Minimalpolynom < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:40 Di 05.05.2009 | | Autor: | Lati |
| Aufgabe | Beweisen Sie folgendes Lemma:
1. [mm] \mu_{A,b}(\lambda)=\mu_{S^{-1}AS,S^{-1}b}(\lambda), [/mm] wobei
[mm] \mu_{A,b}(\lambda)= \lambda^{m*}+\summe_{j=0}^{m*-1} \alpha_{j}\lambda^{j} [/mm] das Minimalpolynom von b bzgl A darstellt.(Bei A handelt es sich selbstverständlich um eine Matrix und bei b um einen Vektor)
2. [mm] K(A,b)=K(A-\lambda*I,b) [/mm] , [mm] \lambda \in \IC, [/mm] wobei es sich bei K um den Krylov-UR handelt. Hier handelt es sich bei K(A,b):=imK(A,b)=im([b/Ab/A^2b/.../A^(m-1)b])
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Hallo zusammen,
eigentlich versteh ich fast gar nicht was hier gefragt ist,geschweige denn wie ich vorgehen könnte.
Ich verstehe schon gar nicht was es überhaupt bedeutet, dass [mm] \mu_{A,b}(\lambda) [/mm] Minimalpolynom von b bzgl. A sein soll. In der Def. kommt doch b nirgends vor.Oder was übersehe ich hier?
zu 1. Deswegen weiß ich auch hier gar nicht wie ich jetzt vorgehen könnte um das zu zeigen. Kann man hier irgendwie einsetzen oder soll ich [mm] S^{1}AS [/mm] als Ähnlichkeitsmatrix B auffassen?
zu 2. Auch hier fehlt mir der Ansatz.
Vielen Dank für jegliche Tipps!!!
Viele Grüße
Lati
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Hallo
Vielleicht solltest du die dort auftauchenden Objekte genauer definieren.
Anhand der rienen Aufgabe ist es aus notationsgründen schwierig dir zu helfen.
Grüße Elvis
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> Beweisen Sie folgendes Lemma:
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> 1. [mm]\mu_{A,b}(\lambda)=\mu_{S^{-1}AS,S^{-1}b}(\lambda),[/mm]
> wobei
> [mm]\mu_{A,b}(\lambda)= \lambda^{m*}+\summe_{j=0}^{m*-1} \alpha_{j}\lambda^{j}[/mm]
> das Minimalpolynom von b bzgl A darstellt.(Bei A handelt es
> sich selbstverständlich um eine Matrix und bei b um einen
> Vektor)
>
> 2. [mm]K(A,b)=K(A-\lambda*I,b)[/mm] , [mm]\lambda \in \IC,[/mm] wobei es sich
> bei K um den Krylov-UR handelt. Hier handelt es sich bei
> K(A,b):=imK(A,b)=im([b/Ab/A^2b/.../A^(m-1)b])
>
> Ich verstehe schon gar nicht was es überhaupt bedeutet,
> dass [mm]\mu_{A,b}(\lambda)[/mm] Minimalpolynom von b bzgl. A sein
> soll. In der Def. kommt doch b nirgends vor.Oder was
> übersehe ich hier?
Hallo,
dies war das zweite , worüber ich stolperte.
Ich fürchte, Du wirst zu diesem Thema Deine Unterlagen (Vorlesungsmitschrift, Proseminarunterlagen, Skript, Dein schlaues Buch) befragen müssen...
Aufgrund der von Dir angefügten Ergänzungen zu 2. könnte ich mir denken, daß hier mit A,b die Matrix gemeint ist, die die m Vektoren b, Ab, A^2b,..., [mm] A^{m-1}b [/mm] in den Spalten hat.
das erste: wenn eine Matrix A vorkommt und ein Vektor b, dann fragt man sich natürlich gleich, welches Format die haben, und woher die Einträge stammen.
