Minimalabstand gesucht < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:20 Di 02.06.2009 | | Autor: | Dinker |
| Aufgabe | | Welcher Punkt der Gerade y = 6x -21 liegt dem graphen von f(x) = [mm] x^{2} [/mm] -4x + 11 mit Definitionsmenge IR am nächsten |
Hallo
Ich habe mir mal irgend eine Parallele gerade zu y = 6x -21 ausgedacht... und diese dann mit der Funktionsgleichung gleichgesetzt
6x + n = [mm] x^{2} [/mm] - 4x + 11
0 = [mm] x^{2} [/mm] - 10x + 11 - n
[mm] x_{1,2} [/mm] = [mm] \bruch{10 \pm \wurzel{56 + 4n} }{2}
[/mm]
= 10 [mm] \pm \wurzel{14 + n}
[/mm]
y = (10 + [mm] \wurzel{14 + n})^{2} [/mm] + 4(10 + [mm] \wurzel{14 + n}) [/mm] + 11
Nun hätte ich gerne anhand des erhaltenen Werte für x und y eine Paramatergleichung aufgestellt: [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] + [mm] \vektor{6 \\ -1}
[/mm]
diese gerade mit der Gerade y = 6x -21 schneiden lassen.
Dann hätte ich einen Abstand, von dessen Funktion ich durch das Errechnen des Tiefpunktes den minimalen Abstand erhalten würde.
Wo liegt der Fehler?
Danke Gruss Dinker
|
|
| |
|
Hallo,
ich hab folgende Ideen:
1. Du brauchst doch die Parallele, welche die Parabel gerade berührt, d.h. die nur einen gemeinsamen Punkt mit ihr hat [mm] \rightarrow [/mm] Die Wurzel muss 0 ergeben [mm] \rightarrow [/mm] n = -14. Den Berührpunkt kannst du dann einfach ermitteln.
Alternative dazu:
1b. Du weißt, dass die Steigung dieser Berührgeraden 6 ist und dass die Parallele im Berührpunkt praktisch die Tangente an die Parabel ist. Also kannst du einfach die Ableitung der Parabel gleich 6 setzen und bekommst so auch den Punkt P(5/16) auf der Parabel raus, wo der Abstand dann später minimal wird.
2. Die Normalengleichungen sind ja auch klar: [mm]n(x)=-\bruch{1}{6}*x+b[/mm] und du brauchst jetzt genau die Normale, die durch den in 1. berechneten Punkt P geht, also P dort einsetzen [mm] \rightarrow[/mm] [mm]n(x)=-\bruch{1}{6}*x+\bruch{101}{6}[/mm].
3. Jetzt den Schnittpunkt dieser Normalen mit der Geraden berechnen, was ja der gesuchte Punkt ist. Bei mir kommt [mm]x \approx 6,13 [/mm] raus. Der Punkt ist dann [mm]Q(6,13/15,78)[/mm]. Vielleicht stecken da noch Rechenfehler drin, aber meine Zeichnung sagt, dass das ungefähr stimmen sollte.
Gruß,
weightgainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:45 Di 02.06.2009 | | Autor: | Dinker |
Danke
Habe annäherungsweise den gleichen Wert erhalten
Gruss Dinker
|
|
|
| |
|
Hallo Dinker,
> Danke
> Habe annäherungsweise den gleichen Wert erhalten
Die richtigen Werte sind:
[mm]x=\bruch{227}{37}=6 \ \bruch{5}{37} = 6.\overline{135}[/mm]
[mm]y=\bruch{585}{37}=15 \ \bruch{30}{37} = 15.\overline{810}[/mm]
>
> Gruss Dinker
Gruß
MathePower
|
|
|
|
