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| Aufgabe | Sei G eine endliche Gruppe der Ordnung n, sei n = a*b eine Zerlegung in Teilerfremde Faktoren a, b > 1. Zeigen Sie:
a) Es gibt einen minimalen Normalteiler N in G mit zu b teilerfremdem Index [G:N].
b) Der Normalteiler in a) ist die von der Teilmenge [mm]\left\{ g^a ; g \in G \right\}[/mm] erzeugte Untergruppe von G. |
Vorab schon mal: Diese Aufgabe enstammt dem Staatsexamen Lehramt Mathematik GY Bayern vom Frühjahr 2004.
Ich weiß bei Aufgabe a) nicht recht wie ich rangehen soll. Soll man allgemein alle Links-/Rechtsnebenklassen bestimmen, oder gehe ich da von der falschen Seite ran?
Ich dachte dann mach ich zuerst mal die Aufgabe b), aber ich komme nur weiter, wenn ich von einer zyklischen Gruppe ausgehen könnte, das ist aber hier leider nicht der Fall. Ich habe auch schon versucht Beispiele zu finden, habe aber kläglich versagt.
Ich muss davon ausgehen, dass mindestens zwei Elemente von G benötigt werden, um G zu erzeugen. aber wie kann ich beweisen, dass dieses eine g genau den Normalteiler erzeugt?
Ich denke, dass man daraus folgern kann, dass ein einzelnes Element ja eine echte Teilmenge von G erzeugt.
Meine weiteren Gedanken verlaufen alle im Sande, leider Gottes!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:54 Fr 28.04.2006 | | Autor: | goeba |
Hallo,
ich habe mal etwas über die Aufgabe nachgedacht und auf die Schnelle keine vollständige Lösung gefunden. Ich weiß ja auch nicht, welche Sätze Euch zur Verfügung stehen.
Ich dachte erst, ich hätte einen Beweis für die Normalität, aber das kommt auch nicht hin.
Folgende Dinge sind mir eingefallen, leider bin ich auf dem Gebiet aber sehr eingerostet:
- es sei [mm]x \in G[/mm]. Dann ist [mm]x^a \in U[/mm], wobei U die Untergruppe aus Aufgabe b sein soll.
Dann ist [mm] x \cdot x^a \cdot x^{-1} = x \cdot x^{a-1} = x^a [/mm].
Damit wäre zumindest schon mal die Schnittmenge von U und [mm]x U x^{-1} [/mm]
nicht leer, und zwar für jedes x aus G.
Dann habe ich mir überlegt, dass man vielleicht mit der Bahnengleichung zeigen könnte, dass also die Bahn von U unter der Konjugationsaktion U selbst ist, und damit wäre U Normalteiler. Das kriege ich aber nicht so ganz hin.
- ferner denke ich: Alle Elemente von U haben höchstens Ordnung b.
Ich habe keine Ahnung, warum der Normalteiler schon minimal sein soll.
Also: Keine Lösung, aber vielleicht Denkanstöße.
Viele Grüße,
Andreas
> Sei G eine endliche Gruppe der Ordnung n, sei n = a*b eine
> Zerlegung in Teilerfremde Faktoren a, b > 1. Zeigen Sie:
> a) Es gibt einen minimalen Normalteiler N in G mit zu b
> teilerfremdem Index [G:N].
> b) Der Normalteiler in a) ist die von der Teilmenge
> [mm]\left\{ g^a ; g \in G \right\}[/mm] erzeugte Untergruppe von
> G.
> Vorab schon mal: Diese Aufgabe enstammt dem Staatsexamen
> Lehramt Mathematik GY Bayern vom Frühjahr 2004.
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> Ich weiß bei Aufgabe a) nicht recht wie ich rangehen soll.
> Soll man allgemein alle Links-/Rechtsnebenklassen
> bestimmen, oder gehe ich da von der falschen Seite ran?