Wenn sich hinter A,b das Obige verbirgt, dann muß (wg. des Minimalpolynoms) ja b m Einträge haben und A vom Format mxm sein.
> zu 1. Deswegen weiß ich auch hier gar nicht wie ich jetzt
> vorgehen könnte um das zu zeigen. Kann man hier irgendwie
> einsetzen oder soll ich [mm]S^{1}AS[/mm] als Ähnlichkeitsmatrix B
> auffassen?
Klar, [mm] S^{1}AS [/mm] ist ähnlich zu A.
(Ich frage mich, ob in Vorlesung, Proseminar, oder was weiß ich bereits etwas über [mm] \mu_{A,b} [/mm] gesagt wurde, was man vielleicht verwenden könnte. Eigentlich vermute ich das.)
Anfangen würde ich hier mal so, daß ich versuchen würde zu zeigen, daß
[mm] \mu_{A,b}(S^{-1}AS,S^{-1}b)=0 [/mm] ist.
Das wäre ja schonmal ein Schritt in Richtung Minimalpolynom.
>
> zu 2. Auch hier fehlt mir der Ansatz.
Ich frage mich hier: ist das [mm] \lambda [/mm] irgendeine beliebige Zahl? Oder ein Eigenwert? Das sieht ja schon irgendwie nach Hauptvektorketten aus.
Und das m? Irgendein beliebiges? War da nicht was mit 'nem minimalen m?
Ich könnte mir auch vorstellen, daß der genaue Aufgabentext inklusive der einleitenden Worte (!) wie "es seien" hilfreich wäre.
Neben den benötigten Definitionen wäre vielleicht der genaue Aufgabentext inkl. der einleitenden Worte nicht so schlecht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:42 Mi 06.05.2009 | | Autor: | Lati |
> > Beweisen Sie folgendes Lemma:
> >
> > 1. [mm]\mu_{A,b}(\lambda)=\mu_{S^{-1}AS,S^{-1}b}(\lambda),[/mm]
> > wobei
> > [mm]\mu_{A,b}(\lambda)= \lambda^{m*}+\summe_{j=0}^{m*-1} \alpha_{j}\lambda^{j}[/mm]
> > das Minimalpolynom von b bzgl A darstellt.(Bei A handelt es
> > sich selbstverständlich um eine Matrix und bei b um einen
> > Vektor)
> >
> > 2. [mm]K(A,b)=K(A-\lambda*I,b)[/mm] , [mm]\lambda \in \IC,[/mm] wobei es sich
> > bei K um den Krylov-UR handelt. Hier handelt es sich bei
> > K(A,b):=imK(A,b)=im([b/Ab/A^2b/.../A^(m-1)b])
> >
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>
> > Ich verstehe schon gar nicht was es überhaupt bedeutet,
> > dass [mm]\mu_{A,b}(\lambda)[/mm] Minimalpolynom von b bzgl. A sein
> > soll. In der Def. kommt doch b nirgends vor.Oder was
> > übersehe ich hier?
>
>
> Hallo,
>
> dies war das zweite , worüber ich stolperte.
> Ich fürchte, Du wirst zu diesem Thema Deine Unterlagen
> (Vorlesungsmitschrift, Proseminarunterlagen, Skript, Dein
> schlaues Buch) befragen müssen...
> Aufgrund der von Dir angefügten Ergänzungen zu 2. könnte
> ich mir denken, daß hier mit A,b die Matrix gemeint ist,
> die die m Vektoren b, Ab, A^2b,..., [mm]A^{m-1}b[/mm] in den Spalten
> hat.
Ja das stimmt genau!!
>
> das erste: wenn eine Matrix A vorkommt und ein Vektor b,
> dann fragt man sich natürlich gleich, welches Format die
> haben, und woher die Einträge stammen.
>
> Wenn sich hinter A,b das Obige verbirgt, dann muß (wg. des
> Minimalpolynoms) ja b m Einträge haben und A vom Format
> mxm sein.
>
Stimmt auch!
