Minimalpolynom < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:52 Mi 20.10.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hallo zusammen.
Ich habe in einer Aufgabe den Zahlkörper [mm]K = \mathbb{Q}\left[T\right]/(X^{3}-m)\mathbb{Q}\left[T\right][/mm] und [mm]\alpha[/mm] Nullstelle des Polynoms [mm]X^{3} -m[/mm]
Im Fall [mm]m = 2[/mm] bin ich am zeigen, dass [mm]1-\alpha \in \mathbb{Z}_{K}^{\times}[/mm]. Ich habe nun das Minimalpolynom von [mm]\beta := (1-\alpha)[/mm] ausgerechnet, welches durch [mm]\beta^{3} - 3\beta^{2} + 3\beta + 1[/mm] gegeben ist. Dann sieht man am Polynom, dass [mm]N(\beta) = 1[/mm] und die Behauptung folgt.
Nun, ich soll ja noch zeigen, dass dies tatsächlich das Minimalpolynom ist, wozu ich Irreduzibilität zeigen muss.
Leider klappt es mit dem Eisensteinkriterium hier nicht (oder ich weiss nicht wie ich es in diesem Fall anwenden soll..)... kann mir jemand sagen, wie ich das nun testen kann in diesem Fall?
Vielen Dank!
Grüsse, Amaro
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:16 Mi 20.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich habe in einer Aufgabe den Zahlkörper [mm]K = \mathbb{Q}\left[T\right]/(X^{3}-m)\mathbb{Q}\left[T\right][/mm]
> und [mm]\alpha[/mm] Nullstelle des Polynoms [mm]X^{3} -m[/mm]
>
> Im Fall [mm]m = 2[/mm] bin ich am zeigen, dass [mm]1-\alpha \in \mathbb{Z}_{K}^{\times}[/mm].
> Ich habe nun das Minimalpolynom von [mm]\beta := (1-\alpha)[/mm]
> ausgerechnet, welches durch [mm]\beta^{3} - 3\beta^{2} + 3\beta + 1[/mm]
> gegeben ist. Dann sieht man am Polynom, dass [mm]N(\beta) = 1[/mm]
> und die Behauptung folgt.
>
> Nun, ich soll ja noch zeigen, dass dies tatsächlich das
> Minimalpolynom ist, wozu ich Irreduzibilität zeigen muss.
Wenn du nur zeigen willst, ob $1 - [mm] \alpha$ [/mm] invertierbar ist, reicht irgendein Polynom mit $1 - [mm] \alpha$ [/mm] als Nullstelle (falls Koeffizienten in [mm] $\IZ$ [/mm] und konstanter Term [mm] $\pm [/mm] 1$), dazu brauchst du nicht das Minimalpolynom.
> Leider klappt es mit dem Eisensteinkriterium hier nicht
> (oder ich weiss nicht wie ich es in diesem Fall anwenden
> soll..)... kann mir jemand sagen, wie ich das nun testen
> kann in diesem Fall?
Man kann es abstrakt machen  Und zwar ist [mm] $\IQ(1 [/mm] - [mm] \alpha) [/mm] = [mm] \IQ(\alpha)$, [/mm] womit [mm] $\deg MiPo_\IQ(1 [/mm] - [mm] \alpha) [/mm] = [mm] \deg MiPo_\IQ(\alpha) [/mm] = [mm] [\IQ(\alpha) [/mm] : [mm] \IQ] [/mm] = [mm] \deg (X^3 [/mm] - m) = 3$ ist (falls [mm] $X^3 [/mm] - m$ irreduzibel ist).
Ansonsten benutze, dass $K[X] [mm] \to [/mm] K[X]$, $f(X) [mm] \mapsto [/mm] f(1 - X)$ ein Isomorphismus ist. Dieser ueberfuehrt das Minimalpolynom von $1 - [mm] \alpha$ [/mm] in das von [mm] $\alpha$ [/mm] selber, und da das irreduzibel ist...
LG Felix
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