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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:11 Do 09.06.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo...heute in der Vorlesung haben wir mehr über das charakteristische Polynom gelernt:
Satz von Cayley.Hamilton:
[mm] c^{-}_{A} [/mm] = 0 Matrix
>>Was hat der Strich über dem c zu bedeuten?
Dass heißt jede Matrix ist Nullstelle ihres charakteristischen Polynoms.
Umschreibung: [mm] c_{0}*A^{0} [/mm] + [mm] c_{1}*A^{1} [/mm] + [mm] c_{2}*A^{2} +....+A^{n} [/mm] = 0
Dann haben wir einen Satz kennen gelernt dass wenn A Nullstelle vom charakteristischen Polynom [mm] c_{A} [/mm] ist auch Nullstelle von [mm] p*c_{A} [/mm] ist.
---> A ist also Nullstelle von einem Haufen von Polynomen
Für A in [mm] K^{n}_{n} [/mm] sei [mm] $I_{A} [/mm] := [mm] \{p\ in K[x] | p^{-}(A) = 0\}$.
[/mm]
Wir sammeln hier also alle Polnome die A als Nullstelle haben, wobei I ein Ideal ist.
So und dann haben wir gelernt dass es ein Minimalpolynom [mm] m_{A} [/mm] gibt aus dem sich alle anderen Polnome zusammensetzen in dem Ideal.
Jetzt kommen meine Schwierigkeiten, wenn es darum geht das Minimalpolynom zu bestimmen oder zu sehen.
Satz: Für A in [mm] K^{n}_{n} [/mm] gilt [mm] c_{A} [/mm] | [mm] m_{A}^{n}
[/mm]
---> Für A in [mm] K^{n}_{n} [/mm] haben [mm] m_{A} [/mm] und [mm] c_{A} [/mm] dieselben irreduziblen Faktoren.
Was sind irreduzible Faktoren?
So und dann haben wir ein Beispiel gemacht was ich auch nicht wirklich vertehe:
Bsp.a.) Sein [mm] c_{A} [/mm] = (x-1)*(x+2)*(x-3) so folgt daraus das [mm] c_{A} [/mm] gleich [mm] m_{A} [/mm] sein muss da alle Faktoren verschieden sind.......Wie sehe ich das?
b.) Sei [mm] c_{A} [/mm] = [mm] x^{3} [/mm] + [mm] 3x^{2} [/mm] + 1 = [mm] (x+4)*(x+2)^2
[/mm]
Also ist [mm] m_{A} [/mm] = (x+4)*(x+2) oder [mm] m_{A} [/mm] = [mm] (x+4)*(x+2)^2 [/mm] ....Warum?
Jetzt sieht man halt durch einsetzen von A dass A Nullstelle von (x+4)*(x+2) ist. Dass müsste doch auch für [mm] (x+4)*(x+2)^2 [/mm] gelten......sagt zumindest der Satz von Hamilton....
Warum kann ich dann daraus schließen dass (x+4)*(x+2) das minimale Polynom ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:55 Do 09.06.2005 | | Autor: | R4ph43l |
Hallo
> Satz: Für A in [mm]K^{n}_{n}[/mm] gilt [mm]c_{A}[/mm] | [mm]m_{A}^{n}[/mm]
> ---> Für A in [mm]K^{n}_{n}[/mm] haben [mm]m_{A}[/mm] und [mm]c_{A}[/mm] dieselben
> irreduziblen Faktoren.
> Was sind irreduzible Faktoren?
Irreduzible Faktoren sind Einheiten (invertierbare Elemente) in einem Integritätsring, die sich nicht als Produkt von nicht-Einheiten darstellen lassen. Für [mm] \IR [/mm] sind das gerade die Primzahlen, für Polynome eben die Polynomfaktoren der Polynomzerlegung.
> So und dann haben wir ein Beispiel gemacht was ich auch
> nicht wirklich vertehe:
>
> Bsp.a.) Sein [mm]c_{A}[/mm] = (x-1)*(x+2)*(x-3) so folgt daraus das
> [mm]c_{A}[/mm] gleich [mm]m_{A}[/mm] sein muss da alle Faktoren verschieden
> sind.......Wie sehe ich das?
Genau so wie es dasteht :) Alle deine Polynomfaktoren sind ja verschieden: (x-1) [mm] \not= [/mm] (x+2) [mm] \not= [/mm] (x-3)
und keiner kommt mehrmals vor! Also ist das Polynom auch gleich das Minimalpolynom
> b.) Sei [mm]c_{A}[/mm] = [mm]x^{3}[/mm] + [mm]3x^{2}[/mm] + 1 = [mm](x+4)*(x+2)^2[/mm]
> Also ist [mm]m_{A}[/mm] = (x+4)*(x+2) oder [mm]m_{A}[/mm] = [mm](x+4)*(x+2)^2[/mm]
> ....Warum?
s.o.: Du hast wieder deine irreduziblen Faktoren (x+4) und (x+2), allerdings kommt (x+2) doppelt vor. Lässt du diesen doppelten Faktor weg, erhältst du das Minimalpolynom (=Polynom kleinsten Grades, welches aber immer noch alle Nullstellen behält).
> Jetzt sieht man halt durch einsetzen von A dass A
> Nullstelle von (x+4)*(x+2) ist. Dass müsste doch auch für
> [mm](x+4)*(x+2)^2[/mm] gelten......sagt zumindest der Satz von
> Hamilton....
Richtig, denn die Nullstellen werden ja durch die Polynomfaktoren schon gegeben, ihre Potenzen geben lediglich die Vielfachheit dieser Nullstelle wieder.
> Warum kann ich dann daraus schließen dass (x+4)*(x+2) das
> minimale Polynom ist?
Selbe Frage bzw. Antwort wie oben :)
Ich hoffe ich konnte dir die Minimalpolynome etwas geläufiger machen!
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