgrund deiner Kenntnis über den Verlauf eines Lichtstrahls beim Druchgang von einem Stoff in einen anderen).
Auf "den ersten Blick" wäre ansonsten nicht ohne weiteres zu vermuten, dass die Richtung des Wegs in G1 und G3 die gleiche sein muss.
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Wenn es diese unterschiedlichen Geschwindigkeiten nicht gäbe, dann würde er ja den kürzesten Weg von A nach B nehmen.
Da er aber in G2 vier Mal langsamer ist als in G1 und G3, ist das doch genau so, als ob G2 vier Mal so breit wäre (also 140 m anstatt 35 m). Zeichne also G2 mit 140 m Breite und dann laufe auf dem kürzesten Weg.
Oder ist da ein Denkfehler drin?
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> Wenn es diese unterschiedlichen Geschwindigkeiten nicht
> gäbe, dann würde er ja den kürzesten Weg von A nach B
> nehmen.
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> Da er aber in G2 vier Mal langsamer ist als in G1 und G3,
> ist das doch genau so, als ob G2 vier Mal so breit wäre
> (also 140 m anstatt 35 m). Zeichne also G2 mit 140 m Breite
> und dann laufe auf dem kürzesten Weg.
>
> Oder ist da ein Denkfehler drin?
>
ich weiss nicht ob ich an deiner antwort was falsch verstanden habe, aber die gesamte breite beträgt doch nur 100m oder?? 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:07 Di 01.05.2007 | | Autor: | chrisno |
> > Wenn es diese unterschiedlichen Geschwindigkeiten nicht
> > gäbe, dann würde er ja den kürzesten Weg von A nach B
> > nehmen.
> >
> > Da er aber in G2 vier Mal langsamer ist als in G1 und G3,
> > ist das doch genau so, als ob G2 vier Mal so breit wäre
> > (also 140 m anstatt 35 m). Zeichne also G2 mit 140 m Breite
> > und dann laufe auf dem kürzesten Weg.
Das könnte so gehen, beschwören will ich das nicht. (Inzwschen glaube ich sogar, das es falsch ist)
Anschließend wird dann G2 wieder auf die Ursprungslänge gestaucht.
> >
> > Oder ist da ein Denkfehler drin?
> >
>
> ich weiss nicht ob ich an deiner antwort was falsch
> verstanden habe, aber die gesamte breite beträgt doch nur
> 100m oder??
>
Ja, mit Breite ist die Richtung gemeint, die 35 m lang ist, nicht die, die 100 m lang ist.
Allerdings vermute ich, dass die Aufgabe etwas mit dem Unterricht und dem Lösen von Extremwertproblemen mit Hilfe der Ableitungsfunktion zu tun hat.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:54 Di 01.05.2007 | | Autor: | rabilein1 |
Allerdings vermute ich, dass die Aufgabe etwas mit dem Unterricht und dem Lösen von Extremwertproblemen mit Hilfe der Ableitungsfunktion zu tun hat.
Wie ist das denn, wenn man in einem Koordinatensystem 2 Punkte A und B hat, und man soll diese Punkte auf dem kürzesten Weg verbinden, darf man denn dann nicht einfach diese Punkte mit dem Lineal miteinander verbinden und sagen, dass das der kürzeste Weg ist?
Genau das träfe hier doch zu.
Anschließend wird dann G2 wieder auf die Ursprungslänge gestaucht.
Genau so meinte ich das. Es sind ja nur die beiden Schnittpunkte mit den waagerechten Geraden gesucht.
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