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Hi,
ich versuche gerade zu zeigen, ob jedes normierte Polynom im Polynomring K[t] das Minimalpolynom einer Matrix ist.
Eigentlich ist klar, dass die Aussage richtig ist. Lt. Definition ist das Minimalpolynom eines Elementes x [mm] \in [/mm] A das normierte Polynom kleinsten Grades mit der Eigenschaft, dass x Nullstelle ist.
Also wird sich zu jedem normierten Polynom eine Matrix finden, sodass die oben genannte Eigenschaft erfüllt wird.
Ich weiß aber leider nicht wie man das beweisen kann...
LG
Prof
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:16 Sa 15.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> Eigentlich ist klar, dass die Aussage richtig ist.
Warum?
> Lt. Definition ist das Minimalpolynom eines Elementes x [mm]\in[/mm] A das normierte Polynom kleinsten Grades mit der Eigenschaft, dass x Nullstelle ist.
Und wieso sollte die Umkehrung gelten?
> Also wird sich zu jedem normierten Polynom eine Matrix finden, sodass die oben genannte Eigenschaft erfüllt wird.
Aha. Warum?
> Ich weiß aber leider nicht wie man das beweisen kann...
Ich weiß gar nicht, ob das stimmt. Jedoch würde ich so vorgehen: ich zeige dies für algebraisch abgeschlossene Körper K. Dann habe ich beliebiges L mit Polynom p und [m]L\subset N\subset K[/m] mit K abgeschlossen, N Zerf.körper von p über L. Die Aussage bleibt über N richtig, [m][N:L][/m] ist endlich. Jetzt muss ich allerdings Galoistheorie raufwerfen - ich will nämlich aus der Matrix A über N eine über L machen. Hier würde ich dann wohl die Galoiselemente passend jeweils zu den irreduziblen Faktoren von p "wirken" lassen und damit ein A' in L erhalte, dass dann hoffentlich das gleiche Minimalpolynom hat wie A.
SEcki
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