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| Aufgabe | Gegeben ist die Parabel mit y=4-x². Es sollen alle Punkte auf der Parabel bestimmt werden, deren Abstand zum Koordinatenursprung (0/0) minimal ist:
a) Zeichne die Parabel und zeige: f mit f(x)= [mm] \wurzel{x²+(4-x)²} [/mm] ist Zielfunktion
b) Begründe: die Funktion g mit g(x)=x²+(4-x²)² hat genau an der Stelle ein Minimum, an der auch die Funktion f ein Minimum hat.
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Hallo,
ich komme mir selbst schon ein wenig blöd vor, dass ich nicht mehr weiß wie mans rechnet, aber ich brauche es morgen für mein Nachhilfekind.
Mir ist im Prinzip schon klar wie ich es rechnen muss, über Pythagoras und quadrieren und so weiter. Jedoch brauche ich dafür die Herleitung davon... es wäre also ganz toll, wenn mir da jemand helfen könnte.
Vielen Dank im voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:06 Mi 10.10.2007 | | Autor: | Blech |
> Gegeben ist die Parabel mit y=4-x². Es sollen alle Punkte
> auf der Parabel bestimmt werden, deren Abstand zum
> Koordinatenursprung (0/0) minimal ist:
> a) Zeichne die Parabel und zeige: f mit f(x)=
> [mm]\wurzel{x²+(4-x)²}[/mm] ist Zielfunktion
[mm] $y(x):=4-x^2$
[/mm]
Was ist denn der Abstand eines Punktes auf der Parabel (allgemein also (x,y(x)) ) vom Ursprung nach Pythagoras?
(In Deiner Zielfunktion fehlt da übrigens ein Quadrat.)
> b) Begründe: die Funktion g mit g(x)=x²+(4-x²)² hat genau
(Hier steht's aber wieder =)
> an der Stelle ein Minimum, an der auch die Funktion f
> ein Minimum hat.
[mm] $f(x)\geq [/mm] 0$
[mm] $g(x):=f^2(x)$
[/mm]
Was sind die Bedingungen für ein Minimum bei f(x) und bei g(x)?
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| Aufgabe | Gegeben ist die Parabel mit y=4-x². Es sollen alle Punkte
auf der Parabel bestimmt werden, deren Abstand zum
Koordinatenursprung (0/0) minimal ist:
a) Zeichne die Parabel und zeige: f mit f(x)=
ist Zielfunktion .... usw. |
Ja, so weit war mir das ja schon klar, mit Pythagoras und auch, dass ich das hinterher quadrieren muss. Ich möchte nur eben die Herleitung davon, damit meine Nachhilfeschülerin das auch versteht (und ich im übrigen auch). Pythagoras macht ja irgendwo noch Sinn, aber warum muss beim Quadrieren von f(x) das gleiche Minimum heraus komen wie bei g(x)?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:34 Mi 10.10.2007 | | Autor: | Blech |
> Ja, so weit war mir das ja schon klar, mit Pythagoras und
> auch, dass ich das hinterher quadrieren muss. Ich möchte
> nur eben die Herleitung davon, damit meine
> Nachhilfeschülerin das auch versteht (und ich im übrigen
> auch).
Was ist denn der "Abstand" von einem beliebigen Punkt A in der xy-Ebene vom Ursprung? [mm] $|\overrightarrow{0A}|=\sqrt{x_A^2 + y_A^2}$. [/mm]
Das ist nunmal der Abstand, weil wir durch die Einheitsvektoren die Ebene aufspannen und sie nach Definition orthogonal sind.
Oder willst Du ihr den Satz des Pythagoras herleiten?
> Pythagoras macht ja irgendwo noch Sinn, aber warum
> muss beim Quadrieren von f(x) das gleiche Minimum heraus
> komen wie bei g(x)?
$g'(x)=0,\ g''(x)>0\ [mm] \Rightarrow\ [/mm] f'(x)=0,\ f''(x)>0$
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> Oder willst Du ihr den Satz des Pythagoras herleiten?
Nein, den möchte ich natürlich nicht herleiten!
> [mm]g'(x)=0,\ g''(x)>0\ \Rightarrow\ f'(x)=0,\ f''(x)>0[/mm]
Ja, das ist ja meine Frage! Dass das so ist, ist mir mittlerweile klar, nur wo kommt das her? Wieso folgt das daraus?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:49 Mi 10.10.2007 | | Autor: | Blech |
>
> > Oder willst Du ihr den Satz des Pythagoras herleiten?
>
> Nein, den möchte ich natürlich nicht herleiten!
Dann sehe ich nicht, was Deine Frage ist.
>
> > [mm]g'(x)=0,\ g''(x)>0\ \Rightarrow\ f'(x)=0,\ f''(x)>0[/mm]
>
> Ja, das ist ja meine Frage! Dass das so ist, ist mir
> mittlerweile klar, nur wo kommt das her? Wieso folgt das
> daraus?
Wie oben schon geschrieben:
[mm] g(x):=f^2(x)
[/mm]
Setz es ein.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:56 Mi 10.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Wenn deine Funktion g an einer Stelle einen kleinsten Wert hat (also dein Minimum), dann an der Stelle auch noch der kleinste Wert sein, wenn du die Funktion quadrierst. Klar wieso?
Aber eine Sache gibt es zu beachten: das gilt nur, wenn der Tiefpunkt über der x-Achse liegt! Also im Bereich der positiven y-Achse.
Wenn du dir z.B. die Funktion f(x)=x²-4 vorstellst... hat einen Tiefpunkt bei T(0|4).
Wenn du [f(x)].² bildest, also [f(x)]²g(x)=(x²-4)², dann wird g(x) and er Stelle auch einen Extrempunkt haben wie f, nur dass sich der Tiefpunkt in einen Hochpunkt verwandelt (da ja alle negativen Funktionswerte von f dann positiv gemacht werden durch das ²).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:22 Mi 10.10.2007 | | Autor: | Yvonne211 |
Danke, jetzt hab ichs auch endlich! Schönen Abend noch!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:23 Mi 10.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Ok! :) Gleichfalls.
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