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Minima: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:55 Sa 25.11.2006
Autor: Meltem89

Aufgabe
f(x) gehört zur Schar der Funktionen [mm] fk(x)=(x^2+2kx+k^2)e^-x. [/mm]
Begründen Sie, dass für beliebige k alle Minima der Schar fk(x) auf der x-achse und alle Maxima auf der Funktion g(x) = 4*e^-x liegen. Es genügt die notwendige Bedingung.
( fk ' (x)= [mm] [-x^2 [/mm] + (2-2k) x + ( 2k - [mm] k^2 [/mm] ) ] e^-x)

Hallo ihr Lieben, die Mathe lieben^^

Ich habe ein Problem...Ich weiß dass ich den Beweis für die  Maxima anhand der Ortskurve für Hochpunkte ( in diesem Fall g(x) ) zeigen und auch rechnen kann....Ich weiß aber leider nicht, wie man das für alle Minima beweisen kann.... Wenn ich das notwendige Kriterium ( was hier mit notwendiger Bedingung gemeint ist, oder?) der Extrempunkte anwende, weiß ich nicht, was mir das bringt...Wenn e^-x [mm] \not= [/mm] 0 für alle x [mm] \in [/mm] von [mm] \IR [/mm] ist, dann bleibt noch folgendes übrig:

0= [mm] -x^2 [/mm] + (2-2k) x + ( 2k - [mm] k^2 [/mm] )

Das einige was mir hierfür einfallen würde...wäre vllt. das x1=0 ist ( Ein Produkt ist null, wenn einer der beiden Faktoren null ist ..also für ( 2-2k) x..

Wäre nett, wenn mir einer helfen könnte....

        
Bezug
Minima: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:08 Sa 25.11.2006
Autor: leduart

Hallo Meltem
> f(x) gehört zur Schar der Funktionen
> [mm]fk(x)=(x^2+2kx+k^2)e^-x.[/mm]
>  Begründen Sie, dass für beliebige k alle Minima der Schar
> fk(x) auf der x-achse und alle Maxima auf der Funktion g(x)
> = 4*e^-x liegen. Es genügt die notwendige Bedingung.
>  ( fk ' (x)= [mm][-x^2[/mm] + (2-2k) x + ( 2k - [mm]k^2[/mm] ) ] e^-x)

1: du solltest das Binom richtig schreiben: [mm] f(x)=(x+k)^2*e^{-x} [/mm]
dann siehst du sofort, f(x)>0 für alls [mm] x\ne [/mm] -k.
d.h. das ist die einzige Nullstelle, und auch das Minimum, da es keine kleineren Werte gibt.
Auch die Ableitung bessre [mm] so:f'(x)=2*(x+k)*e^{-x}-(x+k)^2*e^{-x}=(x+k)*e^{-x}*(2-x-k) [/mm]
jetzt hast du wirklich ein Produkt und die 2 Nullstellen x=-k mit f(x)=0 minimum und x=k-2 [mm] f(x)=4*e^{-x} [/mm]
Maximum weil das andere ein Minimum ist.
Und guter Rat: Binome muss man noch im Schlaf und volltrunken erkennen! dann spart man oft viel Arbeit! ;-)
Gruss leduart
Gruss leduart
Nachher weiter, ich muss weg
Gruss leduart

Bezug
                
Bezug
Minima: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:04 Sa 25.11.2006
Autor: Stefan-auchLotti

Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

\text{Hi.}

$f_{k}:f_{k}\left(x\right)=\left(x+k\right)^2*e^{-x}$

\text{Ich würde das erst einmal mit der Produktregel und der Kettenregel ableiten.}

$\Rightarrow f_{k}':f_{k}'\left(x\right)=2\left(x+k\right)*e^{-x}+\left(x+k\right)^2*\left(-e^{-x}\right)=\left[\left(x+k)e^{-x}\right]*\left[2-\left(x+k\right)\right]$

\text{Extremstellen berechnen:}

\text{NB:}\;$f_{k}'\left(x_{0}\right)=0$

$f_{k}'\left(x\right)=0 \gdw \left[\left(x+k\right)e^{-x}\right]*\left[2-\left(x+k\right)\right]=0 \gdw x=-k \vee {e^{-x}=0 \vee x=-k+2$

\text{Doch für die Ortskurve braucht man auch den Funktionswert der beiden Extremkandidaten.}

$f_{k}\left(-k\right)=0$

\text{Hier kannst du schon eine Begründung sehen: Egal, welches k du wählst, der Funktionswert ist immer 0, deshalb liegt das Minimum immer auf der x-Achse.}

$f_{k}\left(-k+2\right)=4*e^{k-2}$

\text{Ortskurve bestimmen. Erst den x-Wert nach k auflösen:}

$x=-k+2 \gdw k=-x+2$

\text{Jetzt in den Funktionswert einsetzen:}

$\Rightarrow y=4*e^{-x+2-2}=4*e^{-x}$

\text{q.e.d.}

\text{Gruß, Stefan.}




Bezug
                        
Bezug
Minima: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:42 Sa 25.11.2006
Autor: Meltem89


Bezug
                                
Bezug
Minima: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:49 Sa 25.11.2006
Autor: Meltem89

oohh...vielen vielen Dank!!! Hatte die binomischen Formel übersehen!!! Dankeee

( habe übrigens ausversehen eine neue Frage losgeschickt...wie kann ich sie denn wieder löschen?)

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