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| Aufgabe | Gegegeben sei die folgende Matrix mit a, b, wobei a ungleich b ist.
a 1 0 0 0
0 a 1 0 0
0 0 a 0 0
0 0 0 b 0
0 0 0 0 b
Zeigen sie dass das charakteristische Polynom so aussieht:
p(x) = [mm] -(x-a)^3 [/mm] * [mm] (x-b)^2
[/mm]
Zeigen sie weiterhin, dass das Minimalpoylinom so aussieht:
u(x) = [mm] (x-a)^3 [/mm] * (x-b).
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Den ersten Teil, hab ich alleine geschafft. Man musste einfach nur die Diagonalelemente der Matrix A-x*I multiplizieren.
Beim zweiten Teil weiß ich nicht so genau, wie ich das Minimalpolynom ausrechnen soll.
Das Minimalpolynom ist ja ein vielfaches vom charakteristischen Polynom, aber das hilft mir hier nicht viel weiter.
Ich habe diese Frage auf keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo margitbrunner,
> Gegegeben sei die folgende Matrix mit a, b, wobei a
> ungleich b ist.
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> a 1 0 0 0
> 0 a 1 0 0
> 0 0 a 0 0
> 0 0 0 b 0
> 0 0 0 0 b
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> Zeigen sie dass das charakteristische Polynom so aussieht:
> p(x) = [mm]-(x-a)^3[/mm] * [mm](x-b)^2[/mm]
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> Zeigen sie weiterhin, dass das Minimalpoylinom so
> aussieht:
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> u(x) = [mm](x-a)^3[/mm] * (x-b).
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> Den ersten Teil, hab ich alleine geschafft. Man musste
> einfach nur die Diagonalelemente der Matrix A-x*I
> multiplizieren.
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> Beim zweiten Teil weiß ich nicht so genau, wie ich das
> Minimalpolynom ausrechnen soll.
> Das Minimalpolynom ist ja ein vielfaches vom
> charakteristischen Polynom, aber das hilft mir hier nicht
> viel weiter.
Nein. Das Minimalpolynom teilt das charakteristische Polynom.
Ist A die obige Matrix, so ist das Minimalpolynom wie folgt zu berechnen:
[mm]p\left(A\right)=-\left(A-a*I\right)^{k}*\left(A-b*I\right)^{l}[/mm]
Hier sind k und l die kleinsten Zahlen für welche gilt:
[mm]p\left(A\right)=0[/mm]
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> Ich habe diese Frage auf keinem anderen Forum gestellt.
>
Gruß
MathePower
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Danke, das hat mir sehr weitergeholfen
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