>
> Ich dachte dann mach ich zuerst mal die Aufgabe b), aber
> ich komme nur weiter, wenn ich von einer zyklischen Gruppe
> ausgehen könnte, das ist aber hier leider nicht der Fall.
> Ich habe auch schon versucht Beispiele zu finden, habe aber
> kläglich versagt.
> Ich muss davon ausgehen, dass mindestens zwei Elemente von
> G benötigt werden, um G zu erzeugen. aber wie kann ich
> beweisen, dass dieses eine g genau den Normalteiler
> erzeugt?
> Ich denke, dass man daraus folgern kann, dass ein
> einzelnes Element ja eine echte Teilmenge von G erzeugt.
> Meine weiteren Gedanken verlaufen alle im Sande, leider
> Gottes!!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Hallo Andreas,
danke für die Anstöße!
Ich werde morgen gleich als erstes versuchen zu einer Lösung zu kommen, ich geb dann Bescheid was ich rausgefunden habe.
Die Themen haben wir alle bearbeitet, war nichts unbekanntes dabei!
Ich versuchs mal und poste dann meine Ergebnisse!
Liebe Grüße,
Nicole
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:59 Mo 01.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Nicole!
> Sei G eine endliche Gruppe der Ordnung n, sei n = a*b eine
> Zerlegung in Teilerfremde Faktoren a, b > 1. Zeigen Sie:
> a) Es gibt einen minimalen Normalteiler N in G mit zu b
> teilerfremdem Index [G:N].
> b) Der Normalteiler in a) ist die von der Teilmenge
> [mm]\left\{ g^a ; g \in G \right\}[/mm] erzeugte Untergruppe von
> G.
> Vorab schon mal: Diese Aufgabe enstammt dem Staatsexamen
> Lehramt Mathematik GY Bayern vom Frühjahr 2004.
Also a) wuerde ich wie folgt beweisen:
Beweise zuerst die folgende Aussage (*):
Sind $N, M$ Normalteiler in $G$ mit $[G:N], [G:M]$ beide teilerfremd zu $b$, so ist auch $N [mm] \cap [/mm] M$ ein Normalteriler in $G$ mit $[G : N [mm] \cap [/mm] M]$ teilerfremd zu $b$.
Wenn du diese Aussage hast, nimmst du einfach den Schnitt ueber alle Normalteiler $N [mm] \subseteq [/mm] G$ mit $[G:N]$ teilerfremd zu $b$. Da nur endlich viele Normalteiler im Schnitt vorkommen ist das Ergebnis somit ein Normalteiler mit den geforderten Eigenschaften!
Nun zur Aussage (*):
Es ist $[G : N [mm] \cap [/mm] M] = [G : N] [N : N [mm] \cap [/mm] M]$ nach Lagrange. Nach Voraussetzung ist $[G : N]$ teilerfremd zu $b$. Wir muessen also zeigen, dass $[N : N [mm] \cap [/mm] M]$ teilerfremd zu $b$ ist.
Nach dem ersten Isomorphiesatz ist $N/(N [mm] \cap [/mm] M) [mm] \cong [/mm] N M / M$, wobei $N M$ das Kompositum von $N$ und $M$ ist. Nun ist $[N : N [mm] \cap [/mm] M] = [mm] \abs{N/(N \cap M)} [/mm] = [mm] \abs{N M/M} [/mm] = [N M : M]$.
Da $N M$ zwischen $G$ und $M$ liegt, ist $[G : M] = [G : N M] [N M : M]$. Also ist $[N : N [mm] \cap [/mm] M]$ ein Teiler von $[G : M]$, insbesondere also teilerfremd zu $b$.
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:18 Mo 01.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Nicole!
> Sei G eine endliche Gruppe der Ordnung n, sei n = a*b eine
> Zerlegung in Teilerfremde Faktoren a, b > 1. Zeigen Sie:
> a) Es gibt einen minimalen Normalteiler N in G mit zu b
> teilerfremdem Index [G:N].
> b) Der Normalteiler in a) ist die von der Teilmenge
> [mm]\left\{ g^a ; g \in G \right\}[/mm] erzeugte Untergruppe von
> G.