> > zu 1. Deswegen weiß ich auch hier gar nicht wie ich jetzt
> > vorgehen könnte um das zu zeigen. Kann man hier irgendwie
> > einsetzen oder soll ich [mm]S^{1}AS[/mm] als Ähnlichkeitsmatrix B
> > auffassen?
>
> Klar, [mm]S^{1}AS[/mm] ist ähnlich zu A.
>
> (Ich frage mich, ob in Vorlesung, Proseminar, oder was weiß
> ich bereits etwas über [mm]\mu_{A,b}[/mm] gesagt wurde, was man
> vielleicht verwenden könnte. Eigentlich vermute ich das.)
>
In der Vorlesung wurde nur das Minimalpolynom definiert und zwar folgendermaßen:
[mm] \mu_{A,b}(\lambda) [/mm] := [mm] \lambda^{m*}+\summe_{j=0}^{m*-1} \alpha_{j}\lambda^{j}[/mm] [/mm]
Dabei gilt natürlich dass m minimal werden soll.
> Anfangen würde ich hier mal so, daß ich versuchen würde zu
> zeigen, daß
>
> [mm]\mu_{A,b}(S^{-1}AS,S^{-1}b)=0[/mm] ist.
>
Wie meinst du das genau?Könntest du mir hier mal einen Ansatz geben?
> Das wäre ja schonmal ein Schritt in Richtung
> Minimalpolynom.
>
>
> >
> > zu 2. Auch hier fehlt mir der Ansatz.
>
> Ich frage mich hier: ist das [mm]\lambda[/mm] irgendeine beliebige
> Zahl? Oder ein Eigenwert? Das sieht ja schon irgendwie nach
> Hauptvektorketten aus.
Ja mit [mm] \lambda [/mm] sind die Eigenwerte gemeint
> Und das m? Irgendein beliebiges? War da nicht was mit 'nem
> minimalen m?
>
Ja wie oben schon gesagt : Das m soll minimal werden.
>
> Ich könnte mir auch vorstellen, daß der genaue Aufgabentext
> inklusive der einleitenden Worte (!) wie "es seien"
> hilfreich wäre.
> Neben den benötigten Definitionen wäre vielleicht der
> genaue Aufgabentext inkl. der einleitenden Worte nicht so
> schlecht.
Leider gibt es keinen einleitenden Aufgabentext. Wir haben das Lemma in der Vorlesung aufgeschrieben und sollen es jetzt beweisen.
Das einzieg was es dazu also gibt sind die Definition der Krylov-Matrix, die ich oben definiert hatte und die Definition des Minimalpolynoms.
Hilft Dir das jetzt etwas weiter?
Viele Grüße
Lati
>
> Gruß v. Angela
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> > > Beweisen Sie folgendes Lemma:
> > >
> > > 1. [mm]\mu_{A,b}(\lambda)=\mu_{S^{-1}AS,S^{-1}b}(\lambda),[/mm]
> > > wobei
> > > [mm]\mu_{A,b}(\lambda)= \lambda^{m*}+\summe_{j=0}^{m*-1} \alpha_{j}\lambda^{j}[/mm]
> > > das Minimalpolynom von b bzgl A darstellt.(Bei A handelt es
> > > sich selbstverständlich um eine Matrix und bei b um einen
> > > Vektor)
> > >
> > > 2. [mm]K(A,b)=K(A-\lambda*I,b)[/mm] , [mm]\lambda \in \IC,[/mm] wobei es sich
> > > bei K um den Krylov-UR handelt. Hier handelt es sich bei
> > > K(A,b):=imK(A,b)=im([b/Ab/A^2b/.../A^(m-1)b])
> > Aufgrund der von Dir angefügten Ergänzungen zu 2.
> könnte
> > ich mir denken, daß hier mit A,b die Matrix gemeint ist,
> > die die m Vektoren b, Ab, A^2b,..., [mm]A^{m-1}b[/mm] in den Spalten
> > hat.
