Minimalpolynom < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:13 Sa 04.03.2006 | | Autor: | Rhia |
| Aufgabe | | Es sei [mm]2 \le n \in \IN[/mm] und [mm]A\in \IC^{n \times n}[/mm]. Das Minimalpolynom [mm] \mu_A[/mm] von A sei gleich [mm] \produkt_{i=1}^{k} (X- \alpha_i)[/mm] für ein [mm]k \in \IN[/mm] mit [mm]1 \le k \le n[/mm] und es gelte [mm] \alpha_i \not= \alpha_j[/mm] für [mm]i\not= j[/mm] und [mm] \alpha_i^{n_i}=1[/mm] für gewisse [mm]1\le n_i \in \IN[/mm] und alle [mm]1 \le i \le k[/mm]. Zeigen Sie, dass es ein [mm]1 \le m \in \IN[/mm] gibt, für das [mm]A^m = E_n[/mm] ist. |
Hallo,
ich lerne gerade La für eine Klausur und bei der Aufgabe weiß ich einfach nicht so recht weiter. also ich meine, ich weiß ja, dass A diagonalisierbar ist aber irgendwie weiß ich da grad wirklich nicht weiter. Und ich habe noch eine Aufgabe wo ich einfach kein Packan finden will, aber ich eröffne dazu einen neuen Frageatikel.
Danke im voraus.
Rhia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:44 Sa 04.03.2006 | | Autor: | felixf |
> Es sei [mm]2 \le n \in \IN[/mm] und [mm]A\in \IC^{n \times n}[/mm]. Das
> Minimalpolynom [mm]\mu_A[/mm] von A sei gleich [mm]\produkt_{i=1}^{k} (X- \alpha_i)[/mm]
> für ein [mm]k \in \IN[/mm] mit [mm]1 \le k \le n[/mm] und es gelte [mm]\alpha_i \not= \alpha_j[/mm]
> für [mm]i\not= j[/mm] und [mm]\alpha_i^{n_i}=1[/mm] für gewisse [mm]1\le n_i \in \IN[/mm]
> und alle [mm]1 \le i \le k[/mm]. Zeigen Sie, dass es ein [mm]1 \le m \in \IN[/mm]
> gibt, für das [mm]A^m = E_n[/mm] ist.
> Hallo,
>
> ich lerne gerade La für eine Klausur und bei der Aufgabe
> weiß ich einfach nicht so recht weiter. also ich meine, ich
> weiß ja, dass A diagonalisierbar ist aber irgendwie weiß
Das ist schonmal gut. Also gibt es eine invertierbare Matrix $T$ und eine Diagonalmatrix $D$ mit $D = T A [mm] T^{-1}$. [/mm] Weisst du, was auf der Diagonalen von $D$ fuer Eintraege stehen?
> ich da grad wirklich nicht weiter. Und ich habe noch eine
> Aufgabe wo ich einfach kein Packan finden will, aber ich
> eröffne dazu einen neuen Frageatikel.
Probier doch mal $m = [mm] \prod_{i=1}^k n_i$ [/mm] aus: [mm] $A^m [/mm] = [mm] (T^{-1} [/mm] D [mm] T)^m [/mm] = [mm] D^m [/mm] = ...$ (ueberleg dir insbesondere, warum das zweite Gleichheitszeichen gilt!).
LG Felix
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