Minimalpolynom < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:41 So 29.06.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | | Geben Sie das Minimalpolynom an. |
Hi,
ich habe folgendes charakteristisches Polynom berechnet:
[mm] $\chi_A(\lambda)=(1-\lambda)^2\lambda$
[/mm]
Dann ist das Minimalpolynom doch einfach
[mm] $\mu_A(\lambda)=(1-\lambda)\lambda$
[/mm]
Besteht das Minimalpolynom generell immer einfach aus dem faktorisierten charakteristischem Polynom, wobei jede Nullstelle nur einmal vorkommt?
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Dann nimm einmal die Matrix
[mm]A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 So 29.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Ich weiß, dass es auch Matrizen geben kann die im reellen keine Nullstelle haben und es stark auf den Körper ankommt.
Deine Beispielmatrix sollte das charakteristische Polynom Null haben.
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Nein. [mm]A[/mm] hat genau dein charakteristisches Polynom. Aber welches Minimalpolynom?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:40 So 29.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Ach klar, ich habe einfach die Determinante berechnet und nicht Lambda von der Diagonalen subtrahiert...
Das Minimalpolynom sollte hier gleich dem charakteristischem Polynom sein, aber ich weiß nicht warum...
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Das Minimalpolynom muß von kleinstem Grad sein und die Matrix annullieren. Jetzt rechne aus:
[mm](E-A) \cdot A = 0 \ \ \text{???}[/mm]
Wenn das der Fall ist, dann ist [mm](1-t) \cdot t[/mm] das Minimalpolynom. Ist es nicht der Fall, dann muß [mm](1-t)^2 \cdot t[/mm] das Minimalpolynom sein. Denn etwas anderes bleibt nicht mehr übrig, weil das Minimalpolynom immer ein Teiler des charakteristischen Polynoms sein und sämtliche Nullstellen des charakteristischen Polynoms enthalten muß.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:53 So 29.06.2014 | | Autor: | YuSul |
[mm] $(E-A)A\neq [/mm] 0$
wenn ich mich nicht verrechnet habe.
Ist das die Anwendung des Satzes von Cayley-Hamiltion?
Ich sehe leider gerade nicht den Zusammenhang in dieser Rechnung mit dem Minimalpolynom.
Hier subtrahiere ich ja nur die Einheitsmatrix von der gegebenen Matrix und multipliziere dies dann noch mal mit der Matrix A.
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Setzt man die Matrix [mm]A[/mm] in das charakteristische Polynom ein, dann ergibt sich immer die Nullmatrix. Da [mm](1-t)^2 \cdot t[/mm] aber das charakteristische Polynom von [mm][/mm]A ist, muß sich zwangsläufig [mm](E-A)^2 \cdot A = 0[/mm] ergeben. Genau das sagt Cayley-Hamilton.
Und das Minimalpolynom ist nun immer der Teiler kleinsten Grades des charakteristischen Polynoms, der die Matrix annulliert. Ferner gibt es einen Satz, daß das Minimalpolynom sämtliche Nullstellen des charakteristischen Polynoms enthalten muß. Von vorneherein kommen im Beispiel also nur zwei Polynome als Minimalpolynome von [mm]A[/mm] in Frage: [mm](1-t) \cdot t[/mm] und [mm](1-t)^2 \cdot t[/mm]. Und wie du gerade ausprobiert hast, annulliert das erste Polynom die Matrix nicht. Also ist das zweite Polynom das Minimalpolynom.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:24 So 29.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Gibt es auch eine elegantere Möglichkeit das Minimalpolynom zu bestimmen ohne später noch diese Proberechnung durchzuführen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Mi 02.07.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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