>
> Ja das stimmt genau!!
Hallo,
tja, da fragt man sich natürlich, warum Du das zunächst geheimhältst, und man sich erstmal den Raben auf die Schulter setzen muß und in den Kaffeesatz schauen...
(ich bin mir aber inzwischen gar nicht mehr sicher, ob wirklich das gemeint ist. ich bin auch nicht mehr der Meinung, daß wir es mit einer mxm-Matrix zu tun haben.)
> In der Vorlesung wurde nur das Minimalpolynom definiert und
> zwar folgendermaßen:
> [mm]\mu_{A,b}(\lambda)[/mm] := [mm]\lambda^{m*}+\summe_{j=0}^{m*-1} \alpha_{j}\lambda^{j}[/mm][/mm]
> Dabei gilt natürlich dass m minimal werden soll.
Tut mir leid, ich werde hieraus nicht schlau...
Auswendig kenne ich die Definition des Minimalpolynoms einer Matrix A.
Wenn Du sagst, daß das da oben die "Definition" für das Minimalpolynom von A,b sein soll, dann stellen sich natürlich gleich ein paar Fragen - oder anders gesagt: dann halte ich das für Quatsch.
Es ist doch wohl eher so: es wird in Deiner Aufgabe vorausgesetzt, daß [mm]\mu_{A,b}(\lambda)[/mm] := [mm]\lambda^{m*}+\summe_{j=0}^{m*-1} \alpha_{j}\lambda^{j}[/mm][/mm] das Minimalpolynom von A,b ist.
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So. Nachdem mir manches etwas dubios erscheint, habe ich jetzt mal getan, was eigentlich Deine Aufgabe wäre, nämlich mal nachgesehen, wie das Minimalpolynom [mm] \mu_{A,b} [/mm] von b bzgl. A wirklich definiert ist:
es ist das Polynom kleinsten Grades, für welches p(A)b=0 ist. (Das ist etwas anderes als das, was ich mir ursprünglich darunter vorgestellt hatte! Anscheind ist A auch doch nicht unbedingt eine mxm-Matrix.))
Mit der Angabe, daß [mm] \mu_{A,b}(\lambda)= \lambda^{m*}+\summe_{j=0}^{m*-1} \alpha_{j}\lambda^{j}[/mm] [/mm] ,
weiß man also: [mm] 0=(A^{m*}+\summe_{j=0}^{m*-1} \alpha_{j}A^{j})b.
[/mm]
Um die zu zeigende Gleichheit nachzuweisen, mußt Du also entgegen meinem ersten Tip( [mm] (S^{-1}AS)^{m*}+\summe_{j=0}^{m*-1} \alpha_{j}(S^{-1}AS)^{j})S^{-1}b [/mm] ausrechnen, anschließend noch über die Minimalität nachdenken.
> > > zu 2.
> >
> > Ich frage mich hier: ist das [mm]\lambda[/mm] irgendeine beliebige
> > Zahl? Oder ein Eigenwert?
>
> Ja mit [mm]\lambda[/mm] sind die Eigenwerte gemeint
Aha. Warum verrätst Du das nicht gleich?
>
> > Und das m? Irgendein beliebiges? War da nicht was mit 'nem
> > minimalen m?
> >
> Ja wie oben schon gesagt : Das m soll minimal werden.
???
Was meinst Du in diesem Zusammenhang damit?
Oben war die Rede vom Minimalpolynom. Ist dieses m hier dasselbe? Der Grad des Minimalpolynoms von A bzgl b?
Könnte es sein, daß Ihr zu diesem Thema noch etwas gezeigt habt? Vielleicht, daß die Dimension K(A,b) dann gerade m ist, die Spalten der Krylow-Matrix also linear unabhängig?
Irgendwie verschweigst Du was - ich glaube aber nicht, daß Du es aus Böswilligkeit tust.
Gruß v. Angela
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