Minimalpolynom < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:43 Di 02.05.2006 | | Autor: | mushroom |
| Aufgabe | Sei $A$ eine reelle, invertierbare Matrix, deren Minimalpolynom [mm] $M_A$ [/mm] mit dem charakteristischen Polynom von $A$ übereinstimmt und $B$ die Inverse von $A$. Zeigen Sie, daß für das Minimalpolynom [mm] $M_B$ [/mm] von $B$ gilt:
[mm] [center]$M_B(x) [/mm] = [mm] \frac{x^n}{M_A(0)}M_A(x^{-1})$[/center]
[/mm]
Dabei bezeichne $n$ den Grad von [mm] $M_A$. [/mm] |
Hallo,
habe bisher folgendes:
Mit
[mm] $\begin{align}
M_A(0) &= P_A(0)=\det(A-0\cdot E_n) = \det A \nonumber\\
M_B(x) &= \det(B-xE_n) ) = \det(A^{-1}-xE_n) \nonumber\\
M_A(x^{-1}) &= \det(A-x^{-1}E_n)\nonumber
\end{align*}$
[/mm]
folgt
[mm] $\begin{align}
M_B(x) &= \frac{x^n}{M_A(0)}M_A(x^{-1})\nonumber\\
\iff \det(A^{-1}-xE_n) &= \frac{x^n}{\det A} \det(A-x^{-1}E_n) \nonumber\\
\iff \det(A^{-1}-xE_n)\det A &= x^n \det(A-x^{-1}E_n) \nonumber\\
\iff \det(A^{-1}A - AxE_n) &= \det(xA-x^{-1}xE_n) \nonumber\\
\iff \det(E_n - Ax) &= \det(Ax-E_n)\nonumber
\end{align*}$
[/mm]
Nun habe ich ja das Problem in der letzten Zeile, denn die Gleichheit stimmt ja nicht. Ich kann allerdings auch keinen Fehler in meiner Rechnung entdecken.
Bin für jede Hilfe dankbar.
Gruß
Markus
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:19 Mi 03.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei [mm]A[/mm] eine reelle, invertierbare Matrix, deren
> Minimalpolynom [mm]M_A[/mm] mit dem charakteristischen Polynom von [mm]A[/mm]
> übereinstimmt und [mm]B[/mm] die Inverse von [mm]A[/mm]. Zeigen Sie, daß für
> das Minimalpolynom [mm]M_B[/mm] von [mm]B[/mm] gilt:
> [mm]M_B(x) = \frac{x^n}{M_A(0)}M_A(x^{-1})[/mm]
> Dabei bezeichne [mm]n[/mm]
> den Grad von [mm]M_A[/mm].
> Hallo,
>
> habe bisher folgendes:
>
> Mit
>
> [mm]$\begin{align}
M_A(0) &= P_A(0)=\det(A-0\cdot E_n) = \det A \nonumber\\
M_B(x) &= \det(B-xE_n) ) = \det(A^{-1}-xE_n) \nonumber\\
M_A(x^{-1}) &= \det(A-x^{-1}E_n)\nonumber
\end{align*}$[/mm]
Woher weisst du, dass das Minimalpolynom von $B$ mit dem charakteristischen Polynom von $B$ uebereinstimmt? Das musst du noch zeigen!
> [mm]$\begin{align}
M_B(x) &= \frac{x^n}{M_A(0)}M_A(x^{-1})\nonumber\\
\iff \det(A^{-1}-xE_n) &= \frac{x^n}{\det A} \det(A-x^{-1}E_n) \nonumber\\
\iff \det(A^{-1}-xE_n)\det A &= x^n \det(A-x^{-1}E_n) \nonumber\\
\iff \det(A^{-1}A - AxE_n) &= \det(xA-x^{-1}xE_n) \nonumber\\
\iff \det(E_n - Ax) &= \det(Ax-E_n)\nonumber
\end{align*}$[/mm]
>
> Nun habe ich ja das Problem in der letzten Zeile, denn die
> Gleichheit stimmt ja nicht. Ich kann allerdings auch keinen
> Fehler in meiner Rechnung entdecken.
Es gibt zwei Fehlerquellen:
a) in der Aufgabenstellung fehlt ein [mm] $(-1)^n$ [/mm] auf einer der beiden Seiten.
b) du verwendest die falsche Definition von charakteristisches Polynom: [mm] $\det(B-xE_n)$ [/mm] ist fuer gerades $n$ normiert, fuer ungerades $n$ nicht. Meistens verwendet man deswegen [mm] $\det(xE_n [/mm] - B)$.
LG Felix
|
|
|
|
