Minimalpolynom bestimmen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Finde das Minimalpolynom der folgenden algebraischen Zahlen:
Wurzel aus -5
1+wurzel aus -5
1-Wurzel aus -5 |
Hallo,
kann mir jemand dabei helfen, wie man diese Minimalpolynome berechnet. Ich habe das noch nie gemacht, und weiß nicht wie ich da dran gehen soll.
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Finde das Minimalpolynom der folgenden algebraischen
> Zahlen:
> a) [mm] \wurzel{-5}
[/mm]
> b) [mm] 1+\wurzel{-5}
[/mm]
> c) [mm] 1-\wurzel{-5}
[/mm]
> Hallo,
> kann mir jemand dabei helfen, wie man diese Minimalpolynome
> berechnet. Ich habe das noch nie gemacht, und weiß nicht
> wie ich da dran gehen soll.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich bin da nicht so "drin", aber ich will trotzdem versuchen, Dir zu helfen.
Du hast eine ganz wichtige Angabe vergessen: das Minimalpolynom über welchem Körper?
Über [mm] \IC [/mm] wäre das ja sehr einfach...
Ich vermute: über [mm] \IQ.
[/mm]
Du suchst also ein irreduzibles normiertes Polynom über [mm] \IQ, [/mm] welches (für c)) [mm] 1-\wurzel{-5} [/mm] als Nullstelle hat. Dieses ist dann das Minimalpolynom.
Ich mache Dir für c) vor, wie ich das mache: [mm] x=1-\wurzel{-5} [/mm] ==> [mm] 1-x=\wurzel{-5} [/mm] ==> [mm] x^2-2x+1=-5 [/mm] ==> 0= [mm] x^2-2x+6.
[/mm]
Mit [mm] p(x)=x^2-2x+6 [/mm] habe ich ein Polynom gefunden, das [mm] 1-\wurzel{-5} [/mm] als Nullstelle hat. Normiert ist es auch.
Wenn es Dir gelingt zu zeigen, daß es auch irreduzibel ist über [mm] \IQ, [/mm] kannst Du Dir sicher sein, daß es das Minimalpolynom ist.
Daß es irreduzibel ist, mußt Du "irgendwie" zeigen, oder bequem mit dem Kriterium von Eisenstein - falls das bereits dran war.
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | | Berechne das Minimalpolynom von [mm] \wurzel{-5-\wurzel{-5}} [/mm] |
Hallo Angela, erstmal danke für deine so schnelle Antwort. Hab ich auch gleich verstanden. seh ich dann das auch richtig, dass bei der b) das gleiche Polynom als Minimalpolynom herauskommt, wie bei der c)?
Ich hab da als fragestellung noch eine weitere Nullstelle eingetippt, mir gelingt es aber nicht, ein Polynom zu finden, wo keine Wurzel mehr drin steht. Könnte mir da nochmal geholfen werden?
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> Berechne das Minimalpolynom von [mm]\wurzel{-5-\wurzel{-5}}[/mm]
> Hallo Angela, erstmal danke für deine so schnelle Antwort.
> Hab ich auch gleich verstanden. seh ich dann das auch
> richtig, dass bei der b) das gleiche Polynom als
> Minimalpolynom herauskommt, wie bei der c)?
Ja.
Berechne mal [mm] (x-(1+\wurzel{-5}))(x-(1-\wurzel{-5}))=((x-1)+\wurzel{-5}))((x-1)-\wurzel{-5})) [/mm] und nun die 3. binomische Formel.
> Ich hab da als fragestellung noch eine weitere Nullstelle
> eingetippt, mir gelingt es aber nicht, ein Polynom zu
> finden, wo keine Wurzel mehr drin steht. Könnte mir da
> nochmal geholfen werden?
Ich glaube, ich weiß, was Du falsch gemacht hast...
[mm] x=\wurzel{-5-\wurzel{-5}} [/mm] ==> [mm] x^2=-5-\wurzel{-5}
[/mm]
Nicht jetzt quadrieren, sondern: ...==> [mm] x^2+5=\wurzel{-5} [/mm] und dann geht's planmäßig weiter.
Gruß v. Angela
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also, wenn ich dieses produkt berechne, mit 3. binomischer Formel, kommt das gleiche polynom wieder raus. Man kann ja Polynome in ihre Linearfaktoren zerlegen, das wurde hier wohl gemacht.
Ich hab nun auch noch das polynom für die Nullstelle [mm] \wurzel{-5-\wurzel{-5}}. [/mm] Da hab ich [mm] x^2+10x+30 [/mm] ausgerechnet. Ist das richtig, dass dieses polynom irreduzibel nach eisenstein ist, weil ich hab ja ein normiertes polynom und wenn ich p=2 wähle, dann teilt ja 2 die 30 und die 10, aber [mm] p^2 [/mm] teilt nicht die 30.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:36 Do 04.10.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> also, wenn ich dieses produkt berechne, mit 3. binomischer
> Formel, kommt das gleiche polynom wieder raus. Man kann ja
> Polynome in ihre Linearfaktoren zerlegen, das wurde hier
> wohl gemacht.
ja genau. und es gilt stets für ein reelles polynom $f$ (das heißt ein polynom mit ausschließlich reellen koeffizienten) mit einer komplexen nullstelle $z$, dass auch stets [mm] $\overline{z}$ [/mm] eine nullstelle von $f$ ist.
> Ich hab nun auch noch das polynom für die Nullstelle
> [mm]\wurzel{-5-\wurzel{-5}}.[/mm] Da hab ich [mm]x^2+10x+30[/mm]
> ausgerechnet. Ist das richtig, dass dieses polynom
> irreduzibel nach eisenstein ist, weil ich hab ja ein
> normiertes polynom und wenn ich p=2 wähle, dann teilt ja 2
> die 30 und die 10, aber [mm]p^2[/mm] teilt nicht die 30.
das sieht schon fast richtig aus, nur sollten die potenzen von $x$ hier nicht $1$ und $2$ sein - schau dir am besten nochmal an, welche gleichung du zuvor quadriert hast. aber die prüfung auf irreduzibilität kann man auch auf das polynom anwenden, welches du dann erhälst.
grüße
andreas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:58 Do 04.10.2007 | | Autor: | loecksche |
danke, ich hab mich da nur vertippt, muss hoch 4 und hoch 2 heißen, oder?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:53 Do 04.10.2007 | | Autor: | andreas |
hi
genau.
grüße
andreas
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