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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:48 Mi 04.05.2011 | | Autor: | pyw |
| Aufgabe | Sei [mm] (x-1)^k [/mm] das Minimalpolynom einer quadratischen [mm] n\times [/mm] n Matrix A.
Es sei v ein Vektor mit [mm] (A-I_n)^{k-1}*v\neq0 [/mm] (warum existiert so ein Vektor v?).
Man zeige, dass das System [mm] (A-I_n)^i*v, \quad 0\leq i\leq [/mm] k-1 linear unabhängig ist. |
Hallo,
Existenz von v mit [mm] (A-I_n)^{k-1}*v\neq0:
[/mm]
Wenn es kein solches v gebe, wäre [mm] (A-I_n)^{k-1} [/mm] die Nullmatrix. Das kann aber nicht sein, da das Minimalpolynom ja vom Grad k ist.
lineare Unabhängigkeit:
Hm, hier tu ich mich schwer. Also es sind dann ja alle Vektoren des Systems [mm] \neq0 [/mm] (das folgt gleich aus [mm] (A-I_n)^{k-1}*v\neq0.
[/mm]
Es wäre doch zu zeigen:
[mm] \sum_{i=0}^{k-1}\lambda_i(A-I_n)^i*v=0 \Rightarrow \lambda_i=0 [/mm] für alle i.
Ich habe noch
[mm] \sum_{i=0}^{k-1}\left(\lambda_i(A-I_n)^i*v\right)=\left(\sum_{i=0}^{k-1}\lambda_i(A-I_n)^i\right)v=: [/mm] M*v
Es gilt [mm] M\neq0, [/mm] falls eines der [mm] \lambda_i\neq0 [/mm] (wieder wegen Minimalpolynom hat Grad k>k-1). Hilft das?
Kann mir bitte jemand helfen?
Danke.
mfg, pyw
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:16 Do 05.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm](x-1)^k[/mm] das Minimalpolynom einer quadratischen [mm]n\times[/mm]
> n Matrix A.
> Es sei v ein Vektor mit [mm](A-I_n)^{k-1}*v\neq0[/mm] (warum
> existiert so ein Vektor v?).
>
> Man zeige, dass das System [mm](A-I_n)^i*v, \quad 0\leq i\leq[/mm]
> k-1 linear unabhängig ist.
>
>
> Hallo,
>
> Existenz von v mit [mm](A-I_n)^{k-1}*v\neq0:[/mm]
> Wenn es kein solches v gebe, wäre [mm](A-I_n)^{k-1}[/mm] die
> Nullmatrix. Das kann aber nicht sein, da das Minimalpolynom
> ja vom Grad k ist.
>
> lineare Unabhängigkeit:
> Hm, hier tu ich mich schwer. Also es sind dann ja alle
> Vektoren des Systems [mm]\neq0[/mm] (das folgt gleich aus
> [mm](A-I_n)^{k-1}*v\neq0.[/mm]
>
> Es wäre doch zu zeigen:
> [mm]\sum_{i=0}^{k-1}\lambda_i(A-I_n)^i*v=0 \Rightarrow \lambda_i=0[/mm]
> für alle i.
Genau. Dazu wende auf die Gl. [mm][mm] \sum_{i=0}^{k-1}\lambda_i(A-I_n)^i*v=0 [/mm] die Matrix [mm] (A-I)^{k-1} [/mm] an. Daraus folgt dann [mm] \lambda_0=0
[/mm]
Dann wendest Du [mm] (A-I)^{k-2} [/mm] an. Daraus folgt dann [mm] \lambda_1=0. [/mm] Etc ...
FRED
>
> Ich habe noch
> [mm]\sum_{i=0}^{k-1}\left(\lambda_i(A-I_n)^i*v\right)=\left(\sum_{i=0}^{k-1}\lambda_i(A-I_n)^i\right)v=:[/mm]
> M*v
> Es gilt [mm]M\neq0,[/mm] falls eines der [mm]\lambda_i\neq0[/mm] (wieder
> wegen Minimalpolynom hat Grad k>k-1). Hilft das?
>
> Kann mir bitte jemand helfen?
>
> Danke.
>
> mfg, pyw
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:49 Sa 07.05.2011 | | Autor: | pyw |
danke!
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