Zu b): Sei $N$ der minimale Normalteiler aus a). Dann ist $[G:N] = |G/N| = a b$ ein Teiler von $G$ und $|G/N|$ ist teilerfremd zu $b$. Folglich muss $|G/N|$ ein Teiler von $a$ sein. Ist $g N [mm] \in [/mm] G/N$, so ist also $(g [mm] N)^a [/mm] = N$.
Das bedeutet also: Ist $g [mm] \in [/mm] G$, so ist [mm] $g^a \in [/mm] N$. Also ist auch insbesondere die von den [mm] $g^a, [/mm] g [mm] \in [/mm] G$ erzeugte Untergruppe in $N$ enthalten.
Fuer die andere Inklusion hab ich grad keine Idee...
LG Felix
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Hallo Felix,, das ist ja eh schon super!
Ich werd mir auf alle Fälle morgen noch Gedanken drüber machen, wie man die zweite Inklusion beweisen kann!
Heute bin ich schon zu müde, die letzten Nächte waren eh schon zu kurz.
Das kommt davon wenn die große Liebe die MAthematik ist!! *g*
LG
Nicole
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:32 Mi 03.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Nicole!
Jetzt, wo die Aufgabe endlich geloest ist (der letzte Teil der Loesung ist bei einer Diskussion mit einem Freund entstanden) wollte ich mich fuer diese Aufgabe bedanken, war schoen endlich mal wieder ueber was spannendes ueber Gruppen nachzudenken (und das auch noch fuer so lange Zeit  )!
> Heute bin ich schon zu müde, die letzten Nächte waren eh
> schon zu kurz.
> Das kommt davon wenn die große Liebe die MAthematik ist!!
> *g*
Ja, das Problem kenn ich zu gut! (Und ich wollte heute eigentlich gaaanz ganz frueh ins Bett gehn... Tja. Soviel zum Thema...)
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:19 Mi 03.05.2006 | | Autor: | felixf |
So, weiter gehts
Sei $G$ die Gruppe mit $|G| = a b$, $a, b$ teilerfremd, und $U$ die von [mm] $\{ g^a \mid g \in G \}$ [/mm] erzeugte Untergruppe.
Behauptung: $U$ ist ein Normalteiler.
Sei $g [mm] \in [/mm] G$ und $x [mm] \in [/mm] U$. Dann ist $x = [mm] g_1^a \cdots g_k^a$ [/mm] mit [mm] $g_1, \dots, g_k \in [/mm] G$. (Inverse sind da schon dabei, da [mm] $(g^a)^{-1} [/mm] = [mm] (g^{-1})^a$ [/mm] ist.) Nun ist $g x [mm] g^{-1} [/mm] = (g [mm] g_1 g^{-1})^a \cdots [/mm] (g [mm] g_k g^{-1})^a$, [/mm] also liegt $g x [mm] g^{-1}$ [/mm] wieder in $U$! Da $g$, $x$ beliebig folgt, dass $U$ ein Normalteiler ist.
Behauptung: $[G : U]$ ist teilerfremd zu $b$.
Andernfalls gibt es eine Primzahl $p$, welche $[G : U]$ und $b$ teilt. Nach den Sylowschen $p$-Saetzen gibt es somit ein $g U [mm] \in [/mm] G/U$, welches die Ordnung $p$ hat. Nun ist jedoch $(g [mm] U)^a [/mm] = [mm] g^a [/mm] U = U$, da [mm] $g^a \in [/mm] U$ ist. Aber damit muss $p$ ein Teiler von $a$ sein, womit $a$ und $b$ nicht teilerfremd sind!
Zusammenfassung: $U$ ist ein Normalteiler und $[G : U]$ ist teilerfremd zu $b$. Da wir schon wissen, dass $U$ im minimalen Normalteiler enthalten ist, dessen Index in $G$ teilerfremd zu $b$ ist, muss $U$ also der minimale Normalteiler sein!
LG Felix
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