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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:16 Mi 05.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Gegeben sind die Funktionen [mm] f(x)=e^{-x} [/mm] und [mm] g(x)=-e^{x-1}.
[/mm]
Für welchen Wert von x wird Differenz der Funktionswerte von f und g minimal?Fertigen Sie zunächst eine Skizze an. |
Hallo nochmal ^^
Die Skizze hab ich schon angefertigt,aber bei der Aufgabe komme ich nicht mehr weiter,ich hab zuerst die Differenzfunktion gebildet:
[mm] f(x)-g(x)=e^{-x}+e^{x-1}=d(x)
[/mm]
[mm] d'(x)=-e^{-x}+e^{x-1}=0
[/mm]
Jetzt stoß ich wieder an meinem üblichen Problem,ich weiß nicht wie ich die Nullstellen der Ableitung rauskriegen soll ??? =(
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Hallo Mandy!
Multipliziere die Gleichung mal mit [mm] $e^x$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:00 Mi 05.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy!
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> Multipliziere die Gleichung mal mit [mm]e^x[/mm] .
>
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ok,danke,hab ich jetzt gemacht und hab für x=0.5 raus stimmt das so?
Noch ne Frage,wie kommt man drauf,sowas zu machen,also ich wär selbst wahrscheinlich nie drauf gekommen die Gleichung mit [mm] e^{x} [/mm] zu multiplizieren,gibts da nen Trick oder so?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:11 Mi 05.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo Mandy!
> >
> >
> > Multipliziere die Gleichung mal mit [mm]e^x[/mm] .
> >
> >
>
> ok,danke,hab ich jetzt gemacht und hab für x=0.5 raus
> stimmt das so?
Ja.
> Noch ne Frage,wie kommt man drauf,sowas zu machen,also ich
> wär selbst wahrscheinlich nie drauf gekommen die Gleichung
> mit [mm]e^{x}[/mm] zu multiplizieren,gibts da nen Trick oder so?
Der Trick ist eben diese Multiplikation ! Jetzt kennst Du ihn auch. Vergesse ihn nicht.
Zur Übung: löse die Gleichung [mm] e^x-2e^{-x} [/mm] = 4
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 Mi 05.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Der Trick ist eben diese Multiplikation ! Jetzt kennst Du
> ihn auch. Vergesse ihn nicht.
>
> Zur Übung: löse die Gleichung [mm]e^x-2e^{-x}[/mm] = 4
>
>
Ok,ich hab jetzt versucht die Gleichung zu lösen,aber irgendwie klappt da noch nicht so richtig,also bin so vorgegangen:
[mm] e^{x}-2e^{-x}=4 [/mm]
das multipliziere ich mit [mm] e^x [/mm] und habe
[mm] e^{2x}-2e^{0}=4e^{-x}
[/mm]
[mm] e^{2x}-2=4e^{-x}
[/mm]
[mm] e^{2x}-4e^{-x}=2
[/mm]
hier kam ich nicht mehr weiter und hab mir gedacht diese Gleichung mit [mm] e^{-x} [/mm] zu multiplizieren,aber irgendwie bringt mich das auch nicht weiter...?Irgendwie hab ichs noch nicht so mit diesen Gleichungen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:40 Mi 05.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Pardon, hatte ich oben vergessen: der Trick geht noch weiter:
Nach der Multiplikation mit [mm] e^x [/mm] setze t = [mm] e^x. [/mm] Du erhälst dann eine quadratische Gleichung für t.
Beispiel: $ [mm] e^x-2e^{-x} [/mm] $ = 4
Mult. mit [mm] e^x [/mm] liefert: [mm] (e^x)^2 [/mm] -2 = [mm] 4e^x
[/mm]
Mit t = [mm] e^x [/mm] bekommen wir: [mm] t^2-2 [/mm] = 4t
oder [mm] t^2 [/mm] -4t -2 = 0. D.h: [mm] t_{1/2} [/mm] = 2 [mm] \pm \wurzel{6}
[/mm]
Da t = [mm] e^x [/mm] >0, kommt nur t = 2 + [mm] \wurzel{6} [/mm] als Lösung in Frage,
also [mm] e^x [/mm] = 2 + [mm] \wurzel{6} [/mm] und somit x = ln(2 + [mm] \wurzel{6})
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:57 Mi 05.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
hat sich erledigt ^^
lg
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