Minimalpolynom < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:29 Fr 09.10.2009 | | Autor: | jumape |
| Aufgabe | | Warum existiert überhaupt ein Minimalpolynom? (für algebraische elemente in L-K; wobei L/K Körpererweiterung) |
Ich habe gar keine ahnung. Kann man das damit beweisen, dass der Kern des Einsetzungshomomorphismus nicht leer ist da das element algebraisch ist und da es ein Hauptidealring ist, ist es von einem element erzeugt?
woher weiß ich dann dass es das minimale Polynom ist? (weilmein eines mit kleinerem grad kaum durch eines mit größerem Grad erzeugen kann?)
Was muss ich eigentlich alles zeigen, damit ich bewiesen habe, dass es ein Minimalpolynom gibt?
Es wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:43 Fr 09.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Warum existiert überhaupt ein Minimalpolynom? (für
> algebraische elemente in L-K; wobei L/K
> Körpererweiterung)
>
> Ich habe gar keine ahnung. Kann man das damit beweisen,
> dass der Kern des Einsetzungshomomorphismus nicht leer ist
> da das element algebraisch ist und da es ein Hauptidealring
> ist, ist es von einem element erzeugt?
Ja.
> woher weiß ich dann dass es das minimale Polynom ist?
> (weilmein eines mit kleinerem grad kaum durch eines mit
> größerem Grad erzeugen kann?)
Das liegt daran, dass es nicht nur ein Hauptidealring ist, sondern ein euklidischer Ring: bei solchen wird ein Ideal von einem Element mit minimalen Grad erzeugt.
> Was muss ich eigentlich alles zeigen, damit ich bewiesen
> habe, dass es ein Minimalpolynom gibt?
Mach es doch wie beim Minimalpolynom bei Matrizen (wie es da geht sollte dir bekannt sein): Nimm zwei Polynome mit minimalen Grad, und zeige dass sie bis auf einen skalaren Faktor gleich sind.
LG Felix
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